I.2 Rappels de Magnétostatique.

Electromagnétisme en régime stationnaire. Les notions d'électrostatique et de magnétostatique dans le vide ont
été abordées précédemment. Se reporter à ces cours pour un contenu
exhaustif, ne sont présentées ici que les notions utiles pour aborder le
cours de licence.
a Rappels d'Electrostatique.
i Loi de Coulomb. On se place dans un référentiel où l'on est en présence d'un ensemble de
charges immobiles. [pic]
Figure 1
La loi de Coulomb, d'origine expérimentale, permet de rendre compte
des interactions entre deux charges q1 et q2. Ces charges situées en M1 et
M2 sont des nombres entiers de charges élémentaires (qi = zi e, où e=1,602
10-19 en [C] ou [A.s] suivante le système d'unités MKSA). Dans le vide de permittivité diélectrique (0 = 1/(36( 109) ~ 8,8542 10-12
en [F/m] soit (0C = 1/(120(), la force d'interaction est :
[pic] en [N] avec [pic] le vecteur directionnel de norme 1.
Équation I-1
Suivant le principe d'action-réaction, nous avons de même : [pic]. La force
est répulsive si [pic] et attractive si [pic]. On écrit alors qu'une charge q au repos en un point M de l'espace
subit une force qui peut se mettre sous la forme :
[pic]
Équation I-2 Cette force définit le champ électrostatique [pic] créé en M par la
distribution de charges existant autour de P et occupant le volume (. Cette
charge peut s'obtenir par intégration d'une densité de charge présente en P
sur l'élément de volume [pic]. Cette densité se note [pic][pic].
[pic]
Figure 2 Il est aisé de montrer en utilisant le principe de superposition des champs
électrostatiques que, dans ces conditions, le champ électrique total en M
est donné par intégration :
[pic]
Équation I-3
ii Circulation du champ électrostatique. La circulation du champ [pic] le long du déplacement élémentaire
[pic] porté par la tangente en tout point M de la courbe ( est le
scalaire : [pic]. La circulation d'une force est égale à son travail. Ici
nous considérons la circulation du champ électrostatique créé par la charge
q placée en P qui définit aussi l'origine du repère. On note ainsi [pic],
où [pic] est le vecteur unitaire et on obtient pour le produit scalaire :
[pic].
[pic]
Figure 3 La circulation le long de l'arc de la courbe ( délimité par le point M1 et
le point M2 vaut :
[pic] Puisque la circulation du champ [pic] ne dépend que des coordonnées de M1
et M2 et non du chemin pris (ici (), on dit que [pic] est un champ à
circulation conservative. On associe alors un potentiel scalaire dit
électrostatique [pic] à [pic] par la relation :
[pic]
Équation I-4
ou par la relation équivalente :
[pic]
Équation I-5
On identifie dans l'Équation I-3 les valeurs du potentiel en M1 et M2.
Retenons : [pic]. Bien entendu sur un contour (i.e. une courbe fermée : M2
confondu avec M1) on obtient :
[pic]
Équation I-6 On peut montrer que le champ [pic] est un vecteur normal aux surfaces
équipotentielles et que le potentiel scalaire V décroît le long d'une ligne
de champ parcourue dans le sens du vecteur [pic]. Pour cette raison, les
lignes du champ [pic] ne peuvent pas être des courbes fermées. Considérons maintenant une surface S quelconque s'appuyant sur le
contour [pic] et [pic] l'élément de surface normal en tout point à S et
dont le sens se déduit de l'orientation du contour conformément à la règle
du tire bouchon. La formule de Stokes : [pic] et l'Équation I-6 conduisent
naturellement à la relation :
[pic]
Équation I-7
iii Flux du champ électrostatique. Une autre relation fondamentale s'obtient en estimant le flux du
champ [pic] créé par une charge en P à travers l'élément de surface [pic] :
[pic]. Le théorème de Gauss en forme intégrale montre que ce flux est nul
au travers d'une surface fermée S contenant aucune charge et qu'il vaut le
quotient par (0 de la somme des charges Qint situées à l'intérieur de la
surface. On le note :
[pic]
Équation I-8 En rappelant la formule d'Ostrogradski : [pic] et en introduisant la
densité volumique de charge en M : [pic] liée à la charge totale par
l'intégrale volumique [pic], on montre que localement le champ électrique
vérifie la relation :
[pic]
Équation I-9 Pour la distribution de charge précédente le potentiel électrostatique peut
se mettre sous la forme :
[pic]
Équation I-10
Remarquons que le potentiel obtenu par intégration est toujours définit à
une constante près. Il est nécessairement continu, sinon à la discontinuité
le champ électrique serait infini ce qui n'est pas envisageable. Des Équation I-9 et Équation I-4 on déduit l'équation de Poisson :
[pic]
Équation I-11
En un point de l'espace M où il n'y a pas de charges, celle ci devient
l'équation de Laplace :
[pic]
Équation I-12
b Rappels de Magnétostatique. Il s'agit d'étudier maintenant les phénomènes observables lorsqu'une
partie au moins des charges présentes est en mouvement (existence de
courants). Cependant on se limite à ce stade à l'existence de courants
continus (i.e. stationnaires, indépendants du temps). Les champs ainsi
créés sont donc eux aussi indépendants du temps. On s'intéresse toujours à
une charge q placée en M, éventuellement en mouvement avec une vitesse
[pic]. A partir d'observations expérimentales, on a constaté que la force exercée
sur la charge q se décompose en deux termes :
La première contribution est la force d'origine électrique
indépendante de la vitesse [pic] et s'écrit :
[pic]
Équation I-13
La seconde contribution est la force d'origine magnétique qui dépend
linéairement de la vitesse :
[pic]
Équation I-14
Cette relation définit le champ Magnétique [pic] dont le sens résulte de la
convention du trièdre direct, contrairement à [pic] et [pic] dont le sens
est définit intrinsèquement. Pour cette raison [pic] est souvent qualifié
de pseudo-vecteur et noté [pic]. Le produit vectoriel [pic] est assimilé à
un champ électromoteur [pic] par analogie avec l'Équation I-13. La résultante [pic] est la force de Lorentz :
[pic]
Équation I-15
Remarques : l'Équation I-15 redéfinit le champs électrique et si toutes les
charges sont au repos on retrouve les expressions de l'électrostatique.
Notons que l'Équation I-3 a été obtenue lorsque toutes les charges sont
immobiles, le champ électrique tel que nous venons de le définir est donc
susceptible d'être différent du champ électrostatique dès lors que
certaines charges sont en mouvement.
i Distributions volumiques de courants. Sous une forme locale on s'intéresse à un élément de charge mobile dq
contenu dans l'élément de volume d( autour de M. En présence d'un champ
magnétique en M, les charges [pic] contenues dans d( ressentent la force de
Lorentz notée :
[pic]
Équation I-16
où on peut introduire la densité volumique de charges mobiles [pic] telle
que [pic]. Si tous les porteurs de charge sont identiques (de charge q),
[pic] est le produit q n(M), où n(M) est le nombre de porteurs de charge
mobile par unité de volume (soit une densité de particules chargées). On
introduit souvent le vecteur densité de courant de conduction [pic] tel
que :
[pic], en [A.m-2]
Équation I-17
En tenant compte de la présence en M du champ [pic], on exprime la densité
volumique de la force résultante :
[pic]. Le calcul du champ [pic] dans le cadre de la magnétostatique
s'effectue à partir de la loi de Biot et Savart d'origine expérimentale
tout comme la loi de Coulomb. La contribution élémentaire au champ
magnétique en M créée par la densité de courant [pic] contenue dans le
volume élémentaire [pic], peut s'écrire :
[pic]
Équation I-18
où (0 = 1/(C2 (0) = 4( 10-7 est la perméabilité magnétique absolue du vide.
Il faut noter que l'élément de champ magnétisme [pic] n'a pas de
signification propre mais est utile pour les calculs du champ magnétique
[pic].
ii Courants filiformes. Les courants de densité [pic] dits filiformes sont fréquents. Ils se
définissent par exemple le long d'un fil métallique de petite section S
parcouru par un courant d'intensité I. En général, l'intensité électrique
traversant une surface S se définit par :
[pic]
Équation I-19
[pic]