ChapVIII.doc - IIHE

CHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques
Ce chapitre porte sur les courants et les différences de potentiel
dans les circuits. VIII.1 : Les résistances en série et en parallèle On dit que deux ou plusieurs résistances sont branchées en série
lorsqu'elles sont reliées l'une à l'autre bout à bout par un conducteur, de
telle sorte à former un seul conducteur dans lequel un même courant peut
passer (voir figure VIII.1).
[pic]
Figure VIII.1. La différence de potentiel aux bornes de R1 vaut : ?V1 = Va - Vb = R1 I, en vertu de la loi d'Ohm. De même, aux bornes de R2 : ?V2 = Vc - Vd = R2 I La différence de potentiel aux bornes de l'ensemble formé par les deux
résistances en série vaut : ?V = Va - Vd = Va - Vb + Vb - Vd = Va - Vb + Vc - Vd
. En effet, puisque la résistance du fil conducteur qui lie b à c est
négligeable, Vb - Vc ? 0 × I ? 0 et Vb = Vc. Dès lors, en vertu des
relations précédentes : ?V = ?V1 + ?V2 = R1 I + R2 I = (R1 + R2) I
Donc, la différence de potentiel aux bornes de deux résistances placées en
série est égale à la somme des différences de potentiel aux bornes de
chacune des résistances L'ensemble formé par les résistances R1 et R2 en série, offre donc au
passage du courant une résistance équivalente :
Réq = [pic] = R1 + R2. On peut facilement généraliser le raisonnement ci-dessus à un nombre n de
résistances en série. Celles-ci auront une résistance équivalente : Réq = R1 + R2 + ... + Rn, pour des résistances en série
(VIII.1) La résistance équivalente à plusieurs résistances associées en série est
égale à la somme des résistances.
Lorsque les résistances groupées ont leurs deux extrémités connectées
ensembles au reste du circuit (voir figure VIII.2), on dit qu'elles sont
placées en parallèle.
[pic]
Figure VIII.2. Cette fois, la différence de potentiel aux bornes de l'ensemble est égale à
celle aux bornes de chaque résistance placée en parallèle.
?V = Va - Vb = ?V1 = ?V2 Par contre, le courant total I se divise lorsqu'il arrive en a, une partie,
I1, passant par R1, l'autre, I2, passant par R2 :
I = I1 + I2
(VIII.2) La résistance équivalente offerte au passage du courant par l'ensemble des
deux résistances en parallèle est donnée par :
Réq = [pic], d'où l'on tire I = [pic]. Dès lors, en appliquant la loi d'Ohm
aux courants I1 et I2 de la relation (VIII.2), on obtient :
[pic] En divisant membre à membre par ?V, il vient :
[pic] En généralisant le raisonnement ci-dessus au cas de n résistances placées
en parallèle, on obtient : [pic], pour des résistances en parallèle (VIII.3) Exemple :
Une pile ayant une f.é.m. de 9 V et une résistance interne de 0,5 ?
alimente le circuit schématisé sur la figure VIII.3.
[pic]
Figure VIII.3. On demande : a) la résistance équivalente du circuit, b) le courant débité
par la pile, c) la tension aux bornes de celle-ci.
a) les résistances R2 et R3 placées en parallèle ont une résistance
équivalente R23, donnée par :
[pic],
de sorte que R23 = 2,7 ?. Ce système se trouve groupé en série avec la
résistance R1, ce qui donne pour la résistance équivalente de la branche
supérieure du circuit :
R123 = R1 + R23 = 6,0 + 2,7 = 8,7 ?.
Cette résistance de la branche supérieure est placée en parallèle avec R4,
ce qui donne en les combinant : [pic] et conduit à : R1234 = 4,8 ?. Pour
obtenir la résistance équivalente de tout le circuit branché aux bornes (a)
et (b) de la pile, il faut encore lui ajouter R5, branchée en série :
Réq = R1234 + R5 = 4,8 + 5,0 = 9,8 ?. b) pour calculer le courant débité par la pile, il faut tenir compte de sa
résistance interne qui s'ajoute en série avec la résistance du circuit
proprement dit, de sorte que :
Rtot = Réq + r = 9,8 + 0,5 = 10,3 ?.
Et : I = ?/Rtot = 9,0 / 10,3 = 0,87 A. c) la différence de potentiel aux bornes (a) et (b) de la pile sera par
conséquent :
Va - Vb = ? -r I = 9,0 - 0,5 × 0,87 = 8,6 V. VIII.2 : Les lois de Kirchhoff Dans l'exemple précédent, nous avons déterminé l'intensité du courant
débité par la pile en combinant les résistances placées en série et en
parallèle et en utilisant la loi d'Ohm. Dans les circuits complexes, dans
lesquels les résistances ne sont ni en série, ni en parallèle (voir
figure VIII.4.a) ou lorsqu'il y a plusieurs sources de f.é.m. (voir
figure VIII.4.b), cette méthode ne s'applique plus et il faut faire appel à
d'autres méthodes, notamment celle basée sur les lois de Kirchhoff.
[pic]
Figure VIII.4.
Les lois de Kirchhoff découlent des lois de conservation de l'énergie
et de la charge électrique. La première, ou loi des n?uds résulte de la
conservation de la charge. On appelle n?ud d'un circuit électrique un
endroit où sont connectées au moins trois branches, comme aux points a et b
du système de résistances de la figure VIII.2. La loi des n?uds stipule que
: la somme de tous les courants qui pénètrent dans n'importe quel n?ud doit
égaler celle de tous les courants qui en sortent. La relation :
I1 + I2 + I4 = I3
(VIII.4) exprime la loi des n?uds pour le n?ud schématisé à la figure VIII.5.
[pic]
Figure VIII.5. La loi des n?uds résulte bien de la loi de la conservation de la
charge électrique si on se souvient qu'un courant est un taux de charges
électriques. La somme des courants qui entrent dans un n?ud amène un
certain nombre de charges par seconde qui, au nom de la conservation de la
charge, doivent en sortir, par les branches ayant un courant sortant, de
sorte qu'il n'y ait ni création, ni accumulation de charges au n?ud.
Remarquons que lorsque nous avons écrit la relation (VIII.2), nous avons
déjà fait appel à la loi des n?uds sans le dire. La deuxième loi de Kirchhoff, ou loi des mailles, découle de la
conservation de l'énergie. Elle stipule que : dans un circuit, la somme algébrique des variations de potentiel le long de
n'importe quel parcours fermé doit être nulle. La relation :
Vab + Vbc + Vcd + Vde+ Vef + Vfa = 0,
(VIII.5) exprime la loi des mailles pour la maille (a, b, c, d, e, f, a) schématisée
à la figure VIII.6. Celle-ci comporte deux n?uds, (a) et (b), où il y a
plus de deux branches qui arrivent (trois), les points c, d, e, f sont de
simples points de référence.
[pic] Figure VIII.6. La somme de différences de potentiels (VIII.5) peut s'expliciter par :
(Va - Vb) + (Vb - Vc) + (Vc - Vd) + (Vd - Ve) + (Ve - Vf) + (Vf - Va) = Va
- Va = 0,
puisque le potentiel électrique est une différence d'énergie potentielle
par unité de charge et que l'énergie potentielle ne dépend que du point a
où on se trouve. VIII.3 : Méthode de résolution de circuits par les lois de Kirchhoff Lorsqu'on a à résoudre un circuit tel que ceux de la figure VIII.4,
on peut faire appel aux lois de Kirchhoff établies à la section précédente.
Résoudre un circuit veut généralement dire : déterminer les courants qui
passent dans chaque branche, connaissant les sources de f.é.m. Les lois de
Kirchhoff permettent d'établir un système de n équations à n inconnues, une
par branche.
Pour établir ce système d'équations, il peut être utile d'adopter une
méthode systématique qui permet de minimiser les risques d'erreur. En voici
une, appliquée au cas de la figure VIII.4.b: 1. Faites un schéma clair du circuit dans lequel chaque élément est
représenté par un symbole : ?i pour une f.é.m., Ri pour une
résistance, etc ... Mettez en regard les valeurs numériques de ces
symboles, dans un tableau :
[pic] 2. Identifiez chaque branche i du circuit et attribuez un symbole Ii pour
le courant qui y circule. Choisissez arbitrairement un sens pour le
courant et indiquez-le sur le schéma par une flèche :
[pic]
Souvenez-vous que c'est nécessairement le même courant qui circule
partout le long d'une même branche et qu'il ne peut donc y avoir deux
symboles inscrits le long d'une même branche.
3. Identifiez les différents n?uds du circuit et désignez les par une
lettre : a, b, ... Indiquez les différentes mailles par une boucle et
indiquez-y le sens dans lequel vous allez les parcourir, sens que vous
choisissez arbitrairement.
[pic] Dans le circuit ci-dessus, il y a deux n?uds, a et b et trois mailles
: (1), (2) et (3).
4. Ecrivez la loi des n?uds pour les différents n?uds :
[pic]
En fait les deux équations obtenues ci-dessus sont identiques : dans
tous les circuits vous constaterez que l'information apportée par le
dernier n?ud est redondante .
5. Mettez une lettre de référence entre chaque élément différent du
circuit et écrivez la loi des mailles pour chacune d'entre elle.
[pic]