Exercice II Lancement d'un satellite météorologique 5,5 points

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EXERCICE II. LANCEMENT D'UN SATELLITE MÉTÉOROLOGIQUE (5,5 points) 1.1.1.(0,25) Pour que la fusée décolle, la valeur de la force de poussée F
doit être supérieure à celle du poids P.
1.1.2.(0,25) Deuxième loi de Newton appliquée au système (fusée(, dans un
référentiel terrestre considéré galiléen : [pic]+ [pic] = M.[pic]
F.[pic]- P.[pic] = M.a.[pic]
En projection sur (Oy): F - P = M.a
F - M.g = M.a
Finalement : a = [pic]
1.1.3.(0,25) a = [pic]= 6 m.s-2
1.1.4.(0,25) Équation horaire sur la vitesse : à chaque instant, ay(t) =
[pic]
soit ici a(t) = [pic] = 6 m.s-2
En primitivant : v(t) = 6t + Cte .
Initialement, la vitesse de la fusée est nulle donc v(0) = 0 soit Cte = 0
et finalement : v(t) = 6t
1.1.5.(0,25) Équation horaire sur la position : à chaque instant, vy(t) =
[pic], soit ici v(t) = [pic] = 6t
En primitivant : y(t) = 3t² + Cte'.
Initialement, le centre d'inertie de la fusée est confondu avec l'origine
du repère donc : y(0) = 0 soit Cte' = 0 et finalement : y(t) = 3t²
1.1.6.(0,25) La distance d parcourue par la fusée jusqu'à la date t1 = 6,0
s est :
d = y(t1) = 3t1²
d = 3 ( 36 = 108 m = 1,1(102 m 1.2.(0,25) Cas réel : Les forces de frottement, opposées au sens de
déplacement de la fusée, n'ont pas été prises en compte dans le cas
idéal. Cela peut expliquer l'écart entre 90 m (cas réel) et 108 m (cas
idéal). Partie 2. Mise en orbite basse du satellite
2.1.(0,25) [pic]= [pic]
2.2.(0,5) Deuxième loi de Newton, appliquée au système {satellite} de masse
m dans le référentiel géocentrique galiléen : [pic] = m.[pic] [pic] = m.[pic] finalement : [pic]= [pic] 2.3.(0,25)
2.4.(0,25) Le satellite ayant un mouvement circulaire et uniforme, alors
[pic]= [pic]
en égalant les deux expressions de [pic] : [pic] =[pic]
(0,25)soit [pic], en ne retenant que la solution positive pour la
vitesse :[pic]
avec h = 6,0(102 km = 6,0(105 m = 0,60(106 m
vS = [pic]=[pic]= [pic] = [pic]
vS = 7,6(10-1([pic] = 7,6(10-1(104
(0,25) vS = 7,6 ( 103 m.s-1 , cette valeur est en accord avec celle
proposée. 2.5.(0,25) T est la période de révolution du satellite autour de la Terre.
La vitesse du satellite s'écrit : vS = [pic] soit [pic]
En reportant l'expression de [pic] obtenue à la question précédente, il
vient :
[pic][pic] soit finalement : T 2 = [pic]. Partie 3. Transfert du satellite en orbite géostationnaire
3.1.(0,25) Deuxième loi de Kepler, ou "loi des aires" : le rayon vecteur
[pic] balaye des aires égales pendant des durées égales. 3.2.(0,5) Ainsi, pendant la même durée (t, les aires A1 et A2 sont égales
mais les distances parcourues par le satellite L1 et L2 sont différentes :
L1 > L2.
Les vitesses moyennes en A et P peuvent s'écrire :
vA = [pic] et vP = [pic] on a alors : [pic] or comme L1 > L2 il
vient : vP > vA.
La vitesse du satellite n'est pas constante sur l'orbite de transfert. Elle
est maximale au périgée P et minimale à l'apogée A. 3.3.(0,25) AP = 2RT + h + h' (voir schéma ci-dessus)
AP = 2 ( 6,4(106 + 6,0(105 + 3,6(107
= 12,8(106 + 6,0(105 + 3,6(107 = 1,28(107 + 0,060(107 + 3,6(107
(0,25) AP = 4,9 ( 107 m
3.4. La durée de transfert entre A et P est égale à une demie période: (t =
T' / 2 = 5 h 21 min.
(0,25)
3.5.(0,25) Le satellite est géostationnaire : sa trajectoire est donc
située dans un plan contenant l'équateur terrestre.
Le fait de lancer la fusée d'un lieu proche de l'équateur permet :
- d'éviter de consommer du carburant pour ramener le satellite dont
l'orbite ne serait pas contenue dans le plan de l'équateur
terrestre,
- de bénéficier de la vitesse de rotation propre de la Terre, au
départ de la fusée, qui est maximale à l'équateur.
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T S h RT O [pic] y [pic] [pic] h
h' A A1 A2 L2 L1 P 2RT [pic] [pic] T S [pic] [pic] [pic] [pic]