Matière VUE ou A VOIR au cours ANALYSE 2 en 2009/2010 ...

Matière VUE ou A VOIR au cours ANALYSE 2 en 2009/2010.
Document NON officiel, mise à jour du 21 oct 09.
Ecriture abregee et (souvent) sans accents. Congés à récup.me11nov,
me23sept pm, ve 20 nov
Matiere entre { }= donnee pour information, ne fait pas partie de la
matiere d'examen.
Matiere entre [ ]= non donnee. sm= semaine m ; hn= heure n.
Epreuves écrites, en janvier et en mai. Ceci ne décrit que la « théorie ».
Matière de l'examen partiel de janvier: de l'heure h1 à heure h28, (sauf
fin h25 & h26 =la fonction de Green) + les exercices de tout le
quadrimestre.
s1 TP1=EDLcc (cours 16 sept.09) ------------------------------------------
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*h1: (15.7.1) EDL scalaire d'ordre p, régulière s/ I. Th. général: SGEH,
SGEnH, pb de Cauchy (dem!, sauf existence & unicite sol. pb Cauchy).
Système. fond. de sol. (def.)
La linéarité permet de superposer sol. de pbs "complémentaires".
(15.7.5) Opérateurs différentiels P(D), non commutatvité... sauf si coeff.
constants !
(15.7.6) Réduction d'ordre d'une EDL connaissant une sol.
*h2: (15.8.1) P(D)(t^n e^rt) & résol. EDL à coeff. cts (dem).
(15.9.1-2) EDLEEuler, changement de variable, equation indicielle.
(15.1.2, 3, 4): Passage d'une ED d'ordre p à un SD de p ED du 1er ordre
(en particulier EDL>SDL). La fonction vectorielle (y,y', ..., y( p-1) )
associée à la solution y de l'EDL.
(15.3) CP des SDLH à coefficients constants et matrice diagonalisable:
résolution à partir de valeurs propres et vecteurs propres de la matrice du
SDL.
cours 18 sept.09------------------------------------------------------------
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*h3: Chap.11. (11.1.1, 11.1.3) Séries numériques, terme général & sommes
partielles, convergence dans R.
(11.1.2) Série géometrique, série harmonique ( dem div),
(11.1.6) linéarité de la somme des séries,
Critère de Cauchy pour les suites (= CNS de convergence dans R)...
(11.1.7) critère de Cauchy pour les series (dem) et CN de conv. (t. gén.-
>0) (dem).
(11.1.5.4) von Neumann & la mouche qui rebondit... ; Achille et la Tortue
*h4: (11.1.10) Séries à termes positifs (conv = bornee, dem).
(11.1.9) Convergence Absolue, CA ==> cv (+dem)
(11.2) Intégrales généralisées et critère intégral de Cauchy pour les
séries (dem),
(11.2.5) série de Riemann (étude de sa conv. + dem)
(11.2.6) Critere de comparaison (dem).
s2 TP2=EDLEE ---------------------------------------------------------
(cours 23 sept.09) *h5 :(11.2.7) crit. d'equivalence
(11.3.1) Critère du quotient {dém}, + dém. que l =1 est un cas douteux.
(11.3.2) Critère de la racine et version simplifiée
(11.4.2) Critère des séries alternées (dem)
*h6: (11.4.3) majoration de l'erreur de troncature (dem).
(11.4.6) Critère d'Abel, critère de Cauchy, semi-convergence.
(11.5) ! manipuler les séries avec prudence!
(11.5.1) Regroupement des termes d'une série: OK si série cv. (dem)
(11.5.7) Permutation des termes=danger si pas CA. (ex.)
(11.5.2, 3) Cdts permettant la permutation des termes, étude selon cv. des
parties pos. et nég. et réarrangements de Riemann.
cours ven 25 sept. *h7:-----------------------------------------------------
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(11.6) Produit de Cauchy, CS de conv. (au moins une des séries CA, semicv
ne suffit pas: ex. )
(11.7) Conv. de séries de vecteurs (compos. par composante), CA.
(11.7) Conv. de séries complexes et CA
(11.8.1) Séries de puissances entières et positives.
(11.8.2) Disque de conv. dans le plan de Gauss, intervalle de conv. dans R *h8: (11.8.3) Critere d'Abel et semi-conv. sur les bords. {(11.8.5) series
géom. (suite des termes semblable à celle des sommes partielles, en spirale
log.)}.
(11.8.8) Série du binôme de Newton (avec dém.. renvoyant à un probl. de
Cauchy, mais sans discussion de la convergence en 1 ou -1).
(11.8.9) A voir par soi-même: A partir de séries géom et par intégration
t/t : série Maclaurin de ln(1+x).
s3 TP3=séries num. --------------------------------------------------------
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(cours 30 sept.09)*h9: Chap 12. (12.1.1-5) Les dangers de la conv. non
uniforme : continuité, intégrale, derivée, lg du gph non préservés par
passage à la limite.
(12.2.1-3) CS et CU d'une suite de fonctions; norme suprémum.
cours 3oct: *h10: (12.2.5) CS, CU, CN (en norme) d'une série de fcts.
(12.2.7) CN>CA en tout point et CN>CU, exemple de CU mais pas CN.
(12.3.1) Critere de Weierstrass pour series de fcts; (12.3.3) critere
d'Abel.
Le passage à la lim préserve-t-il le fait d'être borné?, l'intégrabilité?,
la continuité?,
la dérivabilité? :
(12.4.0) CU garantit que la limite de fcts bornées est bornée (dem)
(12.4.1) CU garantit que la limite de fcts continues est continue (dem)
s4: TP4=séries entières ----------------------------------------------------
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(cours 7 oct 09) h11: (12.4.2) Retour sur x^n /[0,1], CnU/[0,1[ , CUC/[0,1[
(CU sur tout sous-interv. compact) (12.5) Lim de fcts intégrables l'est &
intégrale de lim= lim des intégrales.
(12.6.2) Contre-exemples pour limite de la suite des dérivées.
(12.6.1) Lim de fcts dérivables est dérivable si la suite des dérivées CUC
et alors Dlim=limD. (12.6.6) Idem pour dérivées d'ordre sup.
(12.6.7) Idem pour dérivées partielles & grad.
*h12:
(12.7.0) FAUSSE dém de « on peut intégrer une série terme à terme » sans
supposer CU".
(12.7.1-3) Bienfaits de la CU pour séries : Continuité de la fct somme
(d'une série de fcts continues), dérivation t/t (si la série somme des
derivées CUC), intégration t/t (dém. de ces 3 résultats à partir des th.
correspondants s/ les suites)
12.8= Séries (de puissances) entières. (12.8.2, 5, 6) CUC à l'int. du
disque de conv. et on peut dériver t/t, d'où le th. d'Abel (Th. 12.8.2)
(dém sans la cont. s/ bords).
(12.8.3-4) Fct analytique et convergence (éventuellement locale) de ses
séries de Taylor.
Application au calcul de la série de arctanx : (11.8.10) (justifié grâce à
(12.8))
[formule d'Euler pour sommer (sur k naturel positif) les 1/k2n].
s5: TP5 = CU ---------------------------------------------------------------
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(cours 14 oct) *h13 : CHAP. 13. (13.3.1, 2, 4) Intégrales généralisées :
convergence,
(13.3.1, 2, 4) Intégrales généralisées : convergence, pour les intégrales
généralisées avec intégrande positive: convergente = bornée
(13.3.10) CA (plus fort que conv., exemple).
(13.3.11) Crit. de comparaison, d'équivalence. (13.3.12) intégrale de
1/xa...
Attention : conv. de intégrale de f s/R+ n'implique pas limf=0...
(13.3.15) Critère d'Abel.
(13.3.14) Fcts de carré sommable (=> intégrale de f conv.) (dem)
*h14 (13.4.2) Int. gén. en 2D: il faut la CA. La "conv non absolue" n'est
pas acceptable (si intégrales des parties positives & négatives sont non
bornées: n'importe quoi!),
(13.4.5) Aire sous la Gaussienne par calcul d'une intégrale double
généralisée.
s6: TP6 = propriétés de la CU ----------------------------------------------
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(cours 21 oct) *h15: (13.1) Parallèle entre série de fcts & fct définie
par une intégrale.
Introduction à (13.1) et (13.2) : penser à une densité f(x,t) qu'on intègre
sur Dt ...
{(13.1.1) CS pour garantir la continuité d'une fonction définie par une
intégrale (permuter limite et intégration),(dem)}, [ex. où on ne peut pas
permuter intégrale & lim (même fct qu'en (13.4)!)]
(13.1.2) CS pour pouvoir permuter dérivation et intégration ,{(13.1.3)
permuter deux intégrations}
(13.2. 4) Dérivation d'une fct définie par une intégrale 1D avec bornes
variables (dém directe à partir de la règle liée au Th. Fond. du CDI )
(13.2.5, 6,7) Règle de Leibniz: présentation avec notes distribuées au
cours.
*h16: (13.2.8, 9) Règle de Leibniz (suite et fin).
(13.5.1) A-t-on la continuité de I(x)= ?T f(x,t) dt lorsque l'intégrale
est généralisée?: la continuité de f(x,t) & la conv. simple de l'intégrale
généralisée sur T de f(x,t)dt ne suffisent pas à garantir la continuité de
l'intégrale! [c/ex.: même si f(x,t) CU vers 0 pour x> 0 sur T, alors I(x)=
?T f(x,t) dt peut ne pas être continue en x=0].
(13.5.2) CU (en x) sur X de l'intégrale généralisée ?T f(x,t) dt
(13.5.3) Ce que permet la CU d'intégrales généralisées (au bon niveau!):
permuter lim & intég., dériv. & intég., intég. & intég.
(13.5.5, 6) Critères de CU: critère de Weierstrass (& applic.) [et d'Abel.]
(13.6.1) Fct ? d'Euler: étude de la cv. de l'intégrale, continuité &
dérivabilité de ?..., formule de récurrence pour ? (dem)
[et prolongement de ? à tous les réels non entiers négatifs (en
généralisant formule de récurrence)]
A voir par soi-même (exercice): [ex: (13.6.6) Fct Beta d'Euler, formule de
multiplication (dem)]
[(13.6.8) Intégrales elliptiques, applications de ? au calcul d'intégrales
elliptiques.]
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s6bis: TP=récup du me 23 sept & (conseillé sinon récup.fin déc) du ve 20
nov ----------------
s7: (TP 7 = intégrales généralisées) (cours 4 nov avec exercice incendie)-
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*h17: chap. 14. (14.0) Modélisation de l'évolution de la température dans
un corps 3D (bilan & dérivation sous le signe intégral: égalité
d'intégrales > version ponctuelle: EDP de la chaleur).
EDP de la chaleur homogène en 1D : méth. de sépar. des variables pour
résoudre un pb avec CI & CB (avec CS pr qu'une série somme de sol. d'une
EDP soit encore une sol. de l'EDP).
(14.2.0) Décomposition d'un vecteur dans une base: plus facile avec un
produit scalaire.
*h18: (14.2.1, 2): prod. scalaire (hermitien) et esp. vect. L2
([a,b])...esp. muni de la norme quadratique (ou presque norme) (14.2.3).
(14.2.4) Idem avec une fct poids p. (14.2.5) Système orthogonal en sinus
sur [0,L].
(14.3.2, 3) CU, CS & CL2 (cv en moyenne quadratique) et liens (14.3.4).
(14.3.4) Calcul des coeff. de Fourier en cas de CU (dém.!). (14.3.5) Déf.
série de Fourier.
s7 (suite) : cours ven 6 nov ----------------------------
*h19: (14.4) Coeff. des séries de Fourier classiques, y compris avec
notation exponentielle,
et développement de fcts à