TD EM3 : Champ magnétostatique - PCSI-PSI AUX ULIS

TD EM3 : Champ magnétostatique
But du chapitre . Introduire les lois de base de la magnétostatique pour des
distributions filiformes de courant.
. Observer les analogies et différences entre les champs engendrés par
un dipôle électrostatique et un dipôle magnétostatique.
Plan prévisionnel du chapitre I - Sources et effets du champ magnétostatique
1°) Les aimants
2°) Actions entre aimants et courants
3°) Champ magnétique
II - Topographie des lignes de champ ; spectres magnétiques
III - Champ magnétique créé par une distribution filiforme de courant
1°) Loi de Biot et Savart
2°) Invariances
3°) Symétries
IV - Propriétés vectorielles du champ magnétique
1°) Flux du champ magnétique ; théorème de Gauss pour le champ magnétique
2°) Circulation du champ magnétique ; le théorème d'Ampère
V - Moment magnétique
1°) Moment magnétique
2°) Dipôle magnétique
3°) Champ magnétique créé par un dipôle magnétique
4°) Lignes de champ
5°) Application
Savoirs et savoir-faire Ce qu'il faut savoir :
> La loi de Biot et Savart
> Les propriétés de symétrie du champ magnétostatique
> Le théorème d ' Ampère
> La notion de dipôle et de moment magnétique
Ce qu'il faut savoir faire :
> Déterminer la direction d'un champ magnétostatique, à partir des
symétries de la distribution de charges
> Déterminer les coordonnées dont dépendent les composantes du champ,
à partir des invariances de la distribution de charges
> Calculer un champ magnétostatique par intégration directe
> Calculer un champ magnétostatique en utilisant le théorème d'Ampère
Erreurs à éviter/ conseils :
> Faire attention aux propriétés de symétrie particulières du champ
magnétostatique, « inversées » par rapport à celles du champ
électrostatique.
> Éviter autant que possible le calcul intégral direct d'un champ
magnétostatique avec la loi de Biot et Savart, généralement lourde
à utiliser : elle sert essentiellement à calculer le champ créé par
une spire sur son axe. Faire très attention aux conventions d'orientation dans
l'utilisation du théorème d'Ampère, les choix des sens positifs
pour la circulation et pour le courant ne sont pas indépendants.
Applications du cours Application 1 : Déterminer la direction du champ magnétostatique
1°) Déterminer la direction du champ magnétostatique créé par un fil
rectiligne infini parcouru par un courant d'intensité I en un point M
quelconque situé à l'extérieur du fil (cette distribution de courant
communément appelée « fil infini » est un fil constitue une bonne
approximation d'une situation où l'on considère le champ à une distance
d'un fil très faible devant son rayon de courbure).
2°) Une spire circulaire C'est un conducteur filiforme circulaire de centre
O, de rayon R et parcouru par un courant I. On note (Oz) l'axe de la spire
et on s'intéresse au champ magnétostatique créé par la spire en un point M
sur cet axe, dont la position est caractérisée par la coordonnée z.
Déterminer la direction du champ magnétostatique créé par la spire en M.
3°) Un solénoïde est une bobine circulaire, comportant N spires de rayon R
parcourues par un courant I, et de longueur L>>R (typiquement L de l'ordre
de 10R). On caractérise un solénoïde par le nombre de spires par unité de
longueur n = N/L. Le modèle de solénoïde infini (longueur L infinie) donne
une bonne approximation du champ magnétostatique dans un solénoïde réel au
voisinage de son milieu (mais elle devient moins bonne près des
extrémités). Déterminer la direction du champ magnétostatique en une point
M situé à l'intérieur et à l'extérieur du solénoide.
[pic]
Application 2 : Déterminer les coordonnées dont dépendent les composantes
du champ
1°) On reprend le champ magnétostatique créée en M par le fil infini
présenté dans la question 1 de l'application 1. On repère la position du
point M en coordonnées cylindriques (r, ?, z). Déterminer les coordonnées
dont dépendent les composantes du champ magnétostatique créé en M.
2°) On reprend le champ magnétostatique créée en M par le solénoide infini
présenté dans la question 3 de l'application 1. On repère la position du
point M en coordonnées cylindriques (r, ?, z). Déterminer les coordonnées
dont dépendent les composantes du champ magnétostatique créé en M. Application 3 : Calculer un champ magnétostatique en utilisant de la loi de
Biot et Savart
On considère une spire de centre O, de rayon R et d'axe (Oz) parcourue par
un courant I. Calculer le champ magnétostatique créé par la spire en un
point M situé sur son axe, de coordonnée z.
Application 4 : Calculer un champ magnétostatique en utilisant le théorème
d'Ampère
1°) On considère un fil infini parcouru par un courant d'intensité I. L'axe
du fil est (Oz) et le courant I est dirigé vers les z croissants. On repère
la position de M en coordonnées cylindriques (r,?,z) . Déterminer le champ
créé par la spire en M.
[pic]
2°) On reprend la situation présentée en exemple dans la question 3 de
l'application 1 : un solénoïde de rayon R et de longueur L comportant N
spires, parcourues par un courant I. On se place dans l'approximation du
solénoïde infini, que l'on considère comme un ensemble de spires planes
circulaires régulièrement espacées. On repère la position d'un point M en
coordonnées cylindriques (r,?,z). Calculer le champ magnétostatique créé
par le solénoïde en M un point situé à l'intérieur du solénoïde. On
considérera que le champ magnétostatique est nul à l'extérieur du
solénoïde. Application 5 : Calculer le flux d'un champ magnétique
Évaluer le flux magnétique « envoyé » par le fil rectiligne infini (de
direction Oy) parcouru par le courant d'intensité I, à travers le contour
carré (de côté a), situé dans le plan xOy et de normale orientée selon
[pic], tel que OO' = D (O' : centre du carré) et D>[pic].
[pic] Exercices
Exercice 1 : Bobine plate
On qualifie de plate une bobine dont la hauteur h est très inférieure au
rayon des spires R.
La bobine plate considérée comporte N spires et est parcourue par un
courant I.
Pour les applications numériques, on prendra R = 20 cm, h = 1 cm, N = 200
et I = 500 mA.
1°) L'approximation faite généralement pour une bobine plate est de
considérer que toutes les
spires sont confondues et donc que le champ créé est égal à N fois celui
d'une spire. Donner l'expression du champ créé sur l'axe de la bobine et
calculer sa valeur numérique au centre de la bobine.
2°) On prend maintenant en compte la hauteur h de la bobine. En la
considérant comme un ensemble de spires planes régulièrement réparties,
donner l'expression du champ au centre
de la bobine. Faire l'application numérique et calculer l'écart relatif
avec la valeur approchée
précédente. Conclure quant à la validité de l'approximation dans ce cas. Exercice 2 : Solénoide infini
On considère un solénoïde dans l'approximation du solénoïde infini,
comportant n spires par unité de longueur, de rayon R et parcouru par un
courant I. On cherche à établir complètement l'expression du champ
magnétostatique, sans supposer à priori qu'il est nul à l'extérieur. Le
solénoïde est considéré comme un ensemble de spires planes.
1. À partir de l'expression du champ créé par une spire, calculer le champ
sur l'axe du solénoïde.
2. En déduire, en utilisant le théorème d'Ampère, le champ en tout point en
dehors de l'axe.
Exercice 3 : Bobines de Helmholtz
Le dispositif des bobines de Helmholtz est constitué de deux bobines plates
de rayon R, de N spires chacune, de même axe (Ox) et séparées par une
distance d = O1O2. Un courant I circule dans le même sens dans les deux
bobines. On s'intéresse au champ magnétostatique créé par ce
dispositif au voisinage du point O, milieu de O1O2. L'intérêt de
ce dispositif est qu'avec d = R le champ magnétostatique créé est
uniforme dans une large zone autour de O.
[pic]
1°) On considère chaque bobine comme un ensemble de N spires circulaires
confondues. En utilisant l'expression du champ créé par une spire sur son
axe, donner l'expression du champ en un point M situé sur l'axe (Ox).
2°) On écrit[pic]. Montrer que Bx(x) est une fonction paire. Que peut-on en
déduire concernant le développement limité de Bx(x) au voisinage de 0 ?
3°) Calculer le développement limité à l'ordre 3 en [pic]de Bx au voisinage
de 0.
4°) En déduire que, avec d = R, [pic] au troisième ordre en [pic].
5°) On prend N = 250, I = 500 mA et R = 20cm. Calculer numériquement le
champ magnétostatique au point O.
Exercice 4 : Câble coaxial
Un câble coaxial est constitué de deux conducteurs concentriques séparés
par un isolant, parcourus par des courants égaux et de sens opposés. On se
place dans l'approximation de courants filiformes : le conducteur central
est considéré comme un fil et le conducteur périphérique infiniment mince,
de rayon R. On considère que le câble coaxial est rectiligne et infiniment
long.
[pic]
1. Le courant qui circule dans le conducteur périphérique est réparti
uniformément sur toute sa
surface. Étudier les symétries et invariances de la distribution de courant
et conclure.
2. Montrer que le champ magnétostatique est nul à l'extérieur du câble
coaxial.
3. Déterminer le champ magnétostatique entre les conducteurs. Annexe 1 : Déterminer un champ magnétostatique On applique les différents résultats obtenus au