Mathématique - ULB

Chapitre zéro Avertissement (pour l'édition 2005) Les présentes notes écrites dans ce chapitre « zéro » sont destinées à
aider nos étudiants dans leur étude du cours « Eléments de Mathématiques
pour les Sciences Sociales » et ne constituent pas un texte définitif : au
contraire, elles sont appelées à évoluer et à s'étoffer. Elles reprennent
schématiquement la structure suivie dans l'exposé ex cathedra, et n'en
développent que les aspects les plus techniques, les plus liés aux autres
chapitres, et sur lesquels l'étudiant aurait à s'appuyer pour comprendre
une question théorique (par exemple, les types de démonstration).
Les références faites à certains livres ou articles de revue (comme
Tangente) sont destinées à élargir la culture mathématique des étudiants, à
ouvrir leur horizon, à donner contexte, sens et profondeur à leur savoir.
Nous avons la conviction que cela aide à « mieux comprendre », mais nous
n'attendons pas la mémorisation de ces lectures. Comme au sein des autres chapitres, le symbole @ désigne un passage de
« culture générale », qui ne fera pas l'objet de questions d'examen. Conseils du jour : Développez votre esprit critique, pratiquez le libre examen ! Notre exigence à votre égard : que vous soyez vous-mêmes, que vous pensiez
par vous-mêmes, que vous fassiez des maths en réfléchissant.
Attention : Pour vraiment nous montrer que vous n'avez rien appris : Confondre « chiffre » et « nombre »
Confondre « thèse » et « hypothèse »
Confondre « libre examen » et « liberté de passer l'examen ou non quand
vous en avez envie »
Confondre « esprit critique » et « répétition d'une critique courante que
vous avez lue dans un journal »
et enfin : confondre béarnaise et mayonnaise... Notre hypothèse fondatrice : Vous êtes intelligents, logiques et créatifs
Donc : Montrez-le !.
Nous vous aiderons au maximum...et sans pitié. L'essence de la mathématique - le sens des mathématiques Le chapitre zéro se veut être à la fois une introduction à l'Univers
mathématique actuel[1], une initiation à ses caractéristiques principales,
à ce qui le distingue des autres connaissances humaines mais aussi à leurs
points communs, à ses principes, ses méthodes et exigences....Il sera
utilisé dans tous les autres chapitres, davantage centrés sur des
« matières » théoriques et leurs applications. Ainsi le « zéro », comme
dans l'histoire et le progrès de la construction de l'édifice mathématique,
se révèle essentiel, fondamental, même si son objet peut paraître difficile
à cerner. Thèmes abordés : « pareille ».... -Les différents aspects de la culture mathématique, insérée dans la culture
universelle : ses « affinités » avec d'autres activités humaines, son
immersion dans l'Histoire, avec des Techniques, des philosophies, des
« besoins » en évolution. -Les zones d'ombre : préjugés et idées fausses ; rôle des paradoxes ;
effets pervers des vertus poussées à l'extrême ; effets inattendus des
concepts extrêmes (le zéro et l'infini, l'ensemble vide...) -Universelle ET particulière : la mathématique se retrouve partout, de tous
temps, sous des formes fort variées ; elle est en outre l'objets de
perceptions individuelles subjectives : cf. « Votre vision du monde
mathématique » (mini-sondage) -Apprivoiser la bête....C'est quoi ? D'où ça sort ? A quoi ça sert ? et moi
dans tout ça ? « et différente » -Quelques « grands mots » qui en disent long sur les ambitions des
mathématiques :
Liberté... Vérité... Egalité....Beauté... Rigueur.... -Deux piliers soutiennent l'édifice : la définition et la démonstration -Découvrir ou inventer ? la question de l'existence
Abstraction-Idéalisation
Mathématique dialectique versus mathématique algorithmique
« pareille ».... Une culture humaine @ La pratique des Mathématiques, par les qualités et attitudes qu'elle
requiert autant que par ce qu'elle « produit » s'apparente à d'autres
activités humaines : elle exigera de ses adeptes, tantôt comme un art,
tantôt comme une science, comme un sport, comme un langage, du travail, du
soin, de la curiosité, de l'esprit critique, de la créativité, de
l'imagination, parfois de l'audace et bien sûr, l'acquisition de
connaissances, de savoir-faire. Sa construction remonte à la plus haute antiquité, ce qui lui confère une
« maturité » respectable, sans pour autant qu'elle ne cesse d'accroître ses
conquêtes sur l'inconnu : des savoirs construits, testés, sans cesse revus,
corrigés, complétés, poursuivis et étendus à de nouveaux territoires,
accompagnés de techniques toujours plus nombreuses, plus efficaces et
adéquates, mieux maîtrisées. Largement diffusées aussi. À lire : deux avis sur la manière dont la science , les mathématiques en
particulier, se développent, au travers des individus, au travers des
sociétés :
in Davis & Hersh : p59
in Dieudonné : p 38 Pour s'initier au monde mathématique, il ne suffit point d'en être
« spectateur » : on n'apprend les mathématiques qu'en les re-construisant
soi-même, en s'entraînant « à faire des gammes »pour acquérir les bons
réflexes, nourrir son intuition, aiguiser ses instruments mentaux, sa
capacité d'argumentation rationnelle, sa précision. Nous verrons que les mathématiques entretiennent également des rapports
plus « mystérieux » avec les autres activités humaines, comme la
philosophie et les sciences naturelles, lorsque nous aborderons les thèmes
de « liberté », de « vérité » et d'« existence ». Ainsi, comme les autres activités culturelles, les Mathématiques impliquent
un apprentissage (VOUS, étudiants) - une transmission (nous, professeurs)
de quantité de choses[2] :
des savoirs
des techniques
des savoir-faire
des attitudes . « Côté sport » : il faut s'entraîner, développer ses propres potentiels,
acquérir une maîtrise . « Côté art » : exercer sa technique (les « gammes », le coup de crayon),
développer sa créativité, son imaginaire, son intuition . « Côté science » : comprendre comment ça marche...donner du sens...(se)
poser les bonnes questions...observer...expérimenter...tester... . « Côté langage » : connaître le sens (signification) des mots et leur
articulation (grammaire de la pensée) . Tous côtés : précision, rigueur...le mathématicien, apprenti ou expert
doit éviter à tout prix le bluff, le flou, le n'importe quoi, le
superficiel Zones d'ombre -Préjugés et idées fausses (imagerie populaire du « vieux mathématicien
barbu et à lunettes » qui fait des calculs ; ignorance de l'ancrage
historique des mathématiques et de leur évolution, croyance en la
« bosse », etc.....) -Rôle des paradoxes : entre paradoxes fertiles et sophismes (discuter pour
discuter), les paradoxes sont des éléments déstabilisateurs qui peuvent,
poussés à l'extrême, toucher au ridicule et à l'absurde, mais aussi par le
questionnement qu'ils provoquent, révéler des failles dans un système de
pensée et des raisonnements devenus mécaniques, et ainsi ouvrir de
nouvelles portes et provoquer de vrais progrès.
Lire : « Le livre des paradoxes » de Nicolas Falletta [Pierre Belfond,
1985]
-Effets pervers des vertus poussées à l'extrême
Il est malheureusement commun de confondre le but et les moyens de
l'atteindre (ou de s'en approcher), surtout si le « but » en question est
un idéal, et que le chemin vers lui semble sans fin...Ainsi, les vertus de
rigueur, ou de précision du langage, qui doivent aider le mathématicien à
produire des raisonnements plus exacts, dépourvus de failles ou d'ambiguïté
deviennent parfois une obsession stérilisante ; les non initiés se sentent
exclus et le cercle des initiés devient ghetto... A chaque âge
d'apprentissage conviendra un niveau d'exigence ; à chaque « problème » le
niveau de précision et de rigueur nécessaire.
Ainsi, comme le montre la caricature de Hans Freudenthal, tout langage
poussé à l'extrême devient maniérisme et jargon. Dans la même veine, on
pourrait opposer les excès possibles du « tout à l'intuition » et du « tout
au formalisme ». Lire : Citation de Hans Freudenthal parodiant cette façon de parler ; in
Davis &Hersh p.135 (Paragraphes en chantier)
-De l'erreur : erreurs communes : la figure (l'intuition, la perception
sensible) peut nous tromper : le « carré manquant »
On peut se tromper de bien des façons : énoncer qqch de faux ; énoncer
vrai, mais se tromper dans la preuve, oublier des cas, prouver autre chose
que la thèse (péché capital !). Toutefois, le statut de l'erreur n'est pas entièrement négatif ; si
« perseverare diabolicum »- s'entêter dans l'erreur n'est pas une bonne
idée- toutefois, l'erreur, reconnue comme telle, et bien analysée, est à la
source même de notre apprentissage. -développements récents des mathématiques : ampleur ; lire : 200.000
théorèmes, in « L'Univers Mathématique » p 20 et suivantes. -pseudo science : lire Sokal et Bricmont : jeter de la poudre aux yeux des
lecteurs (auditeurs,...) en habillant un discours d'un costume
artificiellement compliqué, de concepts et de jargon appartenant à une
toute autre discipline est une pratique totalement non scientifique,
trompeuse et manipulatrice. Universelle ET particulière -Votre vision du monde mathématique (mini-sondage) Petit sondage initial sur VOTRE vision de l'Univers mathématique (15
minutes) Je décompose schématiquement nos pensées en 3 types ou catégories :
-nos « savoirs » et connaissances : ces pensées peuvent être vraies ou
fausses éventuellement incomplètes
-nos opinions et croyances, qui sont liées à nos « valeurs » de Bien, de
Beau, ...
-nos sentiments
Exemples :
(A) « le théorème de Pythagore concerne les triangles rectangles et est
connu depuis l'Antiquité » :
(B )« les mathématiques sont utiles pour tout le monde »
(C) « les maths me font peur et me font douter de moi » A est un fait mathémat