EXAMEN DE MATEMÁTICAS II

EXAMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS I Febrero 2005 SOLUCIONES
1. La función [pic]
es derivable en toda la recta real:
a) Para cualquier valor de a.
b) Sólo si a = (1.
c) Ninguna de las anteriores.
Sol. El único punto que presenta dificultades es x = 0.
1. Continuidad en x = 0 (para que una función sea derivable es necesario
que sea continua):
Si x [pic] 0(, f(x) = sen x [pic] 0
Si x [pic] 0+, [pic] [pic] 0
Como los límites laterales coinciden, la función es continua para cualquier
valor de a.
2. Derivabilidad.
Salvo para x = 0, la función derivada es [pic]
Si x [pic] 0(, f´(x) = cos x [pic] 1
Si x [pic] 0+, [pic] [pic] 1
Como las derivadas laterales coinciden, independientemente del valor de a,
la función dada es derivable siempre. 2. El área encerrada entre las gráficas de la recta y = x + 2 y la parábola
[pic], vale:
a) [pic] u2 (unidades cuadradas) b) [pic] u2 c) Ninguna de las
anteriores, su valor es:
Sol. El área encerrada entre ambas curvas es la sombreada en la siguiente
figura. La parábola y la recta se cortan en los puntos las soluciones del sistema
[pic], que son ((1, 1) y (2, 4); puntos de abscisas x = (1 y x = 2.
Por tanto, el área pedida viene dada por la integral [pic] 3. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función [pic], en el
punto P de la curva de abscisa x = 3, es:
a) y = (5x + 22 b) y = (3x + 15 c) Ninguna de las anteriores.
Sol. La ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto (a, f(a)) es:
[pic]
[pic] ( [pic]
Se tiene: f(3) = 7, f ´(3) = (5.
La recta tangente será: y ( 7 = (5(x ( 3) ( y = (5x + 22 4. La integral [pic] vale:
a) 2/3 b) Es divergente c) Ninguna de las anteriores.
Sol. La función es discontinua en x = 0. Por tanto:
[pic]= [pic]=[pic]=
[pic] 5. La gráfica de la función [pic] tiene:
a) Un mínimo relativo si m > 0.
b) Dos puntos de inflexión si m ( 0.
c) Ninguna de las anteriores.
Sol. [pic] ( [pic] ( [pic]
3. La derivada primera se anula si x = 0, independientemente del valor de
m.
Si m > 0, f ´´(0) < 0 ( se tendría un máximo.
Si m < 0, f ´´(0) > 0 ( se tendría un mínimo.
4. Si m ( 0, la derivada segunda se anula en [pic] y en [pic]. Por tanto,
hay dos puntos de inflexión. 6. La función [pic], en el intervalo (0, 1), cumple:
a) Corta una vez al eje OX.
b) Tiene un máximo.
c) Ninguna de las anteriores.
Sol. [pic] ( [pic] ( [pic]
La derivada primera se anula si x = ln 2 ( (0, 1). Como f ´´(ln 2) < 0, la
función tendrá un máximo en x = ln 2. 7. La función [pic]:
a) Es continua para todo valor de p >1.
b) Tiene una discontinuidad evitable si p = 2.
c) Ninguna de las anteriores.
Sol. Es discontinua en los ceros del denominador: [pic] ( [pic]
Por tanto, si p > 2 o p < (2, la función tiene dos discontinuidades; si
p = (2, tiene una discontinuidad; en caso contrario es continua para
todo x.
Para p = 2, la función es: [pic], que es discontinua en x = 1.
Como [pic], la discontinuidad no puede evitarse. 8. Los infinitésimos en x = 0, [pic] y [pic] son:
a) Equivalentes. b) Del mismo orden. c) Ninguna de
las anteriores.
Sol. [pic] = (L´Hôpital) = [pic] = (L´Hôpital) = [pic] 9. La función [pic] es cóncava (() en el intervalo:
a) (((, (2) b) (((, 2] c) [2, +()
Sol. [pic] ( [pic] ( [pic]
[pic] si x = (2 ( en x = (2 hay P.I.
Si x < (2, [pic] ( la función es cóncava (()
Si x > (2, [pic] ( la función es convexa (() 10. La función [pic] tiene:
a) Dos máximos relativos.
b) Tres puntos de inflexión.
c) Ninguna de las anteriores.
Sol. [pic] ( [pic] ( [pic]
[pic] = 0 ( x = 0; [pic]
[pic]= 0 ( x = 0; [pic] ( Hay tres punto de inflexión, pues [pic] ( 0
en esos tres puntos.
Como: [pic], en [pic] se tiene un máximo;
[pic], en [pic] se tiene un mínimo; PROBLEMAS 1. Dada la función [pic]
a) Indica su dominio, los puntos de corte con los ejes y sus
asíntotas. (0,7 p).
b) Estudia su crecimiento y decrecimiento (0,5 p)
c) Sus máximos y mínimos; así como su concavidad y convexidad. (0,4
p)
d) Haz su representación gráfica. (0,4 p) Sol.
a) Dom = R ( {1}
Si x = 0, f(0) = 0. Punto (0, 0)
Si f(x) = 0 ( x2 + 2x = 0 ( x = 0, x = (2. Puntos (0, 0) y ((2, 0).
( [pic], la recta x = 1 es asíntota vertical.
( Tiene una asíntota oblicua:
[pic]; [pic]
La recta y = x + 3 es la asíntota oblicua. b) [pic] ( [pic]= 0 ( [pic]
Con esto:
Si [pic], f ´(x) > 0 ( f crece.
Si [pic], f ´(x) < 0 ( f decrece.
Si [pic], f ´(x) < 0 ( f decrece.
Si [pic], f ´(x) > 0 ( f crece. c) [pic], que no se anula en ningún punto de su dominio.
Si x < 1, f ´´(x) < 0 ( f es cóncava ((). En consecuencia, en
[pic] hay máximo.
Si x > 1, f ´´(x) > 0 ( f es convexa ((). En consecuencia, en
[pic] hay mínimo d) La gráfica es:
[pic] 2. Calcula el polinomio de Taylor, de grado 3, de la función [pic], en
el punto x = 1. Utiliza el polinomio hallado para calcular
aproximadamente sen 0,2. ¿Puede asegurarse que el error cometido es
menor que 1/(24 · 54)? (1 punto) Sol.
[pic] ( f(1) = 0
[pic] ( f ´(1) = 1
[pic] ( f ´´(1) = 0
[pic] ( f ´´´(1) = (1
[pic] ( [pic]
Luego: [pic] (0,5 puntos)
Por tanto: [pic] = 0,198666... = 149/750 (0,3 puntos)
El error exacto es[pic] < (para x = 1,2) < [pic] (0,2 puntos) 3. Calcula las siguientes integrales: a) [pic] (0,3 p) b) [pic] (0,7 p)
c) [pic] (0,3 p) d) [pic] (0,7 p) Sol.
a) [pic]= [pic]=[pic]=[pic]
b) Tomando: u = x [pic] du = dx
[pic] ( [pic] ( [pic]
Luego: [pic]=[pic]=[pic]
c) [pic]= [pic]
d) La primitiva de la función se halla por descomposición en fracciones
simples.
[pic] ( [pic]
Para x = 1: 4 = 3B ( B = 4/3
Para x = (2: 4 = (3A ( A = (4/3
Con esto:
[pic]= [pic]
-----------------------
[pic]