LE MODÈLE AR(1)

Chapitre 8 : Toujours plus haut : les processus stochastiques non
stationnaires 1. Pot pourri de séries non stationnaires
2. Tendance stochastique
3. Tendance déterministe
4. Le cas général des tendances déterministe et stochastique
5. Estimation d'un modèle AR(1) non stationnaire
6. La pratique des séries non stationnaires
7. Quelques détails importants
8. La non stationnarité et les calculs usuels : impulse et prévisions
9. La non stationnarité dans un VAR : régressions illusoires et co-
intégration
1. Pot-pourri de séries non stationnaires On connaît bien les propriétés d'une série stationnaire : . moyenne et variance ne dépendent pas du temps;
. les autocorrélations (j tendent vers zéro à mesure que le délai j
augmente;
. la représentation moyenne du modèle ARMA(p,q) correspondant converge i.e.
les impulses tendent vers zéro;
. les prévisions y*T+h pour h grand tendent vers la moyenne et l'intervalle
de confiance vers le corridor naturel de la série. Dans les domaines de l'économie et de la finance, peu de séries sont
toutefois naturellement stationnaires. Règle générale, le PIB augmente à
chaque trimestre tout comme les investissements ou les importations. Les
taux d'intérêt ont connu des épisodes prolongés où ils ont été passablement
élevés puis se sont retrouvés à des niveaux beaucoup plus bas. Depuis les
années 80, le taux d'inflation canadien est passé de 8% à 6% puis depuis
1991 oscille entre 1% et 2%. Bien sûr, l'indice des prix à la consommation
augmente à chaque mois ou presque. L'exemple POT_POUR.PRG présente différents exemples de séries non
stationnaires. Malheureusement, tous les outils développés pour les séries
stationnaires ne s'appliquent plus à des séries non stationnaires à moins
de trouver une façon de les transformer pour qu'elles suivent les
conditions énoncées plus haut. Pire, il est possible de montrer que
l'estimation de modèles avec des données non stationnaires peut occasionner
de graves problèmes d'estimation. Un examen attentif de cette
problématique s'impose.
2. Tendance stochastique La série non stationnaire la plus simple et aussi la plus fondamentale est
la marche aléatoire yt = yt-1 + et où et suit une N(0,(2). Il s'agit d'un modèle AR(1) sans constante où le coefficient ( est égal à
1. On voit tout de suite que les hypothèses concernant la stationnarité ne
seront pas respectées : . la moyenne (/(1-() n'existe pas tout comme la variance (2/(1-(2);
. les autocorrélations (j = (j sont toujours égales à 1 et ne convergent
pas vers zéro quand j tend vers un grand nombre. Le présent est
parfaitement relié au passé!
. la représentation moyenne mobile
yt = et + (1et-1 + (2et-2 + (3et-3 ... où (j = (j = 1 peut alors s'écrire yt = et + et-1 + et-2 + et-3 + .... + e1
si bien que l'effet d'un choc très éloigné ne s'estompe pas
graduellement. Il est permanent! On peut facilement dériver l'intuition de ce résultat en simulant
récursivement la marche aléatoire. Posons une valeur de départ y0. Alors y1 = y0 + e1
y2 = y1+e2 = y0 + e1 + e2
y3 = y2 + e3 = y0 + e1 + e2 + e3
yt = yt-1 + et = y0 + e1 + e2 + .... + et Effectivement, la valeur de l'observation t dépend de tous les chocs passés
qui ont touchés la série. Les chocs ont bien un effet permanent. Ce
résultat est important : les autorités monétaires seraient sûrement très
intéressées à connaître si les chocs de taux d'intérêt ont un effet
permanent (série non stationnaire ) ou transitoire (série stationnaire). De plus, en posant y0 = 0, on voit tout de suite que la variance de la
série yt est donnée par Var(yt) = (2 + (2 + ... + (2 = T(2. La variance augmente sans cesse! Le corridor s'élargit à mesure que le
temps passe. Il ne s'agit certainement pas du cas d'une variable
stationnaire. Toutes ces propriétés et d'autres encore peuvent être visualisées à l'aide
de l'exemple MARCHE.PRG qui simule une dizaine de sentiers possibles pour
une marche aléatoire. On peut voir que selon les chocs et simulés, la
série peut rester stable, augmenter ou diminuer, un comportement que nous
n'avions pas observé dans le cas stationnaire. On dira alors que la série générée par une marche aléatoire n'est pas
stationnaire car elle a une racine unitaire i.e. (=1. Fait intéressant,
identifiée correctement, il est très facile de transformer cette série pour
qu'elle devienne stationnaire. Il s'agit tout simplement de prendre la
première différence. Ainsi yt = yt-1 + et n'est pas stationnaire mais yt - yt-1 = et i.e. la première différence est stationnaire car elle correspond au bruit
blanc et qui, par construction, est stationnaire. Pour simplifier, on
écrit alors le modèle comme suit wt = et où wt est une variable stationnaire égale à yt - yt-1 = (1-L)yt. On pourra
alors procéder avec les outils biens connus d'analyse d'une série
stationnaire. On sait que la première différence d'un série correspond à la pente locale
d'un graphique ou à sa tendance. Alors comme la première différence (la
pente ou la tendance) est égale à un bruit blanc, on dira que la série a
une tendance stochastique i.e. une pente qui change selon la période t. Finalement, il est possible de généraliser le cas de la marche aléatoire.
Par exemple, supposons le modèle AR(2) non stationnaire suivant (1,5+(-0,5)
=1) yt = 1,5 yt-1 - 0,5 yt-2 + et . Il est possible de trouver les racines caractéristiques qui donnent lieu à
la représentation polynomiale (1- 1,5L + 0,5L2) yt = et . (1-0,5 L) (1-L) yt = et Comme (1-L)yt =wt, en prenant la première différence, on a transformé un
modèle AR(2) non stationnaire en yt en un modèle AR(1) stationnaire en wt. (1-0,5 L) wt = et wt = 0,5wt-1 + et Nous aurons l'occasion de le constater à plusieurs reprises que racine
unitaire est synonyme de première différence.
3. Tendance déterministe Toutes les séries non stationnaires ne sont pas nécessairement générées par
une tendance stochastique. On peut très bien observer des phénomènes un
peu différents. Par exemple, yt = ( + ( t + y+t où y+t = ( y+t-1 + et. La moyenne de la série augmente au rythme ( + ( t (tendance déterministe)
mais est quelques fois supérieures, quelques fois inférieures selon les
valeurs prises par y+t qui est un processus AR(1) de moyenne zéro. Si la
série correspond effectivement à un tel modèle, la méthode de
transformation pour la rendre stationnaire est relativement simple. À
l'aide des moindres carrés (dans ce cas précis, les moindres carrés ont des
propriétés tout à fait correctes), la tendance linéaire est estimée et les
résidus nécessairement stationnaires sont obtenus. Ainsi yt - a - b t = résidus = y+t. Dans le cas général, on peut imaginer plusieurs fonctions déterministes et
la notation correspondante serait yt = DRt + y+t où y+t = (1 y+t-1 + (2 y+t-2 + ...+ (p y+t-p + et. où les racines du modèle AR(p) sont toutes à l'intérieur du cercle unité.
4. Le cas général des tendances stochastique et déterministe En pratique, on ne sait jamais lequel des deux cas est le plus approprié.
La série contient-elle une tendance déterministe, une tendance stochastique
ou même les deux. Dans ce cas, on aurait yt = DRt + y+t où y+t = (1 y+t-1 + (2 y+t-2 + ... + (p y+t-p + et
avec la possibilité que la série y+t contienne une tendance stochastique
i.e qu'une racine du polynôme soit sur le cercle unité.
5. Estimation d'un modèle AR(1) avec racine unitaire Revenons au modèle AR(1) yt = ( yt-1 + et. À première vue, la méthode pour détecter un racine unitaire semble
relativement simple. On estime le modèle AR(1) en question et on calcule
le test t usuel en tenant compte maintenant que H0 : (=1 vs H1: (