Résumé de mathématique - Free

Résumé de Mathématique (niveau standard et renforcé) - Examens 2003 1. Analyse: Etude de fonction : Formulaire et Tables p. 15 à 19 2 1.1 Fonctions : 2
1.2 Tengance de fonctions : 5
1.3 Valeur absolue : Formulaire et Tables p. 16 6
1.4 Bijections et réciproques : 6
1.5 Parité d'une fonction : 7
1.6 Limites et asymptotes 8
1.7 Dérivée et dérivée seconde 9 2. Analyse : suite... 10 2.1 Primitive et intégrale : 10
2.2 Logarythme et exponentielle : 12
2.3 Graphes de [pic], ln(f(x)) , exp(f(x)) (maths renforcés) : 14
2.4 Analyse combinatoire et probabilité : 15
2.4 Nombres complexes (maths renforcés) : 19
2.5 Interprétation géométrique des nombres complexes (maths renforcés) :
22 3. Géométrie vectorielle et analytique plane : Formulaire et Tables p.
29 à 32 et 35 à 54 22 3.1 Rappels de géométrie plane : Formulaire et Tables p. 35 à 47 22
3.2 La trigonométrie : Formulaire et Tables p. 29 à 32 23
3.3 Mesure des angles en radians : 24
3.4 Géométrie vectorielle plane : Formulaire et Tables p. 47 à 50 24
Combinaison linéaire et colinéarité : 25
3.5 Géométrie analytique plane : 25
3.6 Produit scalaire dans le plan : 27
3.7 Géométrie analytique plane, questions métriques : 28
bissectrice de deux droites : 29 4. Géométrie vectorielle et analytique de l'espace : 30 4.1 Géométrie vectorielle de l'espace : 30
4.2 L'espace affine (géométrie analytique de l'espace) : 31
4.3 Produits scalaires, vectoriels et mixtes dans l'espace : 32
4.4 Géométrie analytique de l'espace, questions métriques : 34
4.5 Coniques (maths renforcés): 36 5. Algèbre linéaire (maths renforcés) : 37 5.1 Espace et sous-espace vectoriels : 37
5.2 Applications linéaires et Matrices associées : 39
5.3 Déterminant et inverse d'une matrice 41
5.4 Changement de base : 42
5.5 Systèmes linéaires : 43 Résumé de Mathématique (niveau standard et renforcé) - Examens 2003 Analyse: Etude de fonction : Formulaire et Tables p. 15 à 19 rappel :
Division d'un polynôme : ax2 + bx + c = (ex + f)(gx + h) + r
1.1 Fonctions :
a)
fonctions constantes : f(x) = a
fonctions linéaires : g(x) = ax
fonctions affines : h(x) = ax + b
fonctions affines en valeur absolue : i(x) = |ax + b| f(x) = 5 g(x) = 1/2x h(x) = x - 2 i(x) = | 3/2x | b)
fonctions quadratiques : f(x) = ax2 + bx + c zéros : graphique : on met ax2 + bx + c sous la forme a(x-p)2+q
Calculs :
a est l'écartement de la parabole les coordonnées du sommet sont (p ;q) f(x) = x2 g(x) = x2 - 6x + 9
= (x - 3)2 h(x) = x2 + 6x + 3
= (x + 3)2 - 6 c)
fonctions cubiques : f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
trouver une solution s et diviser le polynôme par (x - s) ou alors
factoriser par groupement et mise en évidence.
f(x) = x3 g(x) = - x3 h(x) = (x-5)3 i(x) =-(x+5)3+3
d)
fonctions rationnelles : Il faut trouver l'ensemble de définition de la fonction en égalant le
dénominateur de la fonction à zéro soit ax + c = 0 et donc notre ensemble
de définition est ED = -{ } car une division par 0 est impossible donc si ax + c = 0, alors f(x)
n'existe pas f(x) = h(x) = g(x) = i(x) = e)
fonctions irrationnelles : f(x) = Il faut en premier lieu trouver l'ensemble de définition car on sait que la
racine carrée d'un nombre négatif est impossible et donc n'est pas définie.
Pour trouver l'ensemble de définition, il faut faire une inéquation
En fait on étudie le signe de la fonction ax + b en sachant que
f(x) ne sera définie que quand ce signe est positif ou nul. Exemple : f(x) = (
où (2x + 4) 0 donc l'ensemble de définition est ED = {
} ou { }
[pic]
f(x) = h(x) = g(x) = i(x) =
si f(x) = alors la courbe sera la même que sur le
graphique précédent en fonction des signes de x et de la racine carrée
seulement la base de la courbe (sur le graphique toute les bases sont à
(0 ;0)) sera à (-a ;b) Si on a une équation irrationnelle c'est à dire avec des racines il faut
beaucoup réfléchir sur les signes de x et des racine de x. Si on le fait on
peut savoir si l'équation à des solutions ou non sans faire les calculs. Exemple d'équation sans solution : tout
d'abord l'ensemble de définition
ED = [-1/3 ;([ Seulement maintenant on regarde le signe de x + 3 par
rapport à ED et on voit que lorsque x ( ED x + 3 est toujours positif et
comme on sait qu'une racine est toujours positive (puisque la racine d'un
nombre négatif n'existe pas et comme il y a un moins devant la racine, elle
sera toujours négative. Le seul cas ou un nombre positif est égal à un
nombre négatif c'est 0 = 0 mais pour que x + 3 fasse 0 il faut que x = -3
or -3 ( ED. Donc il n'y a pas de solution.
1.2 Tengance de fonctions :
si f(x) et g(x) sont deux fonctions tengantes, alors l'équation f(x)-g(x) =
0 n'admet qu'une solution qui correspond à la première coordonnée du point
de tengance donc le discriminant de f(x)-g(x) est égal à zéros si l'une des
deux fonction est quadratique (rappel : le discriminant noté ( vaut b2 -
4ac (pour une équation ax2 + bx + c) et lorsque ce dernier vaut 0 il n'y a
qu'une solution exemple : f(x) = -x2 + 2x
1) Trouver la fonction affine g(x) dont le graphe est tengant à celui de
f(x) en (0 ;0) g(x) = ax + b mais comme g(x) passe par (0 ;0) (point de tengance) b = 0
donc g(x) = ax g(x) = f(x) ( -x2 +2x = ax ( x2 + (a-2)x = 0 cette equation n'admet qu'une solution ( ( = 0 A = 1 B = a - 2
et C = 0 ( B2 - 4AC = 0 ( a2 - 4a + 4 = 0 ( (a - 2)2 = 0 ( a = 2 Donc g(x) = 2x 2) Déterminer la parabole h(x) tangente au graphe de f(x) en (0 ;0) et dont
l'abscisse du sommet est -2 comme nous connaissons l'abscisse du sommet (=1ère coordonnée) on va écrire
h(x) sous la forme
h(x) = a(x + 2)2 + p
h(x) passe par le point (0;0) donc h(0) = 0 ( a(0 + 2)2 + p = 0 ( p = -4a h(x) et f(x) sont tangent en un seul point donc h(x)-f(x) = 0 n'admet
qu'une solution (0 car il s'agit du point de tangence) donc le discriminant
de h(x)-f(x) = 0 calculons h(x)-f(x) : ax2 + 4ax + 4a - 4a + x2 - 2x = 0 ( (a + 1)x2 + (4a
- 2)x = 0 calculons (h(x)-f(x) : 16a2 - 16a + 4 = 0 ( (4a - 2)2 = 0 ( a = 1/2 ( p =
-2 ( h(x) = -1/2(x + 2)2 - 2 ( h(x) = -1/2x2 -2x - 4 = 0 1.3 Valeur absolue : Formulaire et Tables p. 16 l'utilisation de la valeur absolue dans une étude de fonction ou autre
nécessite une division en plusieur cas
|x| = x si x>0 -x si x