1 TRANSFORMEE EN Z APPLICATION A L'ETUDE DES ...

TRANSFORMEE EN Z
APPLICATION A L'ETUDE DES
SYSTEMES DISCRETS LINEAIRES I°) Fonction de transfert en Z d'un système discret linéaire (S(D(L() : 1-1 définition :
Nous avons vu qu'un système discret est caractérisé par son équation de
récurrence de forme générale :
s(n) = [pic] - [pic]
la transformée en Z du signal de sortie peut s'écrire sous la forme :
s(z) = [pic] - [pic]
en supposant que :
* le signal d'entrée est causal,
* le signal de sortie nul pour n < 0.
On obtient après transformation une relation du type ; S(z) = H(z)(E(z).
On appelle fonction de transfert en z du système discret le facteur H(z)
défini par :
H(Z) = [pic]
quand les conditions initiales sont nulles. 1-2 remarque :
Pour obtenir la fonction de transfert en z à partir de l'équation de
récurrence, il suffit de remplacer un terme f(n - i) par z-i(F(z), d'où :
H(Z) = [pic]
Dans le cas particulier de la cellule à retard ao = 1 et bk = 0 (k ( H(z) =
z-1 II°) Analyse des systèmes discrets : 2-1 généralités :
Notons en abrégé F(T( pour fonction de transfert. Nous utiliserons la même
démarche que celle utilisée pour l'analyse de Fourier ou l'analyse de
Laplace :
* e(t) ( E(z)
* S(z) = H(z)(E(z)
* S(z) ( s(t) 2-2 F(T( et réponse impulsionnelle : 2-2-1 fonction de transfert :
Quand on applique le signal impulsion {d} à l'entrée d'un système discret,
on obtient en sortie le signal { h } appelé réponse impulsionnelle discrète
du système en sortie. La transformée en z de la réponse impulsionnelle
discrète { h } est la fonction de transfert H(z) du système discret ( H(z)
= Z( { h } ) 2-2-2 exemples de réponse impulsionnelle :
s(n) = ao(e(n) + a1(e(n-1) ( H(z) = ao + z-1(a1 qui est la transformée du
signal discret {h} tel que h(n) = ao({ d(n) } + a1({ d(n - 1) }
s(n) = ao(e(n) - b1(s(n - 1) ( H(z) = ao - z-1(b1(H(z) ( H(z)([1 + z-1(b1]
= ao et
H(z) = [pic]
qui est la transformée du signal discret { h } tel que h(n) = ao([pic] 2-3 F(T( et réponse indicielle : 2-3-1 fonction de transfert :
La transformée en z du signal discret échelon { u } est U(z) = [pic]. La
réponse indicielle d'un ( discret est la transformée inverse de la fonction
U(z)(H(z) = [pic]. 2-3-2 exemples de réponse indicielle :
s(n) = ao(e(n) + a1(e(n - 1) ( H(z) = ao + z-1(a1 ( D(z) = H(z)(U(z) =
[pic]
D(z) = ao(U(z) + a1(z-1(U(z) qui est la transformée du signal discret { d }
tel que { d(n) } = ao({ u(n) } + a1({ u(n - 1) } s(n) = ao(e(n) - b1(s(n - 1 ( H(z) = [pic]
D(z) = H(z)(U(z) = [pic]=[pic]+[pic] avec
A1 =[pic] et A2 =[pic]
d'où d(n) = A1((-b1)n + A2 = [pic]([pic]
D(z) = ao(U(z) + a1(z-1.U(z) est la transformée du signal discret { h } tel
que h(n) = ao(b1n 2-4 F(T( et réponse harmonique : 2-4-1 fonction de transfert :
La connaissance de la F(T( en z permet d'obtenir immédiatement le
comportement fréquentiel du système. Il suffit d'effectuer le changement de
variable :
z = exp(j(((Te)
H(z) -------------( H*(j(() 2-4-2 exemples de réponses fréquentielles :
s(n) = ao(e(n) + a1(e(n - 1) ( H(z) = ao + z-1 ( H*(j(() = ao + a1(exp(-
j(((Te)
s(n) = ao(e(n) - b1(s(n - 1) ( H(z) = [pic]( H*(j(() = [pic] III°) Synthèse d'une forme quadratique : 3-1 hypothèses :
On désire synthétiser la transmittance :
H(P) = [pic] = [pic] = [pic] avec
|Fo |m |Te |Fe |
|50Hz |0,1 |2 ms |500 Hz |
Y(P)([pic]= (o2(X(P)
Connaissant le polynôme en P il faut déduire une équation de récurrence
liant Yn à Xn. 3-2 équivalence de la dérivation : 3-2-1 transformation :
Nous avons vu qu'à la dérivation [pic] correspond une différence [pic]. Or
l'opération qui consiste à passer de Xn à Xn-1 est un retard de Te. Pour
passer de la transformée en z de x(t) à la transformée en z de [pic], il
suffit d'effectuer une multiplication par [pic]. D'où la transformation :
|x(t) |( |[pic] | | |
|X(P) |( |P(X(P) | | |
|[pic] |( |[pic] |( |[pic] |
Pour passer de la transformée de Laplace à la transformée en z de x(t) il
suffit de remplacer P par [pic]: P ([pic] 3-2-2 remarque :
La relation exacte liant z et p est z-1 = exp(-P(Te) = exp(-j(((Te) =
cos(((Te) - j(sin((((Te). Si ((Te