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CNAM 2002-2003 Mathématiques actuarielles fondamentales (assurance non vie) Examen UV B5 26754 - 16 juin 2003 - 19h - 21h
(Tous documents autorisés)
L'énoncé porte sur la création d'un assureur non vie. Les exercices sont
indépendants. Le premier exercice vérifie la cohérence des hypothèses retenues par cet
assureur lors de sa création.
Le deuxième examine les résultats de son activité au bout de 5 ans.
Le troisième explore les possibilités d'ajout d'une franchise et/ou d'une
cession en réassurance en excédent de sinistre.
Exercice 1
Remarque : L'exercice 1 est très proche du TD7.
Un assureur dommages se créé dans les conditions suivantes :
- il se propose de couvrir des risques caractérisés a priori par :
o une fréquence annuelle de survenance des sinistres poissonienne,
de paramètre ? = 2% ;
o une distribution des montants de sinistres Y dont la densité de
probabilité f(y) est modélisée par f(y) = 5x10-5.exp(-5x10-5y)
pour y > 0.
- les hypothèses de commercialisation retenues sont :
o une prime commerciale P'' de 600 E, comportant des frais
d'acquisition à hauteur de 20% ;
o un niveau de souscription de 10 000 contrats par an.
- les frais de gestion, hors frais d'acquisition, seraient de 50 euros
par contrat.
- il dispose de fonds propres pour un montant K = 1 500 000 euros. Question 1 :
1.a : Quelle est la prime pure pour la couverture d'un risque durant
un an ?
1.b : Quelle est la variance de la charge annuelle pour un contrat ?
Dans le modèle fréquence/coût moyen, l'espérance et la variance de la
charge annuelle de sinistres pour un contrat s'obtiennent en appliquant les
formules : E(X) = E(N).E(Y) V(X) = E(N).V(Y) + V(N)E(Y)² Où X représente la variable aléatoire « charge annuelle pour un contrat »,
N la variable aléatoire « fréquence » et Y la variable aléatoire « coût
moyen d'un sinistre ». Ici, la fréquence est poissonnienne, de paramètre ? soit E(N) = V(N) = ? =
2% la distribution des montants de sinistres est une loi exponentielle (soit
on la reconnaît, soit on recalcule en intégrant par parties) de paramètre ? E(Y) = 1/? V(Y) = 1/?² d'où :
E(X) = ?/?
V(X) = ?/?² + ?/?² = 2.?/?² Remarque : quand la fréquence est poisonnienne, V(X) se réécrit :
V(X) = ? . (V(Y) + E(Y)²) = ?.E(Y²) Application numérique :
? = 2%
? = 5 x 10-5 E(N) = V(N) = 2%
E(Y) = 20 000
V(Y) = 400 000 E(X) = 400
V(X) = 16 000 000
?(X) = 4 000
Question 2 :
2.a : Calculer la partie de la prime commerciale correspondant au
chargement de sécurité ? ?
Lorsqu'un assuré paye une prime commerciale P'' de 600, elle sert à
rémunérer :
- le réseau de distribution (frais d'acquisition) à hauteur de 20% x P''
= 120
- les coûts fixes de gestion interne pour 50
- l'espérance de la charge annuelle de sinistre pour 400 (cf. question
1)
- le solde, soit 30, correspond à l'espérance de gain par contrat que
l'on justifie techniquement par le besoin d'un chargement de sécurité
pour limiter le risque de ruine. Rapporté à la prime pure (400), ce
chargement de sécurité est donc de 7,5% (=30/400).
-
- [pic]
2.b : Quelles sont les contraintes sur le niveau de souscription pour
obtenir un coefficient de sécurité ? supérieur ou égal à 4 ?
Le coefficient de sécurité ? est défini par : ? = (richesse disponible + espérance de résultat global) / écart-
type(résultat global) La richesse disponible est fixée à K ( = 1 500 000 euros), l'espérance de
résultat (30) et l'écart type de la charge annuelle pour un contrat (4000)
ont été calculés dans les précédentes question. Pour un ensemble de n contrats : ? = (K + n. E(X)) / racine(n).s(X) ? = [pic]
On veut obtenir un coefficient b au moins égal à 4 pour afin de rendre le
risque de ruine négligeable, soit une inéquation du second degré en[pic] : 30[pic]² - 16 000[pic]+ 1 500 000 ? 0 Déterminant : 16000² - 4.30.1 500 000 = 76 000 000 > 0 donc deux solutions
[pic] = 412 soit n = 169 714
[pic] = 121,4, soit n = 14 731 La probabilité de ruine est très faible pour un nombre de contrats
inférieur à 14 731 (la richesse initiale disponible compense l'incertitude)
ou supérieur à 169 714 (la loi des grands nombre joue pleinement). Sont-elles respectées par le niveau de souscription anticipé ?
Au cas d'espèce, le niveau de souscription anticipé est de 10 000, ce qui
est satisfaisant (1er cas). Il correspond à un coefficient de sécurité de
4,5 [pic]= 4,5, soit une probabilité de ruine a priori très faible de 3,4 x 10-
6.
Exercice 2
Le tableau ci-dessous reprend les principaux résultats de l'activité au
terme de la cinquième année (tous les montants sont en euros constants : on
néglige l'inflation) : |Année |Contrats |Nombre de |Paiements |Provisions |Coût |
| | |sinistres |cumulés | | |
|1 |9 820 |204 |4 334 400 |0 |4 334 400 |
|2 |10 817 |196 |3 869 317 |288 983 |4 158 300 |
|3 |11 648 |241 |4 366 292 |703 108 |5 069 400 |
|4 |11 545 |211 |3 345 032 |1 016 368 |4 361 400 |
|5 |12 631 |276 |2 381 671 |3 384 829 |5 766 500 |
|Total | |1 128 |18 296 712 |5 393 288 |23 690 000 |
Remarque : le nombre de contrat augmente d'environ 6% par an. A ce rythme,
et toutes choses égales par ailleurs (fonds propres disponibles, espérance
et écart type du résultat d'ensemble), le niveau de souscription sortirait
de la zone « avec risque de ruine négligeable » au bout de 3,3 années
supplémentaires.
Les provisions dans ce tableau sont celles évaluées dossier par dossier,
par le service de gestion des sinistres. Evaluées à partir du triangle des paiements annuels ci-dessous, et en
utilisant la méthode des cadences (chain-ladder), quelles seraient les
provisions à constituer pour les années 2 à 5 (on suppose qu'il n'y plus de
paiements après la quatrième année) ? | |Règlement après j années |
|année |0 |1 |2 |3 |4 |
|1 |1 889 022 |1 417 237 |524 162 |165 201 |338 778 |
|2 |1 976 889 |1 478 315 |38 714 |375 399 | |
|3 |2 302 334 |1 500 572 |563 386 | | |
|4 |2 065 492 |1 279 540 | | | |
|5 |2 381 671 | | | | |
Evaluons les provisions avec la méthode chain-ladder
Celle-ci s'applique sur des paiements cumulés :
| |Règlement cumulés après j années |
|année |0 |1 |2 |3 |4 |
|1 |1 889 |3 306 |3 830 |3 995 |4 334 |
| |022 |259 |421 |822 |400 |
|2 |1 976 |3 455 |3 493 |3 869 | |
| |889 |204 |918 |317 | |
|3 |2 302 |3 802 |4 366 | | |
| |334 |906 |292 | | |
|4 |2 065 |3 345 | | | |
| |492 |032 | | | |
|5 |2 381 | | | | |
| |671 | | | | | Calculons les coefficients de passage d'une colonne à la suivante employés
par la méthode : pour passer de la colonne 0 à la colonne 1 : f0->1 = (3 306 259 + 3 455 204
+ 3 802 906 + 3 345 032) / (1 889 022 + 1 976 889 + 2 302 334 + 2 065 492)
= 168,9% pour passer de la colonne 1 à la colonne 2 : f1->2 = (3 830 421 + 3 493 918
+ 4 466 292) / (3 306 259 + 3 455 204 + 3 802 906) = 110,7% pour passer de la colonne 2 à la colonne 3 : f2->3 = (3 995 622 + 3 869
317) / (3 830 421 + 3 493 918 ) = 107,4% pour passer de la colonne 3 à la colonne 4 : f3->4 = (4 334 400) / (3 995
622) = 108,5% Pour passer de la colonne 4 au coût ultime : f3->ultime = 1 D'où,
Pour passer de la colonne 0 au coût ultime :
f0->ultime = f0->1 . f1->2 . f2->3 . f3->ultime = 217,8%
Soit des provisions de f0->ultime -1 = 117,8% des paiements déjà effectués.
Où encore, cela signifie que l'on considère qu'en colonne 0, on a payé
1/217,8% 45,92% du coût total. De même pour la colonne 1 :
f1->ultime = f1->2 . f2->3 . f3->ultime = 128,9%
Soit des provisions de f1->ultime -1 = 28,9% des paiements déjà effectués.
Où encore, cela signifie que l'on considère qu'en colonne 1, on a payé
1/128,9% 77,58% du coût total. etc... | |0 -> 1|1 -> 2|2 -> 3|3 -> 4 |4 -> |
| | | | | |ultime |
|Facteur de passage d'une |168,9%|110,7%|107,4%|108,5% |100,0% |
|colonne à la suivante | | | | | |
|Facteurs de passage d'une |217,8%|128,9%|116,5%|108,5% |100,0% |
|colonne au coût ultime | | | | | |
|Provisions / cumul des |117,8%|28,9% |16,5% |8,5% |0,0% |
|paiements | | | | | |
|Paiements cumulés en |45,92%|77,58%|85,85%|92,18% |100,00% |
|proportion du coût ultime | | | | | | [pic] Le niveau des provisions évalué par les gestionnaires de sinistres vous
semble-t-il suffisant ? | |Paiement|Facteurs|Provisio|Provisio|Ecart |
| |s | |ns |ns | |
| |cumulés | | |gestionn| |
| | | | |aires | |
|1 |4 334 |0% |0 |0 |0 |
| |400 | | | | |
|2 |3 869 |8,5% |328 069 |288 983 |-39 086 |
| |317 |