1 Cartes - ENS-phys

Probabilités
Générales
1 Cartes Soit un jeu de 52 cartes. On tire 1 carte. Quelle est la probabilité :
de tirer 1 c?ur ?
de tirer 1 figure ?
de tirer 1 c?ur ou 1 figure ?
de tirer 1 figure et 1 neuf ? 2 Des yeux et-ou des cheveux Sur 100 personnes: 40 personnes ont les yeux bleus, 45 personnes ont les
cheveux blonds, 25 personnes ont à la fois les yeux bleus et les cheveux
blonds. Quelle est la probabilité qu'un individu pris au hasard parmi les
100 personnes ait les yeux bleus ou les cheveux blonds ?
3 Dépendance Soient les événements A et [pic] tels que: [pic] Les événements A et [pic]
sont-ils indépendants ?
4 Probabilités conditionnelles La probabilité pour qu'un individu aux yeux bleus soit gaucher est de 1/7.
La probabilité pour qu'un individu gaucher ait les yeux bleus est de 1/3.
La probabilité pour qu'un individu n'ait pas des yeux bleus et ne soit pas
gaucher est de 4/5.
Quelle est la probabilité pour qu'un individu pris au hasard ait des yeux
bleus et soit gaucher ?
5 Maladie Dans une population :
10 % des sujets sont atteints de la maladie [pic] ;
90 % des sujets atteints de la maladie [pic] portent le signe [pic] ;
40 % des sujets porteurs du signe [pic] sont atteints de la maladie [pic].
Quelle est la proportion parmi les sujets non atteints, qui ne portent pas
le signe [pic] ?
6 De l'art d'être un bon étudiant (examen mai 2007)
Un étudiant a une attitude un peu désinvolte face à ses cours.
Il n'étudie que pour 1/3 de ses examens, en les choisissant au hasard ;
Par le passé, il a réussi 3 fois sur 4 les examens pour lesquels il avait
étudié, tandis qu'il n'a réussi qu'un examen sur 4 lorsqu'il n'étudiait
pas.
Cet étudiant a réussi son examen de mathématique.
Quelle est la probabilité qu'il ait étudié pour cet examen ?
7 Dépistage (examen juin 2007)
Chaque don du sang est soumis à un test du SIDA. On suppose que :
Ce test a une «efficacité» de 99%, correspondant à la probabilité que le
test soit positif pour une personne atteinte du SIDA.
Il a un taux de «faux-positifs» de de 5%, correspondant à la probabilité
que le test soit positif pour une personne non atteinte.
La probabilité d'être atteint du SIDA est 1/10000.
1 Quelle est la probabilité pour qu'une personne obtenant un test positif
soit atteinte du SIDA ? 2 Peut-on en conclure que ce test est réellement efficace, donc utile ?
8 Où il ne fait pas bon d'être très malade (examen juin 2007)
D'après les statistiques concernant une maladie incurable, on sait que sur
100 malades :
70 passent passent le cap de la 1re année (événement [pic])
56 passent le cap de la 2è année (événement [pic])
50 passent le cap de la 3è année (événement [pic])
1 Représenter graphiquement les événements [pic], [pic] et [pic]. 2 Rappeler l'expression de la probabilité conditionnelle [pic] 3 Calculer la probabilité, pour un malade ayant passé le cap de la 1re année,
de passer le cap de la 2è année. 4 Calculer la probabilité, pour un malade ayant passé le cap de la 2è année,
de passer le cap de la 3è année.
Variables aléatoires et distributions discrètes
1 Sexes À chaque naissance, la probabilité d'avoir un garçon est [pic]. On
s'intéresse aux familles de 4 enfants. 1 Quelle est l'espérance du nombre de garçons ? 2 Quelle est la probabilité pour que les 4 enfants soient de même sexe ? 3 Chaque chambre d'enfants contient au plus 2 enfants si ils sont de même
sexe. Quelle est la probabilité qu'il y ait 3 chambres d'enfants ? 4 Un immeuble de 20 appartements est entièrement occupé par des familles de
4 enfants. Quelle est l'espérance du nombre de garçons dans immeuble ?
2 Pile ou face Combien de fois faut-il lancer la pièce pour que la probabilité d'obtenir
uniquement des «côté face» soit inférieure à 1 % ?
3 Tricheur Un tricheur a dans sa poche 2 pièces de monnaies dont l'une est normale et
l'autre pipée, c'est à dire que le «coté face» sort 2 fois sur 3.
Il prend l'une des deux pièces et obtient 4 «coté face» en 6 coups. Quelle
est la probabilité qu'il ait pris la pièce pipée ?
4 Pêche Lors d'une pêche en mer, la probabilité de ramener 1 requin dans le chalut
est de 1 %. En admettant qu'il soit impossible de prendre simultanément
plusieurs requins dans le chalut, quelle est la probabilité de prendre
[pic] requins lorsque le nombre de chalutages [pic] est égal à 100 ?
Calculer numériquement les premières probabilités.
5 Mucoviscidose Chaque année en France, en moyenne par jour 2 enfants naissent atteints de
mucoviscidose. Si il n'y a pas d'effet saisonnier dans la distribution des
naissances, quelle est la loi du nombre de naissances journalières
d'enfants malades ?
6 Grands nombres La probabilité qu'un individu soit atteint de la maladie [pic] vaut [pic]
et de la maladie [pic] vaut [pic]. Les 2 affections [pic] et [pic] sont
indépendantes. Quelle est l'espérance du nombre d'individus atteints de
l'une ou l'autre maladie, dans un échantillon de 10000 personnes ? Quelle
est la probabilité que 2 individus exactement soient atteints de l'une ou
l'autre maladie, dans un échantillon de 100 personnes ?
7 Groupe Dans une population, 20% des individus ont les yeux bleus.Quelle est la
probabilité pour que, sur 10 personnes tirées au hasard, au moins 3 d'entre
elles aient les yeux bleus ?
Loi no
rmale
1 Sachant que [pic], calculer :
[pic] ; [pic] ; [pic] ;
[pic] ; [pic] ; [pic] ;
[pic] tel que [pic] ; [pic]. 2 Sachant que [pic] suit une loi normale, [pic], calculer:
[pic] et [pic]
[pic] 3 La masse en kg d'une personne adulte suit une loi normale [pic]. Quelle est
probabilité qu'un groupe de 20 personnes montant dans un ascenseur dépasse
la limite de sécurité de cet ascenseur qui est de 1500 kg ?
4 En supposant que la distribution des revenus de la population d'un pays
suive une loi normale, avec une espérance 15 unités monétaires, calculer
son écart type sachant que 10 % de la population perçoit plus de 20 unités
monétaires.
5 Pour des candidats à une section d'apprentissage, la distribution des notes
dans un test est normale avec une espérance égale à [pic] et un écart type
égal à [pic]. On décide que 10 % des sujets seront orientés ailleurs parce
que leur niveau est trop haut, et que 30 % des sujets seront orientés
ailleurs parce que leur niveau est trop bas.
Entre quelles limites la note d'un candidat devra-t-elle se placer pour
qu'il soit admis dans la section d'apprentissage ?
6 Dans une population de veaux, la masse d'un animal pris au hasard est une
variable aléatoire [pic] qui suit une loi normale d'espérance 500 kg et
d'écart type 40 kg.
1 Si on prélève un échantillon de 80 veaux de cette population, quelles
seraient les espérances du nombre de veaux:
pesant plus de 560 kg ?
pesant moins de 480 kg ?
pesant entre 450 et 550 kg ? 2 On sélectionne pour la reproduction les 15% supérieurs en poids de la
population. À partir de quelle masse un animal sera sélectionné ?
Table de la loi normale centrée-réduite La table indique, pour [pic], la valeur [pic] de la fonction de répartition
de la loi normale centrée réduite définie par: [pic]. Pour [pic]. La table retourne a valeur de [pic] pour a valeur de [pic] comme a somme
des valeurs figurant en tête de la igne et de a colonne correspondantes.
Exemple: [pic].
N.B. : La notation [pic], par exemple, équivaut à [pic].