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TECHNIQUES MATHEMATIQUES DU TERTIAIRE
NIVEAU 3 Objectifs à atteindre :
31 Représenter graphiquement une série statistique
311 Diagramme à bâtons
312 Histogramme
313 Diagrammes circulaire et polaire
32 Polygone des effectifs et des fréquences Pré requis TC 27 Quelques rappels
1. Population statistique : C'est l'ensemble des individus (ou unités
statistiques) observés lors de l'enquête.
Exemple : la population française au 31 décembre 2008, le nombre des
stagiaires de l'E2c au 31/03/09, ......
2. Echantillon : Comme on ne peut mener l'enquête sur l'ensemble de la
population, on choisit selon certains critères, un sous ensemble de
cette population, c'est l'échantillon.
3. Caractère
Pour décrire quantitativement une population, on s'efforce de
classer les individus qui la composent en petits groupes.
Exemple: Dans une entreprise, on peut regrouper le personnel selon les
caractères sexe, âge, ancienneté, .....
Un caractère peut être :
qualitatif : s'il ne peut être mesuré (exemple : âge, état matrimonial,
diplôme, ....)
ou quantitatif s'il est mesurable.
Un caractère quantitatif peut être discret, si les unités observées sont
isolées (exemple: le nombre de stagiaires ayant obtenu la note10, .....)
ou continu s'il peut prendre toute valeur d'un intervalle (exemple :
nombre de stagiaires ayant trouvé leur stage entre le 1er et le 5 mars).
4. Modalités (xi)
Ce sont les différentes rubriques associées à un caractère qualitatif.
Ainsi le caractère « sexe » comporte 2 modalités : Homme et femme et le
caractère « état matrimonial en compte 4 c'est-à-dire Célibataire-marié-
veuf-Divorcé.
5. Effectif (ni) : nombre de fois où la modalité (i) a été observée.
Exemple : le nombre de stagiaires ayant trouvé leur stage est 5.
- L'effectif cumulé croissant (N^)d'une classe (ou d'une valeur) est la
somme de l'effectif de cette classe (ou de cette valeur) et des effectifs
des classes (ou des valeurs) qui précèdent.
- L'effectif cumulé décroissant (Nv)d'une classe (ou d'une valeur) est la
somme de l'effectif de cette classe (ou de cette valeur) et des effectifs
des classes (ou des valeurs) suivantes
5. Fréquence (fi)
C'est le pourcentage d'individus (n) présentant la même modalité (i).
C'est donc le quotient de l'effectif (ni) par l'effectif total N
[pic]X100
On peut aussi calculer les fréquences cumulées croissantes (F^) ou
décroissantes (Fv) sur le même principe que précédemment pour les
effectifs.
Exercice1 : Entourer la bonne réponse dans les cas suivants :
1). On étudie le salaire des techniciens d'une entreprise, quelle est la
population observée ?
o Le nombre de salariés de l'entreprise
o Les techniciens de l'entreprise
o Les salaires des techniciens de l'entreprise
2). On étudie les mesures, en cm, d'un lot de 50 pièces fabriquées par
une machine. Quel est le caractère étudié ?
o Le lot des pièces fabriquées
o Le nombre de pièces du lot fabriquées
o Les mesures, en cm, du lot de pièces fabriquées
3). On étudie la catégorie socio-professionnelle des familles du
lotissement. Quelle est la nature du caractère étudié ?
o Qualitatif
o Quantitatif discret
o Quantitatif continu.
Exercice2 : Dans un magasin on a relevé les achats effectués par la
clientèle. Pour 150 achats, on a obtenu les résultats suivants : |Classes |Effectifs|Fréquenc|Effectifs |Effectifs |Fréquences|Fréquences |
|d'achats |(ni) |es (fi) |cumulés |cumulés |cumulées |cumulées |
|(en | | |croissants |décroissant|croissante|décroissante|
|euros) | | |(N^) |s (Nv) |s (F^) |s (Fv) |
|[0;50[ |6 | | | | | |
|[50;100[ |9 | | | | | |
|[100;150[|39 | | | | | |
|[150;200[|66 | | | | | |
|[200;250[|30 | | | | | |
|Total | | | | | | | a). Quel est le caractère étudié et la nature de ce caractère ?
b). Compléter le tableau c). Déterminer le nombre d'achats inférieurs à 150 euros et le nombre
d'achats au moins égal à 150 euros. I. Représentations graphiques d'une série statistique A) Quelques diagrammes usuels 1. Diagramme à bâtons
Lorsqu'un caractère est quantitatif discret, on porte sur l'axe des
abscisses les valeurs discrètes du caractère et sur l'axe des ordonnées les
effectifs (ou fréquences) associés au caractère. On trace des bâtons
verticaux dont la longueur est proportionnelle aux effectifs (ou
fréquences).
Exemple : Distribution du nombre de références de produits par point de
vente |Nombre de |Nombre de |Fréquence des |Fréquences |Fréquences |
|références (xi)|points de |ventes fi (%) |cumulées |cumulées |
| |vente (ni) | |croissantes(F^|décroissantes |
| | | |) |(Fv) |
|1 |210 |42 |42 |100 |
|2 |176 |35,2 |77,2 |58 |
|3 |78 |15,6 |92,8 |22,8 |
|4 |20 |4 |96,8 |7,2 |
|5 |16 |3,2 |100 |3,2 |
|Total |600 |100 | | | [pic]
2. Diagramme cumulatif
Il permet de visualiser l'évolution des effectifs cumulés (ou fréquences
cumulées) liées aux valeurs du caractère. a) Caractère discret
Lorsque le caractère est discret, la courbe est une fonction en escalier. Exemple : On visualise l'évolution des fréquences calculées ci-dessus.
[pic]
b) Caractère continu : Courbe des fréquences cumulées On utilise les fréquences (ou effectifs) croissantes et décroissantes de la
série.
La fréquence (ou effectif) cumulée croissante nous permet de répondre à la
question : quel est le pourcentage (ou le nombre) d'individus dont la
valeur du caractère est inférieure ou égal à x .
La fréquence (ou effectif) cumulée décroissante nous permet de répondre à
la question : quel est le pourcentage (ou le nombre) d'individus dont la
valeur du caractère est strictement supérieur à x.
Comme la variable est continue, on peut donc relier par une droite les
points de la fonction de répartition.
Exemple : La répartition du chiffre d'affaires journalier par points de
vente des cartes prépayées, est donnée par le tableau suivant :
|Chiffre |Points de| fi |(F^)| (Fv ) |( N^ )|(Nv) |
|d'affaires |vente |(%) | | | | |
| |(ni) | | | | | |
|[0-100[ |236 |47,2 |47.2|100 |236 |500 |
|[100-250[ |158 |31.6 |78.8|52.8 |394 |264 |
|[250-500[ |71 |14.2 |93 |21.2 |465 |106 |
|[500-1000[ |25 |5 |98 |7 |490 |35 |
|[1000-2000[|10 |2 |100 |2 |500 |10 |
|Total |500 |100 | | | | | En traçant le diagramme des fréquences cumulées croissantes et
décroissantes, on obtient la figure suivante :
[pic]
Comme les calculs du tableau ci-dessus, le graphique nous permet d'observer
que : . 465 (ou 93%) des points de vente réalisent au plus 500 euros de
chiffre d'affaires alors que
. 106 autres points de vente (ou 21.2%) ont réalisé au moins 250 euros
de recettes
Exercice
Le tableau suivant donne la répartition des ménages d'une ville suivant le
nombre de véhicules automobiles possédés. |Véhicules |0 |1 |2 |3 |au moins 4 |
|automobiles | | | | | |
|Nombre de |488 |1872 |884 |186 |18 |
|ménages | | | | | | a) Préciser le caractère étudié, sa nature
b) Construire et compléter le tableau statistique en calculant les
fréquences et les effectifs cumulés.
c) Quelle est la proportion des ménages ayant :
- plus de 2 voitures ;
- moins de 3 voitures
d) Faire une représentation graphique de cette série.
e) Tracer le diagramme cumulatif ; en déduire les résultats trouvés à
la question c).
Exercice
Une étude menée sur les tarifs des menus des grands restaurants
Londoniens, est retracée dans le tableau suivant : |Montants (en |Menus |
|euros) | |
|[600 - 700 [ |7 |
|[700 - 800 [ |12 |
|[800 - 900 [ |16 |
|[900 -1000 [ |21 |
|[1000 - 1050 [ |12 |
|[1050 - 1100 [ |14 |
|[1100 - 1140 [ |12 | a) Préciser le caractère étudié, sa nature
b) Construire et compléter le tableau statistique en calculant les
fréquences et les effectifs cumulés.
c) Quelle la proportion des menus coûtant :
. moins de 900 euros ;
. entre 800 et 1100 euros
. plus de 1000 euros
d) Construire les courbes des fréquences cumulées ; en déduire les
proportions demandées en c).