« On réalise en fin de compte que la théorie des probabilités n'est ...

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Faculté des sciences économiques,
sociales et de gestion
Première candidature en Sciences économiques et de gestion
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Première candidature en ingénieur de gestion
PROBABILITéS
(INTRODUCTION A LA STATISTIQUE STOCHASTIQUE)
Jean-Charles JACQUEMIN
Professeur « On réalise en fin de compte que la théorie des probabilités n'est
tout simplement que le bon sens réduit à du calcul.
Elle nous fait apprécier avec exactitude ce que l'esprit bien
fait sent déjà par une sorte d'instinct, souvent sans être capable
d'en rendre compte ...
Il est remarquable que cette science, qui a pris son origine
dans l'étude des jeux de chance, soit devenue l'objet le plus
important de la connaissance humaine. Les questions les plus
importantes de la vie ne sont en réalité, pour l'essentiel, que des
problèmes de probabilités. »
Pierre Simon, Marquis de Laplace[1]
Préambule La citation du Marquis de Laplace pourrait nous amener à penser que la
science probabiliste n'est qu'une évidence qu'il suffit d'élucider. Cette citation ne fait pas justice à la découverte par Blaise Pascal, non
pas des probabilités - le principe du calcul élémentaire de ces dernières
avait été découvert plus de 4 siècles auparavant par Omar Khayyan et sans
doute deux siècles plus tôt encore en Chine par Chu - Shih - Chei -, mais
plutôt de leur usage pratique dans le détermination des droits moraux des
joueurs sur les enjeux d'une partie[2]. Et, bon gré, mal gré, nous sommes tous joueurs, engagés dans une
« partie »dont Pascal disait : « Tout ce que je connais à propos de
l'avenir, c'est que je vais bientôt mourir. » (fr. 681). Pascal avait compris les possibilités infinies de l'utilisation des
probabilités. Car, comme il l'écrit lui-même : « ... l'incertitude de
gagner est proportionnée à la certitude de ce que l'on hasarde, selon la
proportion des hasards de gains et des hasards de pertes. » (fr 680) C'est là, une prise de conscience d'une fracture dans l'évolution de la
pensée humaine ; la découverte qu'il est possible d'agir en tant qu'homme
face au hasard, qu'il y a moyen, non de subir, mais de faire face
rationnellement à l'incertitude. Dans son histoire personnelle, Blaise Pascal a inventé l'assurance avant de
risquer son pari. Il avait cependant une conscience parfaite des enjeux de
sa découverte qui fait que les probabilités sont aujourd'hui un des
facteurs d'amélioration du bien-être de l'humanité.
Bibliographie - Vigneron C., Logak E., Probabilité et statistiques, Tome 1, Paris,
Diderot, Arts et Sciences, 1995. - Ross S.M., A first course in probability, Macmillan, 4th ed., 1994. Traduction française : Initiation aux probabilités, Lausanne,
Presses polytechniques et universitaires romandes, 1994. - Lipschutz S., Probability, Mc Graw Hill, Schaum's outline Series, 1965. - Gaultier M., Probabilités, Paris, Vuibert, 1997. - Mc Coll J.H., Probability, London, Edward Arnold, 1995. Approche pédagogique Voir le cours de statistique générale (à l'exception d'un test de mi-
semestre qui n'est pas organisé dans le cas présent.). Note sur le syllabus et son étude : la mise en page de ce texte est conçue
de façon à ce que (presque) chaque page forme un tout cohérent et contienne
un ou plusieurs messages unifiés, donc sans report explicite sur la page
suivante. Contenu du cours - Introduction
- Chapitre 0 : Préliminaires mathématiques et logiques
- Chapitre 1 : Probabilités élémentaires
- Chapitre 2 : Conditionnement, compatibilité et dépendance
- Chapitre 3 : La loi des probabilités totales et le théorème de Bayes
- Chapitre 4 : Variables aléatoires discrètes
- Chapitre 5 : Moments
- Chapitre 6 : Lois discrètes
- Exercices récapitulatifs INTRODUCTION Cette introduction a pour objectif de mettre en place des CONCEPTS et
Démarches fondamentaux qui sont basés sur la reconnaissance de
l'incertitude comme composante essentielle de la réalité. a. Quelques remarques préliminaires :
> L'incertitude ne doit pas être confondue avec l'ignorance. > L'étude des probabilités constitue une démarche perturbatrice. « Students often arrive in their first probability course with
seriously deficient or confused intuitive ideas about the random
phenomena being studied. Perhaps this is partly due to the human
tendency to seek patterns even where none exist, and partly due to
the vested interests of the gambling industry in cultivating
erroneous impressions about chance events. Whatever the source of
these misconceptions, the teacher of an elementary course in
probability has the difficult task of eradicating them and helping to
build the sound intuition that leads to self-confidence in
understanding theory and making applications. »[3] b. L'objet de l'étude des probabilités :
A l'aide de certains éléments connus caractérisant un phénomène, inférer
d'autres éléments inconnus en leur associant une mesure de vraisemblance
d'occurrence. Il s'agira donc de modéliser l'incertitude. Exemple : la valeur affichée après le lancer d'un dé honnête : Eléments connus :
Un dé a six faces toutes distinguables les unes des autres par la valeur
qu'elles affichent.
Le dé est honnête, c'est-à-dire est correctement et également équilibré. Elément inconnu :
La valeur de la face supérieure après le lancer. Mesures de vraisemblance associées : la fréquence d'observation attendue
d'une valeur donnée sur un grand nombre de lancers, une conclusion de la
réflexion a priori sur les propriétés de l'expérience, etc.
Modéliser l'incertitude : Pourquoi ? Comment ? Modéliser l'incertitude : Pourquoi ? : quelques applications pratiques.
a) L'exercice inconscient du calcul probabiliste :
- Prendre ou non son parapluie.
- Souscrire un contrat d'assurance.
- « Passer » des sections d'un cours pendant le blocus.
- Etc. b) Le calcul probabiliste (souvent implicite) fait partie du quotidien :
- Cfr journaux : conjectures dans les relations de certains faits, ...
- Jeux : lotto, pronostics, ...
- Conduite automobile, ...
- Etc. c) Le calcul des probabilités consiste à étudier SYSTématiquement
l'incertitude : Depuis deux siècles, les probabilités sont utilisées EFFICACEMENT dans de
nombreux domaines et fournissent des résultats opérationnels indéniables.
Exemples dans différents domaines : - Médecine :
- La lutte contre le cancer est organisée en fonction de modèles
probabilistes de mécanismes de transmission et de développement des
affections.
- L'épidémiologie, basée sur l'étude probabiliste du développement des
maladies transmissibles, (poliomyélite, grippe, sida, hépatites, ...)
permet un meilleur diagnostic, une meilleure prévention et une meilleure
planification de la recherche médicale. - Physique : la théorie quantique de l'univers décrit l'organisation
subatomique des particules élémentaires comme une structure aléatoire. - Biologie : la théorie moderne de l'hérédité décrit comment les gènes sont
transmis aléatoirement des parents à leur descendance. - Assurances : la modélisation du risque du crédit, du risque d'accident,
de la probabilité de sinistre, permet un calcul plus juste
(« équitable ») des primes et des frais. - Judiciaire : les enquêtes de la police scientifique sont de plus en plus
guidées par un raisonnement probabiliste et l'inférence bayesienne. - Etc. Modéliser l'incertitude : Comment ? : Probabilités et modélisation
mathématique
Un modèle probabiliste est une représentation abstraite, mathématique d'une
expérience aléatoire. Il ne peut, bien entendu, être aussi riche de détails que la réalité, il
simplifie cette dernière. Mais, pour être d'une certaine utilité pratique, il doit représenter
fidèlement les caractéristiques de l'expérience qui sont importantes dans
la détermination et la production du résultat. ATTENTION ! La construction des modèles de probabilité : - n'est pas une matière de déduction mathématique précise, - c'est une démarche intuitive, inductive, construite à partir de notre
propre raisonnement, notre propre expérience et notre propre culture et
ceux des autres.
( Importance des exemples, des exercices, des lectures ... CHAPITRE 0 :
PRELIMINAIRES MATHEMATIQUES ET LOGIQUES
Section 1 : Eléments de logique Section 2 : Introduction au dénombrement Section 3 : Techniques de dénombrement Section 1 : Eléments de logique A. Implication, négation, équivalence Une proposition, p, est une affirmation qui, suivant certaines conditions,
peut être vraie ou fausse. 1. Implication Si p et q sont deux propositions, p implique q, signifie que si p est
vraie, alors q est vraie. On dit alors que : p est une condition suffisante pour q et que q est une
condition nécessaire pour p. On note : p ( q. 2. Contraposée ou négation Si p est une proposition, ~p (non-p) est une proposition qui est vraie
quand p est fausse, et fausse quand p est vraie. p ( q est synonyme de sa contraposée ~q ( ~p (non-q ( non-p). 3. Equivalence Si p ( q et q ( p, alors les deux propositions sont dites équivalentes. p est une condition n