EXAMEN CALCUL DIFFERENTIEL

EXAMEN CALCUL DIFFERENTIEL SESSION NOVEMBRE 99 Exercice 1 i) Vérifions que (0,0) est un point stationnaire
[pic] ; [pic]
on vérifie que [pic]
Pour montrer que (0,0) est un minimum stricte, il suffit de montrer que la
matrice hessienne en (0,0) est définie positive. [pic] ; [pic] ; [pic] d'où [pic]
On a clairement [pic] donc le point (0,0) est un minimum stricte.
ii) Si (=0 on a [pic]. On ne peut pas conclure, il faut revenir à la
définition du minimum. Pour (=0 on a f(x,y)=f0(x,y)=x4+y4-4x2y2-1. On
regarde le comportement de f suivant diverses directions.
. Si x=0, y(( on a f(0,y)=y4-1 => (0,0) est un minimum suivant la droite
x=0
. Si x=y (( on a f(x,x)=-2x4-1 => (0,0) est un maximum suivant l'oblique
x=y
En conséquence (0,0) n'est pas un minimum local. Exercice 2 i) Soit f(x,y)=xy ln(x²+y²).
Si x=0, y(0, on a f(0,y)=0 donc [pic]
Si f(x,y) est prolongeable par continuité dans (² alors sa limite devra
être 0. Pour montrer la continuité, il faut et il suffit de montrer que
[pic]
On a les inégalités :
[pic] où [pic],
[pic]
d'où [pic]
Or [pic] donc [pic]
En conclusion, f est prolongeable en (0,0)
Rmq : on a bien ln tK g(()(g(0)([pic]=m
. le minimum est stricte car g''(()>0 (( en particulier pour [pic].
iv) Supposons que g admette un autre minimum [pic] avec [pic], alors on a à
la fois [pic] et [pic].
Du théorème des accroissements finis on déduit que
[pic] avec c(][pic][
d'où [pic] or [pic] donc [pic]
d'où la contradiction
v) [pic] satisfait [pic] soit encore [pic]ou encore [pic]
Avec [pic] on obtient
[pic]
On suppose que [pic] montrons par l'absurde que [pic]
Si [pic], on aurait [pic] => [pic] donc df(x) est la différentielle nulle.
D'autre part d²f(x) est une forme bilinéaire définie positive donc x est un
minimum stricte.
En utilisant le dvp de Taylor, on peut écrire
[pic]. Puisque df(x) est nulle, on déduit [pic] soit encore m(f(x). En
conséquence x est le minimum global. Par unicité de minimum global
(question A iv)) on déduit que [pic] d'où la contradiction.