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Eléments d'analyse du programme pour l'ensemble du thème VII.
Dans ce chapitre, on ne s'intéresse qu'à un seul cas particulier des
systèmes bouclés : celui des systèmes de commande. Dans le cadre de ce
programme, on se limite donc à une application de la réaction négative :
l'étude générale de la stabilité (et celle, par conséquent, des
oscillateurs) ne fait donc pas partie du programme. Dans ces conditions, on
se limite à l'étude de systèmes stables du second ordre au plus dont on
étudiera le degré de stabilité en boucle fermée. Mais évidemment, il se
peut que l'expérimentation sur des systèmes réels mette en évidence une
instabilité (parce que les systèmes réels se limitent rarement à l'ordre
2). Dans ce cas-là, on peut se contenter de dire aux étudiants que le
modèle choisi ne rend pas compte du phénomène observé. Pour que le système
soit utilisable, il faut tout d'abord le rendre stable par l'utilisation
d'un correcteur avant d'opérer de nouveau une identification pour en
décrire le fonctionnement. Les grandeurs commandées (grandeurs asservies) sont toujours de type
analogique (position, vitesse, température, pression...) alors que les
développements technologiques de l'Automatique conduisent incontestablement
à privilégier le volet numérique, qu'il soit obtenu par échantillonnage ou
qu'il soit de type numérique pur. Cependant, pour la compréhension physique
des phénomènes de l'Automatique, il est préférable d'aborder les notions
d'asservissement et de régulation par les systèmes asservis analogiques :
le volet analogique est ainsi un intermédiaire didactiquement utile à
l'introduction du langage spécifique et des notions générales nécessaires. Dans ce chapitre, l'ordinateur constitue un excellent outil
d'investigation, mais il faut se préserver de tout excès de simulation en
gardant (le plus souvent possible) un système réel comme base de l'étude :
voir un moteur, même petit, pomper est beaucoup plus démonstratif
qu'observer une série de nombres traités par un ordinateur, même si cette
série de nombres permet de modéliser l'instabilité du système. Le spécialiste d'Automatique s'intéresse plus à la réponse d'un
système qu'à la recherche ou à la résolution de son équation
différentielle : la méthode d'identification va lui permettre, à partir de
l'observation de la réponse d'un système à une entrée donnée, d'obtenir des
renseignements pour prévoir sa réponse à d'autres types d'entrées. Dans ce
qui suit, on n'étudie pas toutes les méthodes d'identification : on en a
choisi une seule parmi toutes celles qui existent : cette méthode
d'identification est introduite comme une modélisation comportementale. Cette démarche est formatrice à cause de son caractère général :
outre qu'elle est représentative de la méthode rencontrée dans la pratique
pour les asservissements analogiques, elle prépare également aux
raisonnements portant sur les asservissements échantillonnés.
Proposition didactique pour l'ensemble des thèmes VII.1 et VII.2 :
C'est par souci de clarté que l'on a découpé le thème VII en les
quatre points suivants :
- VII.1. Formalisme et identification d'un système analogique
linéaire.
- VII.2. Outils d'étude d'un système analogique.
- VII.3. Propriétés des systèmes asservis analogiques.
- VII.4. Propriétés des systèmes asservis échantillonnés.
Le thème VII.1 s'appuie sur les prérequis du thème VII.2. Cependant,
commencer par le thème VII.2. constituerait une erreur stratégique sur le
plan didactique dans la mesure où cela pourrait induire une présentation
théorique abstraite : les concepts devront toujours être introduits à
partir de l'exploitation d'exemples étudiés d'abord expérimentalement. Afin
de clarifier le propos, les lignes suivantes présentent donc un exemple de
chronologie de progression pour aborder le thème VII. - Première étape : poser la situation-problème.
La nécessité de l'identification d'un système réel doit
être introduite à partir d'une situation-problème au moyen d'une
expérience de cours présentée par le professeur. On s'intéresse
par exemple à la commande de vitesse d'un petit moteur à courant
continu et on observe le signal correspondant à la réponse à un
échelon de la tension d'alimentation de ce moteur. On fait
remarquer aux étudiants que la forme de la réponse temporelle
est différente de celle de l'excitation, et que, par conséquent,
les compositions spectrales de ces deux signaux sont
différentes. Or, dans le déroulement du programme, en première
année, on a déjà rencontré des systèmes agissant sur le spectre
d'un signal : dès lors, si l'on fait l'hypothèse du
fonctionnement linéaire, on peut dire que ce montage de commande
de vitesse du moteur se comporte comme un filtre analogique dont
on pourra faire l'étude en s'appuyant sur les prérequis que
constitue le thème III.3. D'où l'idée de modéliser le
comportement du montage en le comparant au comportement d'un
filtre analogique. - Seconde étape : se familiariser avec les outils d'étude.
Lors de l'étude des propriétés des filtres (Cf. thème
III.3), on avait essentiellement insisté sur leur réponse
harmonique et leur intérêt dans le domaine du filtrage c'est à
dire du tri des fréquences. Maintenant, on va plutôt
s'intéresser à leur régime transitoire, et plus
particulièrement, dans le cas de la réponse indicielle : c'est
l'objet du thème VII. 2.
On se constitue en réalité une petite bibliothèque de
modèles à partir des filtres déjà étudiés dans le thème III.3.
La bibliothèque est limitée aux filtres linéaires du premier et
du second ordre qui vont constituer les modèles mathématiques
dont on aura besoin pour expliquer le comportement des
asservissements rencontrés : on connaît déjà les formes
canoniques de la fonction de transfert de certains filtres les
plus simples qui sont au programme. Pour l'étude des propriétés
de ces modèles, il est utile de consulter le dossier contenant
des outils logiciels utilisant un tableur.
Il conviendra de faire remarquer aux étudiants qu'à ces
fonctions de transfert correspondent des équations
différentielles, que l'on peut d'ailleurs établir directement
dans le cas simples. Mais, les systèmes réels sont rarement
complètement linéaires ou limités au second ordre ; la
modélisation de leurs organes n'est pas toujours simple, et même
parfois impossible : il résulte de tout cela que la mise en
équation différentielle n'est pas toujours possible (faire
comprendre aux étudiant la supériorité de la méthode
d'identification).
- Troisième étape : utiliser la bibliothèque de modèles.
On reprend le montage de commande asservie de la vitesse
d'un moteur, cette fois en travaux pratiques, pour appliquer la
méthode d'identification préconisée afin d'expliquer le
fonctionnement d'un asservissement. VII.1. Formalisme et identification d'un système analogique. Propositions didactiques : Pour analyser le fonctionnement d'un système réel dans le but de le
modifier ou de l'améliorer, la démarche est la suivante :
- Modélisation du système par un essai d'identification (ou par
application des lois de la Physique).
- Exploitation du modèle pour approcher les résultats souhaités.
Cette démarche inspire donc la stratégie décrite dans les trois étapes
de la proposition didactique ci-dessus.
- lorsqu'un système réel est suffisamment simple (ou bien
lorsque ses éléments sont idéalisables) on le modélisera en
appliquant des lois de base de la physique (celles qui sont à
la portée de nos étudiants), ce qui conduira à l'écriture
d'une équation différentielle.
- dès que le système devient plus "complexe", on cherchera à
l'identifier à un modèle connu, à la suite d'un essai portant
prioritairement sur la réponse indicielle du fait de la
simplicité de mise en ?uvre de celle-ci.
Dans les deux cas, on se ramène à un modèle linéaire dont les
propriétés connues permettront de prévoir le comportement du système réel.
Cette double situation est illustrée par le schéma de la page suivante.
Il convient de remarquer que, dans cette démarche, l'application des
lois de la Physique pour établir l'équation différentielle d'un système
linéaire du premier ou du second ordre fait partie du programme de Physique
appliquée alors que la résolution de cette équation différentielle par une
méthode analytique n'en fait pas partie : il existe des outils logiciels
permettant de visualiser directement les solutions s(t).
Propositions d'activités au laboratoire pour les étudiants (2 séances de
2h) :
T.P n°VII.1.a : identification de la commande d'un moteur.
Les étudiants observeront la réponse en vitesse d'un moteur (moteur
pas à pas ou un moteur à courant con