transformée de Laplace des signaux discrets

Signaux et Systèmes Discrets[1] EN TEMPS DISCRET, LA FONCTION DE TRANSFERT EN Z TU MANIERAS
ET LA FORMULE DE DISCRÉTISATION SANS HÉSITER TU DIRAS.
(ETUDE DES SYSTÈMES ASSERVIS PAR UN ORDINATEUR) En bref, on étend aux systèmes discrets les techniques et les
résultats des systèmes continus, en soulignant les différences dues
au caractère discret.
PRÉSENTATION DU PROBLÈME
Avant : régulation analogique en temps continu
Dorénavant : régulation numérique (par ordinateur ) en temps discret Signal discret, signal bloqué, signal échantillonné
a . Signal discret On nomme signal discret un ensemble de valeurs réelles définies pour une
suite d'instants tn = nT multiples d'une période T d'échantillonnage (en
anglais sampling ). On notera [pic], [pic], ou[pic] la nième valeur d'un
tel signal discret.
Causalité : le signal discret [pic] est causal si nul pour [pic]. Un signal
discret peut être :
. soit une suite de valeurs engendrée par un programme au rythme d'une
horloge de période T. Par exemple, le vecteur [pic], soit[pic], [pic]
contient une rampe. Ou bien le résultat [pic] du programme calculant
[pic] avec [pic] est encore une rampe discrète.
Exercice 1 : quel est le signal discret engendré par l'équation [pic] ?
. soit une suite d'échantillons (mesures, acquisitions) sur un signal
continu [pic]. Par exemple, avec la fréquence d'échantillonnage [pic],
[pic] donne :
[pic] Représentation graphique d'un signal discret par MATLAB (fonction stem) : b. Signal bloqué : Pour reconstituer un signal continu (qui dure dans le temps) à partir d'un
signal discret, le bloqueur d'ordre zéro (ou BOZ) maintient la valeur [pic]
entre les instants [pic]et [pic]. Ainsi, sauriez vous compléter le
diagramme précédent en conséquence ?
Exercice 2 : Représenter le signal discret [pic] après blocage c. Signal échantillonné Associé au signal discret [pic]tiré du signal continu [pic], ce signal noté
traditionnellement [pic] permet de définir mathématiquement
l'échantillonnage:
[pic] si [pic]est causal.
Exercice 3 : Donner en conséquence l'expression mathématique de l'échelon
échantillonné u*(t)
Définition : On nommera échantillonneur idéal le filtre qui donne [pic]à partir de
[pic]
Si [pic], compte tenu des propriétés de la distribution de Dirac, le signal
échantillonné s'exprime par [pic]où[pic]est la fonction « peigne » ou
« peigne de Dirac », donc une suite périodique d'impulsions de Dirac.
On symbolise ci-dessous l'échantillonneur idéal pour le signal [pic] avec
la période T : Transformée en z (transformée de Laplace des signaux discrets) :
a. Définition On sait calculer la transformée de Laplace du signal échantillonné
[pic]avec le théorème du décalage temporel [pic]. On obtient [pic] (1)
Pour étudier la convergence de la somme [pic], on pose [pic] [2] pour
simplifier.
La nouvelle variable z est complexe comme la variable de Laplace, et T est
la période d'échantillonnage constante.
En cas de convergence de (1), c'est donc [pic]
[pic]est la transformée en z du signal discret [pic](signal
[pic]échantillonné avec la cadence T).
[pic]
par échantillonnage
[pic] Conclusion La transformée en Z est une forme de la transformée de Laplace.
La relation [pic] est fondamentale, car elle permet d'étendre les
résultats établis pour les systèmes en temps continu aux systèmes en
temps discret.
b. Transformée en z des signaux élémentaires : En appliquant la définition (1) de la transformée en z, on établit aisément
que :
. L'échelon unité [pic]donne par échantillonnage [pic] pour [pic].
[pic] si [pic]
soit [pic](c'est le domaine de convergence)
. Impulsion : en temps continu, c'est l'impulsion de Dirac [pic], en temps
discret, on utilise la fonction de Kronecker, soit [pic] si [pic], et
[pic].
On trouve donc facilement que [pic]sans condition de convergence sur z.
. Premier ordre, constante de temps :
[pic]
qui converge vers [pic] si : [pic]
. etc ... (voir une table de transformées en z)
Exercice 4 : quelle est la transformée en z de la rampe unité ?
(Solution : [pic])
c. Quelques propriétés de la transformée en Z : Les transformées en Z et de Laplace L ont des propriétés liées par la
relation [pic]. o Z est donc linéaire, d'où la possibilité de décomposition en éléments
simples
o Le théorème du retard de Z remplace celui de la dérivée et permet le
calcul de la fonction de transfert :
[pic]
A condition initiale [pic] nulle, on a donc :[pic] et plus généralement
[pic].
Exercice 5 : vérifier pour l'échelon et l'impulsion discrets o Théorèmes des valeurs initiale et finale : soit [pic] :
Théorème de la Valeur Initiale : [pic]
Théorème de la Valeur Finale : [pic]
o Transformée du Produit de Convolution * :
Le produit de convolution de deux signaux discrets a et b est défini
comme suit : [pic], avec [pic]si [pic]et[pic]sont causaux.
Comme pour la transformée de Laplace, on a : [pic]et [pic].
o Formule des résidus :
pour inverser la transformée en z, à comparer à la formule déjà vue pour
le cas continu (
[pic]
avec, pour le résidu de [pic]en [pic]pôle d'ordre [pic]
[pic] Exercice 6 : Inverser ainsi [pic]
d. Application à la fonction de transfert en z Soit un programme calculant toutes les T secondes une nouvelle valeur
[pic]d'un signal discret à partir de mesures [pic]opérées sur un signal
x(t) et selon la relation (EaD) suivante, ou équation aux différences : [pic] (EaD) où [pic] est la valeur calculée à l'instant [pic], [pic] est le résultat du
calcul précédent et [pic] l'entrée mesurée en[pic]. L'équation (EaD) est
récursive (i.e. le calcul de y dépend de y lui-même).
Supposons [pic] et [pic], on a alors à conditions initiales nulles, soit
[pic].
[pic] On en tire ici [pic]. [pic]est la fonction de transfert associée, c'est une fraction rationnelle
en z. La relation (EaD) s'écrit encore sous la forme d'un produit de
convolution discret puisque : [pic] [pic] est alors la réponse impulsionnelle du processus discret d'équation
(EaD) et de fonction de transfert [pic], on a comme en temps continu [pic]
Calcul des réponses temporelle et fréquencielle d'un processus discret On procède comme en temps continu, à ceci près que [pic] : > Réponse impulsionnelle : [pic][pic], [pic]
> Réponse indicielle :[pic]donc [pic]
> Réponse harmonique : [pic] se traduit par [pic],
d'où la réponse harmonique ou fréquencielle, Gain = [pic] et Phase =
[pic].
> Gain statique : c'est [pic]
Exercice 7 : Appliquer à l'exemple [pic]
Signaux et processus élémentaires en temps discret Avec des équations aux différences, il est possible de générer des signaux
discrets qui reproduisent les comportements des processus élémentaires déjà
vus en temps contiu . On nomme processus générateur d'un signal discret
[pic] le processus discret dont la réponse à une impulsion discrète est
justement [pic].
A. Signal rampe B. Signal exponentiel de type premier ordre type (constante de temps) :
C. Signal sinusoïdal amorti D. et que rappelle ce dernier signal discret ? comment le créer ? Exercices sur la transformée en z: < Définir le signal discret noté [pic]et obtenu en échantillonnant la
réponse impulsionnelle du processus Cobaye soit [pic] avec la période
d'échantillonnage [pic]
< Calculer la transformée inverse de [pic], puis celle de [pic]
< Déterminer la fonction de transfert associée au processus discret
d'entrée [pic]et de sortie [pic] dont l'équation est :
[pic]
A propos, cette équation est elle linéaire ? stationnaire ? causale ?
< Calculer la transformée en z de [pic]échantillonné au rythme [pic]
< Quelle est la transformée inverse de [pic]
< Quelle est la fonction de transfert du filtre moyenneur suivant d'entrée
[pic] et de sortie [pic] avec l'équation [pic] . Ce filtre est il
causal ? linéaire ? stationnaire ?
-----------------------
[1] par « discret », ou « en temps discret », on entend défini seulement en
une suite d'instants discrets (discrete = discontinu en anglais) ; on
néglige le caractère non linéaire numérique dû à la quantification des
amplitudes de [pic]et [pic], discret égale linéaire. [2] noter que [pic] est « l'opérateur retard ». -----------------------
s(-4) s(-3) s(-2) s(-1) s(0) s(1) s(2) s(3)
s(4)... t -4T -3T -2T -T 0 T 2T 3T 4T [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] +
-- [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] Loi de commande :
on fait
puis [pic]
ou en général Echantil-lonneur. BOZ Ordinateur Processus Cobaye % Ce script crée une rampe discrète de pente ____. T=1
rampe=tf([2 0],[1 -2 1],T)
[y,t]=impulse(rampe,20);
stem(t,y) % Equation du processus générateur de la rampe ?
% C'est la réponse indieielle de quel processus élémentaire ?
% mêmes questions pour le signal ci-contre créé par T=1
ct1=tf([2*(1-0.9) 0],...
[1 -1.9 0.9],T)
[y1,t]=impulse(ct1,30);
stem(t,y1)
grid % enfin, un signal qui reproduit une réponse
indicielle sinusoïdale amortie : T=1
s1=tf([1 0 0], ...
[1