Une classification des énoncés mathématiques

Comment classer les questions de mathématiques ?
Antoine Bodin
IREM de franche-Comté
Communication au colloque international
de Kangourou sans frontières 2003 Document de travail Sommaire Sommaire 1 1. Introduction 2 2. Une classification des types de problèmes et d'exercices 3 3. Forme des questions 3 4. Vers une liste de critères et exemples de bases d'énoncés 4 5. Classement par contenus 5
5.1 La classification MSC (Mathematics Subject Classification) 5
5.2 Une classification plus modeste 6
5.3 La classification TIMSS 6
5.4 Classement par "grandes idées" et par problématiques 7 6. Classement selon l'âge ou le niveau scolaire 7 7. Classement selon les objectifs contrôlés 8 8. Classement selon la difficulté 8
8.1 Approche classique 9
8.2 Approche « théorie des réponses aux items » 9 9. Classification selon le niveau de mathématisation attendu 11 10. Classification selon les activités et les processus sollicités 11 11. Classement selon la complexité 12
11.1 Complexité structurelle 12
11.2 La taxonomie de Bloom 13
11.3 Une taxonomie pour les mathématiques : la taxonomie de Gras, R.
13 12. Conclusion provisoire 13
Références et bibliographie 15
ANNEXE 1 Les contenus de TIMSS 17 ANNEXE 2 Extrait de la liste de capacités des bases EVAPM et EVAPMIB 23 ANNEXE 3 Les démarches sollicitées et les produits attendus de TIMSS 25 ANNEXE 4 Les perspectives de TIMSS 28 ANNEXE 5 Les classes de compétences selon PISA 29 ANNEXE 6 Taxonomie d'objectifs cognitifs de R. Gras 31 ANNEXE 7 Typologie de l'activité mathématique (R. Gras) 32 ANNEXE 8 Les processus selon PISA 33 ANNEXE 9 The Mathematics Subject Classification (MSC) 2000 36
1 Introduction Parmi les "questions de mathématiques", nous classons les problèmes et les
exercices qui relèvent, d'une façon ou d'une autre du domaine
mathématique : soit qu'ils soient énoncés en langage mathématique, soit que
leur traitement puisse faire, d'une façon ou d'une autre, appel aux
mathématiques.
Parmi ces questions, nous trouvons les grands problèmes qui ont constitué
ou constituent encore des défis pour les mathématiciens. Nous trouvons
aussi les problèmes résolus depuis plus ou moins longtemps, mais qui
peuvent encore, lorsqu'ils sont présentés sous une forme appropriée,
constituer des défis pour les élèves, les étudiants, ou plus généralement,
les amateurs de réflexion intellectuelle auxquels ils peuvent être
proposés. Enfin, nous trouvons les exercices de mathématiques qui
constituent surtout des moyens d'entraînement en terrain connu. Dans ce
cas, on sait en général ce qu'il faut faire et, dans une certaine mesure,
comment le faire... reste à le faire !
La question qui nous est posée est celle de trouver un système de
classement d'un ensemble signifiant de telles questions, système qui
pourrait, par exemple, être utilisée par la banque de questions du
Kangourou des mathématiques, laquelle comporte plusieurs milliers de
questions dont une bonne partie ont déjà été utilisées dans le cadre de
cette compétition internationale.
Des solutions partielles existent déjà autour de plusieurs banques de
questions et de problèmes, ainsi qu'autour de recherches plus générales sur
l'enseignement des mathématiques. Le présent article sera l'occasion de
présenter quelques-unes des solutions déjà utilisées et de proposer une
classification pouvant répondre à l'originalité de Kangourou.
Précisons d'emblée que le Kangourou des mathématiques est essentiellement
dirigé vers les élèves de l'enseignement scolaire (de l'élémentaire aux
classes terminales des lycées)[1]. Nous en tiendrons compte dans ce texte,
sans pour autant nous interdire des incursions vers les niveaux supérieurs. Devant une telle banque de questions, l'utilisateur pourra vouloir
sélectionner des questions mettant en jeu des contenus identifiés,
susceptibles de contrôler telles capacités particulières, spécifiés pour un
âge ou un niveau scolaire donné, etc...
Plutôt que cette entrée de type scolaire, il pourra préférer une entrée par
les types de traitements susceptibles d'être mis en jeu ou par les
processus mentaux susceptibles d'être activés. Nous qualifierons cette
seconde approche d'entrée par l'activité mathématique.
Chacune des entrées a évidemment son intérêt et, à notre avis, un système
de classification devrait intégrer ces deux entrées.
D'autres critères, transversaux à ces deux entrées méritent une attention
particulière, il s'agit de la difficulté et de la complexité.
L'idée de privilégier un critère particulier, conduisant à un ordre total
des questions, n'a d'intérêt que s'il s'agit de préparer une édition
imprimée de l'ensemble des questions disponibles. On peut, dans ce cas
utiliser plusieurs critères, mais on sera contraint de les emboîter (par
exemple :
[Domaine mathématique [sous domaine [difficulté [type d'activité [...]]]]
Heureusement, le recours à l'informatique permet d'envisager des
classements multicritères ne supposant pas un tel ordre mais autorisant
chacun à privilégier, éventuellement, le ou les critères de son choix,
sans pour autant se désintéresser des autres.
On sait bien, d'autre part, que ces critères ne sont pas univoques et que
certains d'entre eux (par exemple la difficulté) sont carrément subjectifs. Dans cet article, nous allons essayer de clarifier un peu l'ensemble de ces
questions. 2 Une classification des types de problèmes et d'exercices Les problèmes et les exercices sont des questions posées à une audience
plus ou moins large. Les 23 problèmes de Hilbert étaient des questions
destinées aux mathématiciens ; les problèmes publiés chaque semaine dans le
journal le Monde sont destinés à un large public ; les questions du
Kangourou des Mathématiques sont plutôt destinées à des jeunes sous statut
scolaire ; ...
Mais il faut encore compter avec les problèmes et les exercices donnés dans
les examens (fonction contrôle et validation de connaissances), dans les
manuels scolaire (fonction aide à l'apprentissage), dans des études telles
qu'EVAPM (fonction évaluation),...
Une base largement ouverte devra comporter des exercices et des problèmes
de ces divers types et un système de classification devrait permettre de
retrouver rapidement des énoncés répondant à telle ou telle
caractéristique.
Une première classification pourrait donc concerner les types d'énoncés
selon ce qu'ils suggèrent comme rapport qu'ils sont susceptibles d'établir
entre ceux qui s'y soumettent et les mathématiques. Ce rapport concerne-t-
il le côté ludique ou curieux, la volonté de vaincre des difficultés
nouvelles, de se laisser à nouveau étonner par les découvertes que l'on
peut faire ? S'agit-il simplement d'apprendre de nouvelles notions en les
confrontant aux problèmes qui leur donnent sens ? S'agit-il encore, et
simplement, d'entraîner des notions nouvellement ou anciennement étudiées ?
Le livre du problème de L'Irem de Strasbourg (cf. références), reprenant
des idées de Georges Glaeser, propose une classification des énoncés que
nous modifions légèrement ci-dessous.
> Exercices d'exposition (pour acquérir des connaissances)
> Vrais problèmes (exercices de recherche - pour chercher - éprouver -
trouver)
> Exercices d'application (pour éprouver la pertinence et l'efficacité
de notions nouvellement ou anciennement étudiées)
> Exercices d'entraînement (pour entraîner des notions acquises)
> Exercices techniques (pour mener à son terme une tâche que l'on sait
pouvoir mener, mais en faisant preuve de méthode, de soin et de
précision)
> Manipulations (pour anticiper, conjecturer,...)
> Exercices d'évaluation
Cette classification répond à la question du pourquoi : pourquoi proposer
tel ou tel exercice ? Elle ne dit rien de plus sur les autres points
évoqués au premier paragraphe. Mais nous avons là un premier critère de
classification qui nous semble important et qui mérite d'être croisé avec
les suivants. 3 Forme des questions Les questions peuvent être ouvertes, semi-ouvertes ou fermées. Elles
peuvent être à choix multiples ou autres types d'appariement (QCM).
Une QCM peut elle-même être plus ou moins ouverte. La démarche est assez
souvent ouverte, tandis que la réponse peut être strictement fermée
(réponse à choisir parmi 4 ou 5 réponses bien définies). La présence d'une
issue telle que « autre réponse » ou d'autres astuces rédactionnelle permet
d'ouvrir la réponse.
> Questions ouvertes
On considère qu'une question est ouverte lorsque l'énoncé ne
comporte aucune indication sur la réponse à trouver.
Parmi les questions ouvertes, on peut encore distinguer plusieurs
types d'énoncés :
o Problèmes ou questions dont la réponse n'apparaît pas dans
l'énoncé
o « Problèmes ouverts » (au sens donné à ce terme par G. Arsac &
al. - Cf. références)
o Questions type QROC (Questions à Réponses Ouvertes et Courtes)
> Questions semi-ouvertes
La réponse complète n'apparaît pas dans l'énoncé, mais des éléments
sont donnés permettant de situer la ou les bonnes réponses dans un
ensemble limité.
> Questi