ii ? disque de rowland - Les CPGE de Loritz

MAGNETOSTATIQUE : TD n°5 A - APPLICATIONS DU COURS
1°) Soit une spire de rayon a d'axe (Oz), parcourue par un courant
d'intensité I. Quelles sont les symétries et invariances de cette
distribution ?
Rép : Plan de symétrie : xOy et d'antisymétrie : xOz et zOx ; invariance
par rotation autour de Oz 2°) Donnez les unités de B et (0 dans les système mksA.
Rép : [B]=MT-2A-1 et [(0]=MLT-2A-2. 3°) Soit j=jx(x,y)ex+jy(x,y)ey, donnez alors la dépendance et la
direction de B.
Rép : B(M)=B(x,y).ez 4°) Soit une distribution volumique de courants possédant un plan de
symétrie ((). Le champ magnétostatique en un point M quelconque de l'espace
est obtenu à partir de la loi de Biot & Savart. Soit M' le symétrique de M
par rapport à ((). Montrer que B(M')=-sym(B(M)
Rép : trivial en utilisant le fait que B est axial.
B - TRAVAUX DIRIGES n°38 I - BOBINES DE HELMHOLTZ 1°) Rappeler l'expression du champ magnétique créé par une spire de
rayon R parcouru par un courant I sur son axe principal (Oz). En déduire le
champ créé par une bobine formé de N spires.
Calculer le champ au centre de la spire B0 et démontrer ainsi que
B0=5,5.10-4I si N=130spires et R=15cm
2°) On considère maintenant deux bobines symétriques distantes de d.
Démontrer alors que le champ au voisinage du point central peut s'écrire
B(M)=B0R3[2f(d/2)+z²f''(d/2)+o(z4)] où :
- f(y)=1/(R²+y²)3/2.
- z distance sur l'axe où le point central est pris comme
origine.
3°) Calculer alors le champ au voisinage du centre pour d=R. Démontrer
que celui-ci peut s'écrire au quatrième ordre près par B(M)=7,8.10-4I 4°) On a représenté ci dessous le champ créé par une bobine et celui
créé par les bobines, en déduire l'avantage des bobines d'Helmholtz pour
par exemple la mesure de e/m. Rép : 1°) B0=(0NI/2R 2°) En effectuant des D.L... 3°)
f''(R/2)=0(B(M)=B0+o(z4) où B(0)=24/53/2.B0=7,8.10-4.I
4°) Le champ est quasi-constant au voisinage de 0.
II - LE SOLENOÏDE 1°) Rappeler l'expression du champ magnétique créé par une spire de
rayon R parcouru par un courant I sur son axe principal (Oz).
2°) Un solénoïde est un assemblage cylindrique de spires, il comporte
n spires par unité de longueur. Démontrer par des raisons de symétrie que
le champ sur l'axe du solénoïde peut se mettre sous la forme :
B(M)=Baxe(z)ez.
3°) Démontrer que le champ sur l'axe peut se mettre sous la forme
Baxe(M)=?0nI/2.[cos(1cos?2] où ?1 et ?2 sont les angles desquels on voit
les bords du solénoïde à partir du point M.
4°) En déduire le champ B pour un solénoïde infini. Rép : 1°) B(M)=(0I/2R.sin3(.ez 2°) B(axe)=Baxe(z).ez car sur l'axe
r=0. 3°) Soit dB=(0I/2R.ndz.sin3(.ez 4°) B(M)=(0nI.ez
C - EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
I - SPHERE RECOUVERTE DE SPIRES
Considérons une sphère de rayon R recouverte d'un nombre élevé de
spires jointives parcourues dans le même sens par un courant d'intensité I.
On choisira Oz comme axe de symétrie. (on notera n le nombre de spires par
unité de longueur)
1°) Montrer que l'on peut considérer cette distribution comme une
distribution de courants surfaciques avec js=nIe?
2°) Montrer que le champ au centre de la sphère est : B(0)=[pic].
Rép : 1°) dI=js.dl=I.dN(js=nI... 2°) dBz(0)=(0nI/2R.sin²(.d(... II - DISQUE DE ROWLAND Un disque métallique de rayon R, portant une charge électrique
répartie avec la densité surfacique uniforme ? tourne autour de l'axe Oz
(perpendiculaire au disque) à la vitesse angulaire (.
1°) Découper le disque en spires de rayon r et de largeur dr et
montrez que celle-ci sont responsables d'une intensité élémentaire
dI=?r?dr.
2°) Calculer le champ sur l'axe Oz en fonction de z et R. Rép : 1°) Le disque est une superposition de spires de rayon r et de
largeur dr. Le courant d'intensité dI du à la rotation de chaque spire est
donc : dI=dq/dt=d(?S)/dt=?dS/dt=?Sspire/T (en effet la rotation est
uniforme) =?2?rdr/(2?/?)'??rdr=dI.
2°) Il suffit pour obtenir B(M) de sommer la contribution de chaque
spire élémentaire :
[pic] avec r=ztan??dr=zd?/cos²?
d'où [pic]=[pic]
? ?(?)'[pic]
? B(M)= [pic]ez où cos?m=[pic]? B(M)= [pic]ez III - CHAMP MAGNETIQUE AU VOISINAGE D'UN FIL
Un circuit électrique parcouru par le courant I possède une partie
rectiligne AC, vue depuis un point M sous les angles (1 et (2.
1°) On veut déterminer B(M) en intégrant la loi de Biot et Savart.
Calculer, en fonction de h, (1 et (2, la partie de l'intégrale
correspondant au tronçon AC.
2°) Le circuit est une spire de côté a. Déterminer le champ B au
centre du carré.
3°) Le point M est très proche du segment AC : que deviennent h, (1
et (2 ? En déduire une expression approchée de B(M) au voisinage immédiat
du fil. Rép : 1°) BAC=(0I/4(h.(sin(2-sin(1).n 2°) Bcarré=2(2(0I/(a.n 3°)
B=(0I/2(h.n
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[pic]