Exercice 2.9

[pic] FUNDP
Faculté des sciences économiques,
sociales et de gestion
Première candidature en Sciences économiques et de gestion
Première candidature en Sciences politiques et sociales
Première candidature en ingénieur de gestion
Exercices récapitulatifs de probabilités discrètes
Enoncés et solutions
des ch. 0 à 4
Jean-Charles JACQUEMIN
Professeur
Ce document, qui à terme comportera plus de 100 exercices récapitulatifs et
une (ou plusieurs) proposition(s) de solution pour chacun d'eux, doit être
utilisé comme un outil de contrôle de sa propre démarche dans la résolution
des problèmes de probabilité se trouvant en fin de section ou chapitre et
également à la fin des notes de cours. Il est de première importance d'essayer de résoudre d'abord les exercices
avant de consulter les suggestions de correction. Je tiens à remercier ici tous les assistants du cours depuis que je
l'enseigne, et en particulier Eric Toulemonde, Anne-Sophie Brasselle,
Christine Marsigny, Mélanie Latiers et Ghislaine Bauwens, qui par leur
remarques et suggestions ont apporté des améliorations significatives aux
énoncés ainsi qu'à certaines propositions de solution.
Les générations passées d'étudiants ont inspiré également chaque année des
améliorations et leurs réactions ont également permis d'affiner le texte. N.B. Le texte contiendra au fur et à mesure de sa finalisation quelques
liens hypertexte de la table des matières vers l'énoncé et le corrigé de
l'exercice considéré.
Table des matières Chapitre 0
Exercice 0.1
Exercice 0.2
Exercice 0.3
Exercice 0.4
Exercice 0.5
Exercice 0.6
Exercice 0.7
Exercice 0.8
Exercice 0.9
Exercice 0.10
Exercice 0.11
Exercice 0.12 Chapitre 1
Exercice 1.1
Exercice 1.2
Exercice 1.3
Exercice 1.4
Exercice 1.5
Exercice 1.6
Exercice 1.7
Exercice 1.8
Exercice 1.9
Exercice 1.10
Exercice 1.11
Exercice 1.12
Exercice 1.13
Exercice 1.14
Exercice 1.15
Exercice 1.16
Exercice 1.17
Exercice 1.18
Exercice 1.19
Exercice 1.20 Chapitre 2
Exercice 2.1
Exercice 2.2
Exercice 2.3
Exercice 2.4
Exercice 2.5
Exercice 2.6
Exercice 2.7
Exercice 2.8
Exercice 2.9
Exercice 2.10
Exercice 2.11
Exercice 2.12
Chapitre 3
Exercice 3.1
Exercice 3.2
Exercice 3.3
Exercice 3.4
Exercice 3.5
Exercice 3.6
Exercice 3.7
Exercice 3.8
Exercice 3.9
Exercice 3.10
Exercice 3.11
Exercice 3.12 Chapitre 4
Exercice 4.1
Exercice 4.2
Exercice 4.3
Exercice 4.4 Annexe au chapitre 0 : Exercices récapitulatifs (solutions) Exercice 0.1 : Un cadre doit visiter cinq ateliers (A, B, C, D, E) chaque semaine. Il
visite un (et seul) atelier différent chaque jour, du lundi au vendredi. Il
choisit l'ordre de ses visites AU HASARD tous les dimanches.
DE COMBIEN DE FAÇONS DIFFÉRENTES PEUT-IL ORGANISER SES TOURNÉES ? Pour choisir au hasard, il pourrait inscrire les noms des ateliers sur cinq
bouts de papier, mélanger ces derniers dans une urne et les tirer (sans
remise) un à un, il visitera le premier nom tiré le lundi, etc.
Donc : - il tire un atelier à visiter le lundi : 5 possibilités, - il tire un atelier à visiter le mardi : 4 possibilités, - il tire un atelier à visiter le mercredi : 3 possibilités, etc. En tout, il dispose donc de 5.4.3.2.1 = 120 possibilités d'organiser ses
visites hebdomadaires. (Application du principe de multiplication.) Idem sur deux semaines ? Pour deux semaines successives, il dispose de 120 x 120 = 120²
possibilités. Exercice 0.2 : Pour me rendre à mon travail, je dispose du métro, je peux marcher et trois
bus peuvent me mener à destination. DE COMBIEN DE POSSIBILITÉS DE ME RENDRE À MON TRAVAIL PUIS-JE BÉNÉFICIER ? Je dispose de 1 + 1 + 3 = 5 possibilités. EXERCICE 0.3 : SOIT LES ENSEMBLES M={ALBERT, CHARLES, BERNARD} ET F={DANIELLE, FRANÇOISE}.
ECRIRE M X F EN EXTENSION ET VIA DEUX REPRÉSENTATIONS DU DIAGRAMME EN
ARBRE. M X F = {(ALBERT, DANIELLE), (ALBERT, FRANÇOISE), (CHARLES, DANIELLE),
(CHARLES, FRANÇOISE), (BERNARD, DANIELLE), (BERNARD, FRANÇOISE)}. DANIELLE ALBERT
Albert
Françoise Danielle Charles
Danielle Bernard
Charles
Françoise Albert
Danielle Françoise Charles
Bernard
Françoise Bernard Exercice 0.4 : TROUVER P(S) AVEC S={A, B, C}. QUEL EST LE # P(S) ? P(S) = {{a,b,c},{a,b},{a,c},{b,c},{a},{b},{c}, Ø } ;# P(S) = 2³ = 8
Exercice 0.5 : ECRIRE EN EXTENSION : A={X : X²-X-2 =0} ( A={-1, 2}. B={x : x est une lettre dans le mot « PROBABILITES »} (
B={P,R,O,B,A,I,L,T,E,S }.
C={x : x² = 9, x-3 = 5} ( C={ Ø }. Exercice 0.6 : VRAI OU FAUX :
a) {2, 5, 4} = {4, 5, 2}.
b) {4, 2, 3} ( {2, 3, 4}.
c) {4} ( {{4}}.
d) Ø ( {{4}}.
e) {4} ( {{4}}.
f) 1 ( {1, 2, 3, 4}.
TOUT EST VRAI SAUF c) Exercice 0.7 : UN HOMME QUI POSSÈDE 1 E JOUE AUX DÉS. A CHAQUE FOIS QU'IL JOUE, SOIT IL
GAGNE 1 E SI LE RÉSULTAT EST PAIR, SOIT IL PERD 1 E SI LE RÉSULTAT EST
IMPAIR. IL PEUT JOUER AU MAXIMUM CINQ FOIS ET ARRÊTE DE JOUER AVANT LA FIN
S'IL A TOUT PERDU OU S'IL A GAGNÉ 3 E (DONC S'IL POSSÈDE 4 E). DE COMBIEN
DE FAÇONS LES PARIS PEUVENT-ILS S'ÉTABLIR ?
PEUT-IL TERMINER LE JEU AVEC LA MÊME SOMME QU'AU DÉPART, SOIT 1 E ?
RÉSOLVEZ PAR LE DIAGRAMME EN ARBRE. LES NOMBRES REPRÉSENTENT L'ÉTAT DE LA « FORTUNE » DU JOUEUR À CHAQUE ÉTAPE
DU JEU. LES NOMBRE EN ROUGE INDIQUENT UNE FIN POSSIBLE DU JEU.
0 0
1 1 2 0 2 3 2
4
1 2 0
1 2
2
2
3 3 4
4
( 11 façons de parier et il ne terminera jamais le jeu avec 1 E en
poche. Exercice 0.8 : SOIT LE PLAN SUIVANT D'UN PARC À ALLÉES RECTILIGNES. UN HOMME S'Y PROMÈNE
TOUS LES JOURS, COMMENCE TOUJOURS SA PROMENADE EN ALLANT DE X EN R ET SE
DÉPLACE (SUR LE PLAN) HORIZONTALEMENT OU VERTICALEMENT UNE ÉTAPE À LA FOIS.
IL S'ARRÊTE QUAND IL NE PEUT CONTINUER À MARCHER SANS PASSER DEUX FOIS SUR
LE MÊME POINT. IL MODIFIE SA PROMENADE TOUS LES JOURS.
Combien de promenades différentes sont-elles possibles ?
A B C
R S T
X Y Z
Résolution par le diagramme en arbre
EN ROUGE, LES 10 DIFFÉRENTES ÉTAPES TERMINALES. EXERCICE 0.9 : UNE FEMME DISPOSE DE DEUX BAGUES IDENTIQUES. ELLE DÉCIDE DE LES METTRE,
SOIT À L'INDEX, SOIT AU MAJEUR, SOIT À L'ANNULAIRE DE LA MAIN DROITE. ELLE
CHANGE CHAQUE JOUR LA DISPOSITION DE SES BAGUES. a) Combien de temps maximum se passe-t-il entre deux dispositions
identiques ? Soit l'épreuve 1 : « Placer une des deux bagues sur un des trois doigts. »,
#S1 =3 avec S1 son espace d'échantillonnage. Soit l'épreuve 2 : « Placer l'autre bague sur un des trois doigts. », #S2
=3 avec S2 son espace d'échantillonnage. Donc, par le principe de la multiplication, on dispose de 3 x 3 = 9
possibilités de placement des bagues. Mais comme les bagues sont identiques, il est impossible de distinguer M -
I de I - M, M - A de A - M et I - A de A - I avec X - Y, signifiant : « La
bague 1 a été placée sur le doigt X (X = I, A, M) et la bague 2 sur le
doigt Y (Y = I, A, M) . » Il faut donc retirer 3 possibilités des 9, il reste six placements
conjoints distincts des deux bagues identiques. Il se passe donc 6 jours au maximum entre deux dispositions identiques. b) Quid si les bagues sont différentes ? Si les bagues sont différentes, leur ordre quand elles sont sur le même
doigt importe, or il existe 3 possibilités de présence commune, une sur
chacun des 3 doigts. Quand leur présence est commune, il existe 2 ! = 2
arrangements différents de ces deux bagues.
DONC IL EXISTE 6 POSSIBILITÉS D'ENFILER LES DEUX BAGUES SUR UN DOIGT
COMMUN.
IL FAUT LES AJOUTER AUX 6 POSSIBILITÉS D'ARRANGEMENTS DISTINCTS DES DEUX
BAGUES SUR DEUX DOIGTS DIFFÉRENTS.
IL EXISTE DONC 12 ARRANGEMENTS DIFFÉRENTS DES DEUX BAGUES SUR LES TROIS
DOIGTS.
IL SE PASSE DONC 12 JOURS AU MAXIMUM ENTRE DEUX DISPOSITIONS IDENTIQUES. Exercice 0.10 : LE TITULAIRE D'UNE CLASSE DE 11 GARÇONS ET 9 FILLES DOIT CHOISIR 3 D'ENTRE
EUX POUR REPRÉSENTER SA CLASSE À UN CONCOURS INTER-ÉCOLES. a) De combien de façons peux-il constituer l'équipe ?
[pic] façons. b) Idem s'il s'impose de choisir un garçon et deux filles ? Il est possible de choisir un garçon de 11 façons différentes. Il faut encore choisir 2 filles parmi 9, il existe [pic] = 36 possibilités. Et par le principe de multiplication, le nombre d'équipes sera égal à [pic]
= 11.36 = 396. c) Idem s'il s'impose de choisir une fille et deux garçons ?
En appliquant la même démarche, on découvre qu'il existe [pic]= 55.9 = 495
possibilités.
EXERCICE 0.11 : MADAME A. LAMODE DISPOSE AUJOURD'HUI DE 3 VASES DE CHINE, DE DEUX CRISTAUX
DE BOHÈME ET D'UN SALADIER DU VAL-SAINT-LAMBERT, TOUS CES OBJETS SONT
DIFFÉRENTS. ELLES LES EXPOSE FIÈREMENT SUR UNE PLANCHE DE LA VITRINE DE SON
SALON ET SE DONNE COMME