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CNAM 2004-2005 Mathématiques actuarielles fondamentales (assurance non vie) Examen du 20 juin 2005 - 18h30 - 20h30
(Tous documents autorisés)
Les exercices sont indépendants.
Exercice 1 Un assureur cherche à déterminer le tarif à appliquer à une population
segmentée selon 2 critères : le sexe de l'assuré et le groupe de véhicule à
partir des observations présentées dans les tableaux ci-dessous : |Nombre d'assurés | |
| |Femmes |Hommes |
|Groupe 1 |800 |390 |
|Groupe 2 |185 |450 |
|Groupe 3 |30 |130 |
| | | |
|Nombre de | |
|sinistres | |
| |Femmes |Hommes |
|Groupe 1 |213 |158 |
|Groupe 2 |45 |149 |
|Groupe 3 |10 |31 |
| | | |
|Charge estimée des |
|sinistres |
| |Femmes |Hommes |
|Groupe 1 |930 000 |648 000 |
|Groupe 2 |185 400 |570 000 |
|Groupe 3 |37 800 |105 000 |
1° : Pour chaque case tarifaire et chaque sous-population, calculer la
fréquence empirique, le coût moyen empirique et la prime pure empirique Fréquence empirique = nombre de sinistres / nombre d'assurés
Coût moyen empirique = charge des sinistres / nombre de sinistres
Prime pure empirique = Fréquence empirique x Coût moyen (= charge des
sinistres / nombre d'assurés) |Nombre | | | |Fréquences empirique | |
|d'assurés | | | | | |
| | | | | | |
| | | | |
| |Femmes |
| | | | |
| |Femmes |Hommes |Contrainte |
|Gpe 1 |F.a1.b1 |F.a2.b1 |F[800a1b1+390a2b1]|
| | | |=371 |
|Gpe 2 |F.a1.b2 |F.a2.b2 |F[185a1b2+450a2b2]|
| | | |=194 |
|Gpe 3 |F.a1.b3 |F.a2.b3 |F[30a1b3+130a2b3]=|
| | | |41 |
|Contra|F[800a1b1+185a1b2+30a1b3]|F[390a2b1+450a2b2+130a2b3| |
|inte |=268 |]=338 | | Ce qui se réécrit :
a1 = 268/(F.800b1+F.185b2+F.30b3)
a2 = 338/(F.390b1+F.450b2+F.130b3)
b1 = 371/(F.800a1+390.a2)
b2 = 194/(F.185a1+450.a2)
b3 = 41/(F.30a1+130.a2) En partant de l'hypothèse "absence d'influence homme / femme", soit a1 = a2
= 1 et en iterant les valeurs de b1,b2,b3 à partir de a1 et a2, puis de a1
et a2 à partir de b1, b2 et b3, on obtient : | |iter1 |iter2 |
|Groupe |27,36% |39,01% |
|1 | | |
|Groupe |23,47% |33,46% |
|2 | | |
|Groupe |19,04% |27,14% |
|3 | | | 3° : En utilisant le modèle additif pour le coût moyen, construire la
grille des coûts théoriques adaptée aux observations, en écrivant, pour
chaque valeur fixée d'un critère que la charge de sinistres donnée par le
modèle appliquée aux nombres de sinistres observés est égale à la charge
observée. Posons C = coût moyen fréquence de l'ensemble de la population (= 4086).
Notons a1 et a2 les paramètres « influence femme » et « influence homme »
et notons b1, b2, b3 les paramètres « influence groupe1 » influence groupe2
et influence groupe 3 |Coût moyen théorique | |
| |Femmes |Hommes |Contrainte |
|Gpe 1 |C + a1 + b1 |C + a2 + b1 |213.(C+a1+b1)+158(|
| | | |C+a2b1)=1 578 000 |
|Gpe 2 |C + a1 + b2 |C + a2 + b2 |45.(C+a1+b2)+149.(|
| | | |C+a2+b2)=755400 |
|Gpe 3 |C + a1 + b3 |C + a2 + b3 |10.(C+a1+b3)+31(C+|
| | | |a2+b3)=142800 |
|Contra|213.(C+a1+b1)+45(C+a1+b2)|158.(C+a2+b1)+149(C+a2+b2| |
|inte |+10(C+a1+b3)=1 153 200 |)+31(C+a2+b3)=1 323 000 | | Ce qui se réécrit :
a1 = (1 153 200 - 213b1 - 45b2 - 10b3)/268 - C
a2 = (1 323 000 - 158b1 - 149b2 - 31b3)/338 - C
b1 = (1 578 000 - 213a1 - 158a2)/371 -C
b2 = (755 400 - 45a1 - 149a2)/194 -C
b3 = (142 800 - 10a1 - 31a2)/41 -C En partant de l'hypothèse "absence d'influence homme / femme", soit a1 = a2
= 0 et en iterant les valeurs de b1,b2,b3 à partir de a1 et a2, puis de a1
et a2 à partir de b1, b2 et b3, on obtient : | |iter1 |iter2 |
|Groupe |4 372,6 |4 092,7|
|1 | | |
|Groupe |4 108,8 |3 828,9|
|2 | | |
|Groupe |3 694,6 |3 414,7|
|3 | | | 4° : Quelle grille tarifaire obtient-t-on ? La comparer avec celle du
1. Freq x Coût moyen :
|Empiriqu|Femmes |Hommes | |
|e | | | |
|0 |200 |2220 |258 890 |
|200 |400 |1345 |499 490 |
|400 |700 |815 |510 680 |
|700 |1000 |495 |435 730 |
|1000 |1300 |300 |340 700 |
|1300 |1600 |185 |252 990 |
|1600 | 3200 |110 |181 520 | 1° : Quelle est la prime pure pour un contrat couvrant le risque
durant un an ? Prime pure = E(Fréquence) x E(Coût moyen) = ? x (somme des coûts par
tranche / somme des nombres) = 50% x ( 2 480 000 / 5 470 ) = 50% x 453,38
= 226,69 2° : Quelle est la variance du résultat pour un contrat ? On applique la formule :
Var(R) = E(Freq) x Var(Coût moyen) + Var(Freq) x E(Coût moyen)²
soit :
Var(R) = ? x [ Var(Coût moyen) + E(Coût moyen)² ] cas la fréquence est
poissonnienne Pour évaluer un majorant (par prudence) de Var(CM) on applique le
raisonnement : sinistres concentrés aux extrémités des tranches. En notant
? la proportion de sinistres au maximum, pour respecter la contrainte Coût
total, on a nombre x [?.Max + (1-?).min] = Coût total, soit ? (Max - min)
+ min = Coût total / nombre ou encore ? = [Coût total / nombre - min] /
[Max - min]
ce qui permet d'évaluer, pour un sinistre de la tranche, E(CM²) = ?.Max² +
(1-?).min² et donc la variance pour un sinistre de la tranche ( = E(CM²) -
E(CM)² ) et donc la variance de la tranche (= Nombre x Var(un sinistre de
la tranche ) et donc la variance totale, ce qui, divisé par le nombre de
sinistres, donne la variance du coût moyen. |Min |Max |Nombre |Coût |E(CM) |alpha |
|(m) |(M) |(N) |total |= CT/N |(a = |
| | | |(CT) | |(E(CM) |
| | | | | |-m)/(M-m|
| | | | | |) |
|2000 |123 |142 |75 |31 |4 |
|2001 |145 |140 |82 |30 | |
|2002 |176 |160 |99 | | |
|2003 |132 |135 | | | |
|2004 |156 | | | | | 1° Quelles provisions devrait être constituées avec la méthode des
cadences ? On remplace les paiements annuels par les paiements cumulés et on applique
la méthode, ce qui nous donne un total de provisions de 443,7. |Cumul |En année|En année|En année|En année|En année|
| |1 |2 |3 |4 |5 |
|Paiement|100 |200 |258 |280 |283 |
|s | | | | | |
Soit, en proportion du coût ultime : |Paiement|35,3% |70,7% |91,1% |98,9% |100,0% |
|s | | | | | |
|Provisio|64,7% |29,3% |8,9% |1,1% |0,0% |
|ns | | | | | | Cumul |En année 1 |En année 2 |En année 3 |En année 4 |En année 5 |Primes
|Sinistres attendus |Prop restante |Prov. BF | |2000 |123 |265 |340 |371
|375 |450 |383 |0,0% |0 | |2001 |145 |285 |367 |397 | |465 |395 |1,1% |4 |
|2002 |176 |336 |435 | | |480 |408 |8,9% |36 | |2003 |132 |267 | | | |495
|421 |29,3% |123 | |2004 |156 | | | | |510 |434 |64,7% |280 | | | | | |
| | | |Total |445 | | Exercice 4 Un assureur A présente les caractéristiques suivantes : ses fonds propres
sont de 1000, et sur les dernières années il a constatée en moyenne un
bénéfice de 100. Il couvre 11034 risques caractérisés par une probabilité
de sinistre de 5% et une distribution des montants de sinistres Y telle
que :
F(Y) = P(Y