chapitre 1 - Free

Ière PARTIE NOTIONS DE CALCUL DES PROBABILITES
ET DE VARIABLE ALEATOIRE
CHAPITRE 1 NOTIONS SUR LES PROBABILITES FORMULES DE BASE I - Exemples Il est fréquent de jouer aux cartes, aux dés ou à d'autres jeux de hasard
et on peut ainsi faire appel plus "ou moins intuitivement au calcul des
probabilités. Par exemple :
(1) On jette un dé équilibré et on gagne si la face 6 sort. fl est
évident que l'on a une chance sur 6 de gagner, et on dira que la
probabilité que la face 6 sorte est égale à :
[pic]
Le calcul est rapide puisque six faces peuvent sortir avec la même chance à
la suite du lancer du dé et qu'une seule correspond au numéro désiré. (2) On jette un dé et on gagne si la face sortie est supérieure à 4 (c'est
à dire 5 ou 6). On a ainsi deux chances sur six de gagner et la probabilité
est de : [pic]
(3) On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 et on gagne si on tire un
roi ou un trèfle. Quelles sont les chances de gagner ou quelle est la
probabilité de gain ?
- il y a au total 32 cartes qui peuvent être tirées avec une chance
identique (on supposera que le jeu est parfaitement "franc") ;
- 4 sont des rois ;
- 8 sont des trèfles ;
En additionnant, on serait donc tenté de dire que l'on a 12 chances sur 32
de gagner mais on compte alors deux fois la même carte : le roi de trèfle
(une fois comme roi et un fois comme trèfle).
La réponse exacte est donc de :
4+8-1 = 11 cartes sur 32
et la probabilité de :
[pic] (on a 11 chances sur 32 de gagner). (4) Les exemples ci-dessus sont faciles à appréhender mais on peut étendre
le raisonnement à beaucoup d'autres domaines comme la gestion des
entreprises, les possibilités de réussite d'une opération ou la réaction
d'un groupe d'individus à une question posée. Une des difficultés est
d'envisager les différents événements qui peuvent se produire et de
calculer la probabilité de réalisation de chacun.
En effet, dans certains cas on peut faire appel à des techniques de
dénombrement, ou à des "lois" connues, mais pour d'autres, il s'agira
d'estimations par manque de connaissance du phénomène concerné ou parce que
l'on cherche à formaliser des appréciations subjectives du type : "si je
fais ceci, comment mon adversaire va ré- agir ? Avec quelles chances ?"
Toutefois, quel que soit le mode d'obtention des probabilités, leur
utilisation dans divers calculs obéit aux mêmes règles que nous allons
maintenant aborder.
II - Notion de probabilité et relations de base On envisage une situation ou une épreuve (par exemple : le jet d'un dé, le
contrôle d'un stock ou un sondage d'opinion...), dans lesquelles différents
événements peu- vent se produire (par exemple : telle face sort, la pièce
contrôlée est bonne, la réponse à une question est favorable,...).
On a donc une liste d'événements possibles qui peuvent être quantitatifs ou
qualitatifs et que l'on peut noter ei (e comme "événement", i indiquant le
repère, le rang ou le numéro d'ordre ; par exemple, on notera e1 "la pièce
est bonne" et e2 "la pièce est mauvaise").
A chaque événement correspond une probabilité, que l'on notera P(ei) ou Pi
(i étant le même que pour ei qui représente les chances qu'a cet événement
de se réaliser (par exemple I chance sur 6 d'obtenir la face 1 en jetant un
dé à six faces). (1) La probabilité est un nombre compris entre zéro et un
En effet :
- si un événement e^ est "impossible" et ne peut pas se réaliser,
"ses" chances sont nulles et on aura : Pi = 0 - si on est sûr qu'un événement ei va se réaliser, on dira qu'il est
"certain" et : Pi=1 Par exemple, la probabilité de tirer le deux de pique dans un jeu de 32
cartes est nulle, car il n'y a pas de deux de pique.
De même, la probabilité de sortir un nombre inférieur à sept lorsqu'on
jette un dé à six faces marquées de 1 à 6 est égale à 1 car, quelle que
soit la face sortie, elle sera inférieure à sept. (2) Probabilité de l'événement contraire
Soit un jeu de 32 cartes. Si on tire une carte au hasard, la probabilité de
tirer un roi est de 4/32.
Celle de tirer une carte différente du roi (ou "non roi") est de 28/32, que
l'on peut obtenir en faisant le total des cartes autres que le roi (as,
dames, etc.) ou en écrivant simplement :
32-4 =28 cartes qui ne sont pas des rois
et la probabilité cherchée est égale à :
[pic] c'est à dire P(non roi) = 1 - P(roi) ce qui simplifie les calculs. Plus généralement, si on considère un événement A et sa probabilité P(A),
celle de l'événement contraire notée A sera égale à : 1 - P(A) = P(?) ? se lit : "non A". (3) Relations de base du calcul des probabilités
a) Si on considère une carte à jouer tirée au hasard d'un jeu de 32 cartes,
la probabilité d'avoir un roi ou une dame est de : [pic]puisqu'il y a 4 rois et 4 dames dans le jeu
Plus généralement, on peut écrire que :
P(A ou B) = P(A) + P(B) (1) A et B indiquant deux événements "incompatibles" c'est à dire que l'un et
l'autre ne peuvent se produire ensemble (par exemple tirer une carte qui
soit à la fois dame et roi). (1) En notation de la théorie des ensembles, on utilise : P(A U B) pour P(A
ou B), U indiquant la réunion.
b) Par contre, si on considère deux événements compatibles, on a : P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A et B) (1)
P(A et B) exprime la réalisation simultanée de deux événements A et B. On
parle de probabilité jointe.
Par exemple, la probabilité de tirer un roi ou un trèfle est égale à (voir
supra) : [pic]
En effet, il y a 4 rois dans le jeu, ainsi que 8 trèfles, soit douze cartes
sur 32, mais en procédant de cette manière, on compte deux fois le roi de
trèfle, qui est à la fois roi et trèfle (A et B). û faut donc le retrancher
une fois.
On peut, sans difficulté, appliquer cette relation à d'autres domaines. Si
40 % d'individus lisent un journal donné A, si 70 % d'individus lisent un
autre journal B, et si, par ailleurs, 35 % lisent à la fois A et B, on peut
dire que :
0,4 + 0,7 - 0,35 = 0,75 ou 75 %
lisent l'un ou l'autre des deux journaux. Plus précisément : . 35 % lisent les deux [ P(A et B)]
. 40 - 35 = 5 % ne lisent que A, soit : _
P(A seul) = P(A) - P(A et B) = P(A et B)
. 70 - 35 = 35 % ne lisent que B, soit : _
P(B seul) = P(B) - P(A et B) = P(B et A)
. 100 -p5 + 5 + 251 = 25 % ne lisent ni A ni B
P(S et B) = 1 - P (A ou B) = 1 - 0,75 = 0,25 On a donc le schéma suivant : [pic] On verra ultérieurement comment calculer dans certains cas P(A et B).
(1) en notation de la théorie des ensembles, on utilise : P (A ? B) pour P
(A et B), ? indiquant l'intersection
(4) La somme des probabilités est égale à 1 sous certaines conditions La relation : [pic]signifie simplement que si on dispose, dans le cadre
d'une situation ou d'une épreuve, d'une liste exhaustive des événements
incompatibles qui peuvent se produire, la somme de leurs probabilités est
égale à 1. Par exemple, si on jette un dé :
. au total, six faces peuvent apparaître (liste "exhaustive") ;
. les événements sont incompatibles : si la face 2 sort, elle ne peut être
en même
temps la face 3 ou 4 ;
. la somme des probabilités est bien égale à 1, car chaque face a une
probabilité
de 1/6 de "sortir" et il y a 6 faces. III - Essai de formulation Dans le calcul des probabilités on s'efforce d'appréhender des épreuves,
des situations pour lesquelles les résultats ne sont pas connus avec
certitude. Ils constituent ainsi un ensemble d'événements possibles, appelé
ensemble fondamental (1). On peut ainsi noter les relations entre les différents événements en
utilisant la théorie des ensembles : (1) A U B représente l'événement : réalisation de l'événement A ou de
l'événement B (2) A ? B représente l'événement : réalisation de l'événement A et de
l'événement B
(3) ? est l'événement contraire d'un événement A
(4) A [pic] B signifie que la réalisation d'un événement A entraîne la
réalisation de l'événement B,(par exemple obtenir 2 entraine obtenir un
nombre pair).
(5) Ø est un événement qui ne peut se réaliser (événement "impossible") Définir les situations ne suffit pas, il faut en quantifier les
possibilités de réalisation. Le calcul de probabilités montre que l'on obtient des nombres compris entre
0 et 1.
En particulier, si un événement est "certain", sa probabilité est égale à
1. S'il est (1) Cet ensemble est souvent noté ? (oméga)
"impossible", sa probabilité est égale à 0.
De même, si deux événements A et B ne peuvent se réaliser simultanément
("in-
compatibles"), on peut écrire que :
P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B) (1) Un certain nombre de conséquences en découlent, notamment :
- Si la réalisation de A entraîne celle de B, alors :
P(A) ? P(B) Par exemple, dans le lancer d'un dé :
P(face 2) < P(face paire) En effet :[pic] - P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ? B) si A et B sont compatibles, ce que nous
avons vu précédemment. IV - Quelques applications Application 1
Un organisme réalise une loterie comportant 500 numéros de 1 à 500. Gagnent
un
lot:
- le numéro 4