Étude du moteur asynchrone en régime permanent - Free

EXAMEN D'ELECTROTECHNIQUE N°3
Le 21 Mars 2005 Durée : deux heures Documents et Calculatrice interdits Notes importantes :
- Dans toute la suite, lorsqu'on demande de calculer ou de donner la
valeur d'une grandeur, il faut remplacer par des expressions numériques
sans forcément calculer numériquement si le calcul "à la main" est
compliqué. Par exemple, si g est une valeur calculée précédemment, on peut
dans la suite la noter par gcalculée.
- Quand on vous demande de calculer une grandeur g(x,y,z,...), la
réponse est condidérée comme nulle si vous n'avez pas préalablement calculé
corectement toutes les grandeurs x, y, z, etc...
PREMIER PROBLEME : (11,5 pts)
Un moteur asynchrone triphasé 220 V/380 V, 50 Hz a un stator à 4
pôles couplé en étoile et un rotor à cage. Sous alimentation nominale, on a
obtenu : - à vide, un courant de ligne d'intensité 6 A.
- à charge nominale, un courant de ligne d'intensité 19,4 A, une
puissance absorbée de 11 kW et une fréquence de rotation de 1 440
tr/min. Dans tout le problème, on néglige les résistances et inductances de fuite
statoriques, les pertes fer et les pertes mécaniques. I - ETUDE DE LA MACHINE ALIMENTEE PAR UN RESEAU FIXE
La machine asynchrone est alimentée sous 220 V/380 V, 50 Hz.
1) Déterminer pour le fonctionnement à charge nominale :
- le glissement g.
- la puissance réactive absorbée.
Donner le schéma de branchement des deux wattmètres permettant de mesurer
la puissance active P et la puissance réactive Q absorbées.
Calculer ;
- le moment du couple nominal Cn.
- les pertes rotoriques par effet Joule .
2°) Montrer que les éléments du schéma équivalent par phase donné à la
figure 1 (page 4) ont pour valeurs :
L = 117 mH l = 9,4 mH r = 0,5 (.
3°) Montrer que le moment C du couple de la machine peut s'écrire :
[pic]
4°) Pour quelle valeur de glissement gmax, le moment du couple est-il
maximal ?
Donner la valeur de ce maximum Cmax et la fréquence de rotation
correspondante en tr/min.
5°) Tracer l'aIIure du graphe donnant le moment du couple C en fonction de
la fréquence de rotation de 0 à 3000 tr/min. Préciser le type de
fonctionnement suivant la fréquence de rotation.
II . ETUDE DU MOTEUR ALIMENTE A FREQUENCE VARIABLE ET V/f = Cte.
La tension simple V et sa fréquence f restent dans un rapport constant V/f
= k = 4,4 volts / Hertz jusqu'à l'alimentation nominale de la machine. On
suppose la machine non saturée : la valeur de L est indépendante de la
fréquence.
1) Montrer que l'expression du moment du couple C peut alors s'écrire : [pic]
Donner la valeur numérique de A.
2) La valeur maximale du moment du couple dépend-elle de la fréquence
d'alimentation ?
3) En régime permanent stable, pour un moment C du couple fixé, on montre
que la quantité g.( reste constante quand la fréquence f varie.
Si Ns est la fréquence de synchronisme, N la fréquence de rotation,
exprimer ( N = Ns - N. Quelle est la propriété de ( N quand f varie à
couple fixé ?
Préciser ( N pour les couples Cn et Cmax.
4) Dans un tableau, donner les valeurs numériques de la fréquence de
rotation N en tr/min pour les trois valeurs 10 Hz, 30 Hz et 50 Hz de la
fréquence et correspondant à des fonctionnements :
- à vide
- à couple nominal Cn
- à couple maximal Cmax.
5) Tracer pour les trois fréquence précédentes l'allure du réseau de
caractéristiques C(N ) en le limitant
au cas de fonctionnement stable en moteur. Dans la suite du problème on se
limitera à ce cas.
6) Déterminer la fréquence minimale pour obtenir un couple de démarrage au
moins égal au couple nominal Cn.
7) Le moteur entraîne une charge mécanique qui lui oppose un couple
résistant de moment constant Cr = 40 N.m. Déterminer la fréquence de
rotation du groupe en régime permanent pour une alimentation à fréquence
30Hz. (On pourra effectuer des approximations en les justifiant).
8) En faisant apparaître les impédances sur le schéma équivalent par phase,
établir sans calcul une propriété remarquable de la valeur efficace I de
l'intensité du courant en ligne lorsque la fréquence d'alimentation du
moteur asynchrone varie alors que le moment du couple résistant reste
constant.
(Un posera V = K( et on utilisera la linéarité des équations de
l'électricité) III-ONDULEUR AUTONOME TRIPHASE
L'alimentation du moteur asynchrone est fournie par un onduleur triphasé à
partir d'une source continue réglable de f-e- m. E proportionnelle à la
fréquence de l'onduleur : E = a.f. Le schéma de principe est donné à la
figure 2 (page 4). Les intervalles de fermeture des interrupteurs sont
indiqués pour une période T de fonctionnement à la figure 3 (page 4).
Chaque interrupteur est constitué d'un transistor et d'une diode supposés
parfaits (figure 4) (page 5). 1) Représenter u12(t), u23(t) et u31(t) sur le document-réponse.
2) Montrer que v1 = 1/3 (u12 - u31) sachant que l'on a toujours v1 + v2 +
v3 = 0 Représenter v1 (t) sur le document-réponse.
3) Indiquer le cycle de fermeture des interrupteurs permettant d'inverser
le sens de rotation du moteur.
4) On donne le développement en série de Fourier de la fonction représentée
à la figure 5 (page 5): [pic]
Montrer que le terme fondamental du développement en série de Fourier de
v1(t) est : [pic]
(On pourra décomposer v1(t) en deux signaux simples de la forme u(t) avec
(1= 0, (2=(/3).
Quelle valeur faut- il donner au coefficient a = E/f pour que ce
fondamental ait une valeur efficace de 220 V à 50 Hz ?
5) Dans la réalité l'onduleur triphasé est constitué comme l'indique la
figure 4 (page 5). Dans ces conditions le courant i1 (t) a l'allure
dessinée sur le document réponse à la figure 6 (page 6). La séquence de
commande des interrupteurs est celle de la figure 3 (page 4).
Compléter le document réponse en indiquant les intervalles de conduction
des composants T1 ou D1, T4 ou D4. [pic] PREMIER PROBLEME : (11,5 pts)
Étude du moteur asynchrone en régime permanent Notations :
U (V) Tension composée du réseau triphasé.
V (V) Tension simple du même réseau.
f (Hz) Fréquence des courants statoriques.
fr (Hz) Fréquence des courants rotoriques.
( (rad.s-1) Pulsation des courants statoriques.
(S (rad.s-1) Vitesse de rotation du champ tournant créé dans l'entrefer
par les courants statoriques.
( (rad.s-1) Vitesse angulaire de la machine.
ns (tr.s-1) Fréquence de rotation du champ tournant créé dans
l'entrefer par les courants statoriques.
n (tr.s-1) Fréquence de rotation de la machine. Caractéristiques électromécaniques du moteur étudié :
Sur la plaque signalétique du moteur asynchrone sont fournies les
indications suivantes :
Tension d'alimentation nominale Un = 380 V fn = 50 Hz
Courant nominal parcourant
chaque phase du moteur In = 106 A.
Facteur de puissance nominal cos(n = 0,86.
Fréquence de rotation nominale nn = 1460 tr.min-1 .
Puissance utile nominale Pun = 55 kW.
Le couplage des phases statoriques est en étoile. 1 - Fonctionnement au régime nominal de la machine
On demande de calculer:
- le nombre de paires de pôles p
- le glissement gn , en déduire la fréquence des courants rotoriques fr.
- la puissance active absorbée Pan
- le rendement (n.
- le moment du couple utile Tun. 2 - Recherche des éléments d'un modèle équivalent simplifié
La figure 2 représente un modèle linéaire simplifié d'une phase statorique
pour lequel on a négligé:
-la résistance globale de l'enroulement statorique
-les pertes mécaniques et ferromagnétiques de la machine.
Lcs : inductance magnétisante du stator.
( : inductance globale de fuites ramenée au stator.
R : résistance du rotor ramenée au stator.
Pour calculer les impédances figurant dans ce modèle, on procède aux essais
suivants :
1er essai :
Le moteur fonctionne à vide et est alimenté sous sa tension nominale. On
obtient :
- nv = fréquence de rotation à vide peu différente de la fréquence de
synchronisme ns
- intensité du courant absorbée par chaque phase Iv = 50 A.
2ème essai :
Le moteur fonctionne à rotor bloqué et est alimenté à partir du réseau sous
tension réduite
Ucc = (Un/10).
On obtient alors:
- puissance active consommée Pcc = 970 W.
- intensité du courant absorbée par chaque phase Icc = 70 A. 1) Donner le modèle équivalent pour le fonctionnement à vide. Calculer
l'inductance magnétisante d'une phase statorique. 2) Pour l'essai à rotor bloqué, on considère que le courant absorbé par
l'inductance magnétisante statorique est négligeable.
Donner le modèle équivalent à une phase. En déduire les valeurs des
éléments R et (.
Pour la suite du problème, on prendra R = 66 m( et ( = 1 mH. 3 - Étude du moment du couple électromagnétique Tem
1) Exprimer à l'aide du modèle équivalent la puissance Pem transmise au
rotor ; en déduire que le moment du couple électromagnétique Tem peut se
mettre sous la forme :
Tem = (3p/2()(V/f)²(R.fr)/(R²+4(²(²fr²).
2) Montrer que pour les faibles valeurs de fr on peut écrire : Tem =
A.(V/f)².fr.
Définir A et montrer que sa valeur numérique est A = 14,5 (-1. 4 - Fonctionnement à vitesse de synchronisme variable.
Pour cette étude, on reste dans l'hypothèse de la question 2) du 3 ci-
dessus.
Le moteur est alimenté par le convertisseur