Examen de statistique appliquée - Université Paris 1 Panthéon ...

Examen de Statistique Appliquée
IUP université Paris.1-Panthéon Sorbonne
Durée 3 heures
Mai 2005
I.ahamada (Important : Tous les tests éventuels seront réalisés au seuil significatif
de 5%) Problème : On considère le modèle suivant : [pic], t = 1,... ,N (1)
avec :
a) [pic] le paramètre à estimer (la moyenne des [pic])
b) les variables [pic] sont indépendantes et d'espérance E([pic]) = 0
c) var([pic]) = [pic] si t = 1,... , [pic] et var([pic]) = [pic] si t =
[pic]+1,.... ,N. ([pic] un entier fixé strictement inférieur à N). Notations : on pose, [pic], où [pic]= 1/[pic] si j = 1,... ,[pic] et [pic]= 1/[pic] si j =
[pic]+1,....,N [pic] [pic] avec [pic] = [pic] si j = 1,...,[pic] et [pic] = [pic]
si j = [pic]+1,....,N. L'objectif du problème est de comparer deux estimateurs possibles de [pic]
notés [pic] et [pic] avec : [pic] et [pic]= [pic][pic] (l'indice t
indique la transposée de Z. Dans le calcul pratique de [pic], si les écarts
types [pic] et [pic] ne sont pas connus, ils sont estimés à partir des
estimateurs convergents classiques de la variance sur chaque sous période t
= 1,... ,[pic] et t = [pic]+1,....,N.)
Partie.1 : cas où [pic]=[pic] .
Dans cette partie du problème on suppose que [pic]=[pic] .
1. Comparer les deux estimateurs [pic] et [pic].
2. Calculer les valeurs espérées de [pic] et [pic]
3. Calculer les variances de [pic]et [pic]. En déduire la covergence en
moyenne quadratique de chacun des deux estimateurs (c'est à dire que la
limite de la variance de chacun des deux estimateurs tend vers zéro
lorsque N tend vers l'infini).
4. On fixe dans le modèle.1, [pic], N = 1000 et [pic] une variable
aléatoire de moyenne zéro et de variance [pic]=[pic]=1/12 , puis on
obtient par simulations 2500 observations de [pic] regroupées dans un
échantillon noté [pic]. Le tableau.1 fournit des éléments de
statistique descriptive de l'échantillon [pic].
1.4.a. A Quel test correspondent les résultats présentés dans les
tableaux.2. Expliquez comment les résultats présentés dans le tableaux.2
permettent de mettre en cause ou de conforter votre réponses à la question
I .2.
1.4.b. Expliquez et justifiez les résultats présentés dans le tableau. 3. Partie.2 : cas où
[pic][pic][pic]
Dans cette partie du problème on suppose que [pic][pic][pic]. 2.1. Votre réponse à la question I .2 de la partie.1 reste toujours
valable? On souhaite à présent comparer par simulations les variances des deux
estimateurs [pic] et [pic]. Pour cela on fixe dans le modèle.1 : [pic], N
= 1000, [pic]= 500 et [pic] une variable aléatoire de moyenne zéro et de
variance [pic]=[pic]=1/12 , puis on obtient par simulations 2500
observations de [pic] regroupées sous la forme d'un échantillon noté [pic]
et 2500 observations de [pic] regroupées dans un échantillon noté [pic]. 2. A Quel test correspondent les résultats présentés dans les tableaux.4?
Quelles conclusions peut on tirer de ces résultats? 2.3 . On considère maintenant le modèle.2 suivant : [pic][pic][pic] + [pic]
(2) où [pic] = [pic] si t = 1,...., [pic] et [pic] = [pic] si t =
[pic]+1,....,N. 3. a. Vérifier les affirmations suivantes : i) var ([pic])=1, ii) [pic]
est l'estimateur des moindres carrés de [pic] dans le modèle.(2),
iii)[pic] est une combinaison linéaire des [pic]. 2.3.b. Citez le théorème de Gauss Markov et déterminer parmi [pic] et
[pic] le meilleur estimateur de [pic].
Partie.3. application. On souhaite estimer le rendement moyen des taux de change Dollar /Euro
( noté[pic]) dans la période comprise entre le 01/04/1999 et le
20 /05 /2005. La taille de l'échantillon est N = 1606. Désormais [pic] et
[pic] sont calculés en considérant les données [pic] correspondantes aux
rendements des taux de change Dollar /Euro. 3.1 .Quelles informations fournit le tableau .5 ? 3.2. A quel test correspondent les résultats présentés dans le tableau .7 ? 3.3. Devrait on s'attendre à une différence significative entre la valeur
de [pic] et celle de [pic] calculée pour [pic]= 803 ? 3.4. A partir du tableau.6 donnez la valeur de [pic]. Les autres résultats
fournis dans le tableau.6 permettent -ils d'affiner l'estimation de
[pic] ? ----------------------------------------------------------------------------
------------------------------- Tableau.1 summarize [pic] Variable | Obs Mean Std. Dev. Min Max
-------------+-------------------------------------------------------------- [pic] | 2500 3.000194 0.0092215 2.969441 3.028886
Tableau.2
ttest [pic] = 3 One-sample t test Variable | Obs Mean Std. Err. Std. Dev. [95%
Conf. Interval]
-----------+----------------------------------------------------------------
-----------------------
[pic] | 2500 3.000194 0.0001844 0 .0092215 2.999832
3.000555
----------------------------------------------------------------------------
---------------------
Degrees of freedom: 2499 Ho: mean ([pic]) = 3 Ha: mean ~= 3
t = 1.0493
P > |t| = 0.2942
Tableau. 3
Skewness/Kurtosis tests for Normality ------- joint ------
Variable | Pr(Skewness) Pr(Kurtosis) adj chi2(2) Prob>chi2
-------------+--------------------------------------------------------------
------
[pic] | 0.803 0.095 2.84
0.2421 Tableau. 4 sdtest [pic] = [pic] ----------------------------------------------------------------------------
-------------------
Variable | Obs Mean Std. Err. Std. Dev.
[95% Conf. Interval]
---------+------------------------------------------------------------------
--------------------
[pic]| 2500 3.000433 0.0002918 0.0145878 2.999861
3.001005
[pic]| 2500 3.000208 0.0002334 0.0116719 2.99975
3.000665
---------+------------------------------------------------------------------
--------------------
combined | 5000 3.00032 0.0001868 0.0132097 2.999954
3.000687
----------------------------------------------------------------------------
-------------------- Ho: sd([pic]) = sd([pic]) F(2499,2499) observed = F_obs = 1.562
F(2499,2499) lower tail = F_L = 1/F_obs = 0.640
F(2499,2499) upper tail = F_U = F_obs = 1.562 Ha: sd([pic]) > sd([pic])
P < F_L + P > F_U = 0.0000 Tableau. 5
ktest Rt Skewness/Kurtosis tests for Normality ------- joint ------
Variable | Pr(Skewness) Pr(Kurtosis) adj chi2(2) Prob>chi2
-------------+--------------------------------------------------------------
-----
Rt | 0.838 0.000 15.83
0.0004
Tableau 6 ttest Rt = 0 One-sample t test
----------------------------------------------------------------------------
--
Variable | Obs Mean Std. Err. Std. Dev. [95% Conf.
Interval]
---------+------------------------------------------------------------------
--
Rt | 1606 0.0000379 .0001591 0.0063754 -.0002742
.0003499
----------------------------------------------------------------------------
--
Degrees of freedom: 1605 Ho: mean(Rt) = 0 Ha: mean ~= 0
t = 0.2381
P > |t| = 0.8118 Tableau. 7 generate time = _n
generate R1 = Rt if time < 803
generate R2 = Rt if time >804 sdtest R1 = R2 ----------------------------------------------------------------------------
--
Variable | Obs Mean Std. Err. Std. Dev. [95% Conf.
Interval]
---------+------------------------------------------------------------------
--
R1 | 802 -.0003713 .0002313 .0065497 -.0008253
.0000827
R2 | 802 .0004396 .0002182 .006179 .0000114
.0008679
---------+------------------------------------------------------------------
--
combined | 1604 .0000342 .0001593 .006378 -.0002782
.0003465
----------------------------------------------------------------------------
-- Ho: sd(R1) = sd(R2) F(801,801) observed = F_obs = 1.124
F(801,801) lower tail = F_L = 1/F_obs = 0.890
F(801,801) upper tail = F_U = F_obs = 1.124 Ha: sd(R1) ~= sd(R2)
P < F_L + P > F_U = 0.0994