Notation indicielle - Mécanique des Milieux Continus

Mécanique des Milieux Continus Recueil d'exercices
Arts et Métiers ParisTech Centre de Cluny M.MAYA
maya@cluny.ensam.fr
www.mmaya.fr Année scolaire 2013-2014 Ce petit recueil d'exercices n'a pas d'autre but que d'aider l'étudiant
dans sa compréhension de l'enseignement de la Mécanique des Milieux
Continus. Il doit permettre de mieux cerner les champs d'investigation de
cette science. Il rassemble de nombreux sujets de tests ou d'examens soit
du centre de Cluny, soit d'autres écoles.
Il est à noter que si l'étudiant cherche bien, il n'est pas impossible
qu'il trouve dans ce document son futur sujet de test ou d'examen.
Travaillez, prenez de la peine,
C'est le fonds qui manque le moins. Le laboureur et ses enfants
Jean De LA FONTAINE (1621-?1695)
Sommaire Notation indicielle 6
Cisaillement en grandes déformations 7
Etat de déformation homogène triaxiale 8
Cisaillement en petites déformations 9
Etude d'un état de déformation 10
Etat de contrainte uniforme 11
Etat de contrainte uniaxial 11
Etat de contraintes dans un cylindre 12
Etat de contrainte 12
Théorie des poutres : état de contrainte 13
Torsion flexion d'une poutre 14
Etude d'un chargement sur une gouttière 14
Flexion pure d'une poutre 15
Flexion d'une plaque triangulaire 16
Mécanique de la rupture en mode I 17
Projectile dans un canon 17
Mesures de déformations 18
Déplacement d'un corps solide 18
Etude d'un massif en compression 19
Etude d'un champ de déplacement 19
Sphère soumise à son champ de gravitation 20
Corps soumis à son propre poids 20
Etude d'une poutre 22
Etude d'un tube 22
Compatibilité de déformations 23
Détermination d'un champ de déplacement 23
Champ de pesanteur sur un cylindre 24
Contraintes dans un domaine 25
Sollicitation dans un cylindre 26
Chargement d'un cylindre de révolution 27
Etude d'une poutre de section triangle équilatéral 28
Poutre demi cylindrique 29
Etude des critères de limite élastique 29
Poutre en flexion 30
Flexion composée d'une poutre demi cylindrique 31
Etude d'un barrage 32
Calcul des dimensions d'un réservoir sphérique 33
Taraudage d'un tube 33
Déplacement radial 34
Etude d'un assemblage fretté 34
Etude de cylindres élastiques en compression radiale 35
Pièces de révolution 35
Etude d'un palier lisse 36
Encastrement d'un pion cylindrique dans une plaque 36
Etude d'un vérin 37
Canalisation hydraulique 38
Déplacement orthoradial 39
Etude d'un assemblage cylindrique 40
Etude de liaisons cylindriques 41
Coefficient de Poisson ( = 0,25 42
Etude du changement eau-glace 43
Cisaillement plan dans une plaque percée 44
Torsion d'une poutre de section triangulaire 45
Torsion d'un solide de révolution 46
Torsion d'un tube elliptique 47
Champ de force radial 48
Chargement d'un barreau rectangulaire 49
Enveloppe cylindrique 50
Sollicitation combinée d'un cylindre 52
Transformation hélicoïdale 53
Etude d'un volant d'inertie 54
Poutre triangulaire 55
Etude d'un appui circulaire à trou circulaire en élastomère 56
Elasticité plane en coordonnées cartésiennes 58
Elasticité plane en coordonnées cylindriques 59
Contrainte en pointe de fissure 60
Poutre courbe 61
Cylindre en pression 62
Etude des contraintes dans un disque pesant 63
Etude d'un oeudomètre 64
Pression de Hertz 65
Pion indéformable dans une plaque 66
Poutre en état plan de contrainte 67
Arbre entaillé 68
Réaction d'un sol élastique sur une conduite flexible 69
Console 70
Plaque en contrainte plane 71
Réalisation d'un tube en matériau composite 72
Déformations plastiques d'un tube en pression 74
Sollicitation élastoplastique d'une sphère 75
Ecrasement d'un lopin cylindrique. 76
Détermination d'un effort de presse 78
Examen LILLE 30 mai 2002 79
Examen METZ 12 janvier 2004 81
COORDONNEES SPHERIQUES 84 Notation indicielle
1- En utilisant le symbole de Lévi Civita [pic] donner une formule
indicielle permettant d'exprimer le vecteur rotationnel d'un vecteur
[pic].
Utiliser cette relation pour démontrer les deux formules
suivantes :
[pic]
2- Ecrire la trace d'une matrice en utilisant la convention
d'Einstein. 3- En adoptant la convention d'Einstein, a-t-on le droite d'écrire
les formules suivantes ? [pic] [pic] [pic] [pic]
4- Résoudre l'équation [pic] Calculer les expressions suivantes :
[pic]
[pic]
[pic]
Démontrer l'égalité suivante :
[pic] Cisaillement en grandes déformations On considère le champ de déplacement donné par les relations suivantes :
[pic] 1- Déterminer alors les composantes, dans la base orthonormée directe
[pic], des tenseurs suivants :
[pic] Tenseur gradient
[pic] Tenseur de Cauchy Green Droit
[pic] Tenseur des déformations de Green Lagrange
[pic] Tenseur de Cauchy Green Gauche
[pic] Tenseur des déformations d'Euler Almansi 2- Constater que l'on a bien la relation :
[pic]
3- On se place au point M0 de coordonnées (1,1,0). Soient [pic] le
vecteur représentant la bissectrice du plan [pic] et [pic] le vecteur
représentant la trisectrice du trièdre :
[pic] [pic]
Calculer la dilatation linéaire en M0 dans les directions [pic],
[pic], [pic]et [pic].
Calculer les distorsions angulaires suivantes :
[pic] 4- On a [pic].
En admettant la linéarisation, définir les composantes du tenseur de
déformation et du tenseur antisymétrique :
[pic]
Déterminer les composantes du vecteur associé au tenseur
antisymétrique. 5- Tracer le tricercle de Mohr des déformations en M. Représenter sur ce
tricercle les vecteurs déformations pures dans les directions [pic],[pic],
[pic] et [pic]:
[pic]
Etat de déformation homogène triaxiale
On considère une déformation homogène triaxiale définie par les
relations suivantes :
[pic]
[pic] 1- Déterminer alors les composantes, dans la base orthonormée directe
[pic], des tenseurs suivants :
[pic] Tenseur gradient
[pic] Tenseur de Cauchy Green Droit
[pic] Tenseur des déformations de Green Lagrange
[pic] Tenseur de Cauchy Green Gauche
[pic] Tenseur des déformations d'Euler Almansi 2- Constater que l'on a bien la relation :
[pic]
3- Donner les composantes du tenseur de Green Lagrange dans la base
orthonormée [pic] définie par : [pic] Application numérique :
[pic]
Donner les valeurs numériques des différents tenseurs.
Retrouver, par un raisonnement simple les relations traduisant le
changement de base pour le tenseur de Green Lagrange.
Retrouver aussi ces résultats en utilisant les cercles de Mohr. Cisaillement en petites déformations On considère le champ de déplacement donné par :
[pic] 1- Calculer le tenseur de la transformation [pic], le tenseur
symétrique [pic] et le tenseur antisymétrique [pic]. Définir le vecteur
[pic] associé au tenseur antisymétrique. Donner enfin le tenseur [pic].
2- On se place au point [pic] de coordonnés (1,1,0). Soit [pic] le
vecteur représentant la trisectrice du trièdre [pic]
Calculer la dilatation linéaire en [pic] dans la direction [pic],
[pic] et dans la direction [pic].
Calculer les distorsions angulaires suivantes :
[pic] 3- On a [pic].
Tracer le tricercle de Mohr des déformations en A.
Représenter sur ce tricercle les vecteurs déformations pures dans les
directions [pic] et [pic]:
[pic]
On considère l'état de déformation ci-après :
[pic] 4- Calculer les déformations principales ainsi que les directions
principales de déformations. 5- Représenter sur le tricercle de Mohr des déformations les
vecteurs déformation pure en M dans les directions [pic] et [pic]. 6- Calculer la dilatation linéaire en M dans la direction [pic]
définie par :
[pic] Donner le tenseur déviateur des déformations. Que peut-on dire?
Quel est le lien le tenseur déformation donné et le champ de
déplacement du début de l'exercice ?
Etude d'un état de déformation
On considère l'état de déformation ci-après :
[pic][pic] 1-1 Calculer le vecteur déformation pure dans la direction [pic].
Conclusion? 1-2 Calculer les déformations principales et les directions
principales de déformations. 1-3 Représenter sur le tricercle de Mohr des déformations les
vecteurs déformation pure en M dans les directions [pic] et [pic]. 1-4 Donner le tense