équat.Maxw. - Le Repaire des Sciences

ELECTROMAGNETISME INTRODUCTION Très souvent, on finit par étudier le mouvement parce que c'est ce que l'on
observe quand un système évolue.
L'étude de la mécanique est divisée en quatre grandes parties, chacune
correspondant à un domaine différent de grandeur des vitesses et des
distances. [pic]
1) plus grandes distances et plus petites vitesses :
c'est notre monde quotidien. C'est le domaine de la physique classique
de Newton. On pourrait dire que le rayon de l'atome de carbone nous
sert d'unité de longueur, par exemple.
2) plus grandes distances et plus grandes vitesses :
lorsque la vitesse atteint environ 10% de la vitesse de la lumière, il
faut faire appel à la physique relativiste d'Einstein. 3) plus petites distances et plus petites vitesses :
lorsque les distances deviennent inférieures aux dimensions atomiques
(environ 10-10 cm), alors les systèmes doivent être décrits par la
physique quantique de Schrödinger, Heisenberg, Bohr etc...On ne peut
plus alors parler que de probabilité de présence et position et
impulsion sont reliées par la relation d'incertitude d'Heisenberg. 4) plus petites distances et plus grandes vitesses :
il faut alors tenir compte des aspects quantiques à cause de petites
distances et relativistes à cause des grandes vitesses et utiliser la
théorie quantique des champs.
L'électromagnétisme.
C'est le domaine de la physique qui étudie comme un tout les aspects
électriques, magnétiques et optiques d'un milieu, il entre dans la
région (2). Cette unification des trois aspects a été réalisée à la
fin du siècle dernier par Maxwell. Einstein espérait inclure la
gravitation dans la famille, il n'y a pas réussi mais il a montré le
caractère relativiste du champ électromagnétique. Par contre, les
interactions faibles, sous le nom d'électro-faibles, y sont entrées,
grâce à Weinberg, Salam et Glashow, ce qui leur a valu le prix Nobel
de Physique en 1979. Formulation de l'électromagnétisme (ou électrodynamique) en terme de champs On a vu les années précédentes que l'espace autour d'une charge électrique
en mouvement (source) est rempli par les champs électrique et magnétique :
cela signifie qu'une autre charge, libre de se déplacer, objet de test
appartenant à la même famille (un objet ayant une masse mais pas de charge
serait sans interaction avec la source) et passant dans le voisinage de la
charge précédente subira une force qui modifiera son mouvement d'origine.
On verra que lorsqu'une charge subit une accélération, une partie des
champs électrique et magnétique se propage à la vitesse de la lumière,
emportant de l'énergie et de l'impulsion.
Ces observations expérimentales poussent à s'intéresser non pas directement
aux charges qui produisent et subissent des actions électromagnétiques,
mais plutôt au champ électromagnétique lui-même, comme à une grandeur
dynamique en soi. C'est l'objet de ce cours que d'étudier les propriétés de la matière au
voisinage de charges en mouvement, par l'intermédiaire du champ
électrodynamique, sans plus faire appel aux charges. On commencera par se
placer dans le vide, puis on s'intéressera aux milieux matériels réels.
Dans tous les cas, les dimensions seront assez grandes pour que l'on n'ait
pas besoin de considérer les aspects quantiques.
[pic] Si la distribution de charges, de densité ?, est statique, elle crée un
champ électrostatique seulement.
Si elle est animée d'une vitesse uniforme [pic];v) , elle crée un champ
magnétique en plus du champ électrique. Le champ électrique et le champ
magnétique contiennent une énergie, qui est donc potentielle.
Si elle est animée d'une vitesse variable [pic];v) , et d'une accélération
[pic];a) , alors le champ électromagnétique se déplace à la vitesse de la
lumière c et rayonne : il y a transport d'énergie et d'impulsion.
ELECTROMAGNÉTISME DU VIDE : DE LA STATIQUE À LA DYNAMIQUE.
L'essentiel du contenu de ce chapitre a été vu en DEUG 2° année. Son
objectif est surtout d'uniformiser les notations et le vocabulaire et de
s'assurer que les concepts ont une signification physique et représentent
plus que des termes dans une formule. A- RAPPELS : opérateurs vectoriels
On se place, pour ces rappels, dans la situation où les sources de charge
et de courant sont stationnaires, ce sont des grandeurs qui ne varient pas
dans le temps, elles traduisent la conservation de la charge totale dans le
temps :
[pic]
où la limite est atteinte quand le volume est assez petit pour que d'une
part le résultat ne change pas quand ce volume est encore diminué, d'autre
part la forme choisie pour le volume n'influe pas de façon mesurable sur la
valeur de la densité. 1) les équations locales sont des équations différentielles
Toute la théorie de l'électromagnétisme classique est contenue dans
les quatre équations de Maxwell, associées à l'équation de
conservation de la quantité totale de charge. Comme la plupart des
équations de la physique, ce sont des équations différentielles,
c'est-à-dire qu'elles contiennent l'information non pas directement
sur la grandeur physique qui est la fonction inconnue de l'espace
dans sa globalité (ce serait par exemple la masse), mais sur son
évolution au voisinage d'un point (ce serait dans cet exemple la
masse volumique). Ceci pour l'aspect physique. De ce fait, le prix à
payer pour accéder à la connaissance de la grandeur physique est que
l'on doit connaître ou imposer des contraintes, autant que de degrés
de liberté du problème, ce qui se traduit du point de vue de la
résolution mathématique par le nombre de constantes qui permettent
de définir une solution unique. Ces contraintes sont en général des
conditions aux limites de l'espace étudié ou des conditions de
continuité. 2) différence entre fonction scalaire et fonction vectorielle
Alors que pour une fonction scalaire, même fonction d'un vecteur,
f([pic];r) ), une seule équation différentielle de l'espace à trois
dimensions, accompagnée de contraintes en nombre convenable :
[pic];grad) f([pic];r) )= [pic];U)(\O([pic];r)) accompagné de
contraintes
suffit pour obtenir la solution
f([pic];r) ) = [pic] [pic];U)(\O([pic];r)) .[pic];dr)
pour une fonction vectorielle [pic];v)(\O([pic];r)) , il faut
connaître les deux opérateurs vectoriels à la fois, à savoir la
divergence et le rotationnel :
div [pic];v)(\O([pic];r)) = g([pic];r) ) et [pic];rot)
\O([pic];v)(\O([pic];r)) =[pic];V)(\O([pic];r))
accompagné de contraintes.
Ces équations sont dites équations locales parce qu'elles font appel
à une connaissance localement très précise de la façon dont varie le
champ vectoriel [pic];v) autour de tout point de l'espace, si l'on
veut connaître la valeur du champ en ce point.
Cependant, cette dénomination peut être trompeuse : par exemple, le
champ électrique coulombien créé en un point P par une distribution
de charges en volume est calculé à partir du champ d[pic];E) créé
par chaque élément du volume chargé, assimilé à une charge
ponctuelle, et du principe de superposition. Il s'agit dans ce cas de
faire la somme des contributions de tout le volume qui crée le champ
en un point P choisi de l'espace. Par contre les équations locales
conduisent à la connaissance du champ en ce point P à partir de la
connaissance de sa variation autour de ce même point P. Pour cette
raison, en anglais on appelle les équations locales "differential
laws", par opposition "integral laws".
Il faudra toujours distinguer dans le cas général les points de
l'espace qui créent le champ et ceux autour desquels on le mesure. 3) Rotationnel et théorème de Stokes
3-a le rotationnel [pic]
Un point P de l'espace dans lequel existe le champ de vecteurs [pic];v)
est repéré par le vecteur [pic];r) à partir d'une origine arbitraire O. ?C
est un contour fermé autour de ce point, orienté par un sens de parcours et
sur ce contour s'appuie une surface quelconque (simple, non connexe pour
simplifier) d'aire ?S. Le périmètre du contour est choisi assez petit pour
considérer la surface comme plane. Celle-ci peut alors être représentée par
un vecteur [pic];DS) =?S.[pic];n) , normal à la surface, orienté dans le
sens positif correspondant au sens de parcours sur le contour. On peut
alors évaluer la circulation du vecteur [pic];v) sur le contour par unité
de surface limitée par le contour :[pic]
[pic]
La notation ?S(?Cf) signifie : aire de la surface délimitée par le contour
fermé ?Cf remplissant les conditions précédentes.
Le résultat dépend en général du choix du contour. Si C1 est le résultat
obtenu pour un premier contour et C2 le résultat obtenu pour un deuxième
contour enserrant une surface d'aire plus faible, on peut écrire : C1=C2 +
reste. Si la valeur absolue du reste diminue quand la surface diminue, il
peut exister une limite, quand le contour est assez petit pour que ni sa
forme ni la longueur de son périmètre ne compte. Compte tenu du fait que ce
contour est orienté dans l'espace, on définit le rotationnel à partir de
cette limite par :