NOTIONS DE THERMODYNAMIQUE - corrigé des exercices

NOTIONS DE THERMODYNAMIQUE - corrigé des exercices A. EXERCICES DE BASE
Baromètre de Huygens
. D'après la loi de l'équilibre hydrostatique, on a initialement : p
= ? g h1 + ? g (h2-h1) où h1 et h2 sont les hauteurs des niveaux N1 et N2
par rapport au niveau initial dans la cuve (considéré comme origine fixe
des repérages).
. On a de même finalement : p+?p = ? g (h'1-h') + ? g (h'2-h'1) où
h' est la hauteur du niveau final dans la cuve (h' < 0). On obtient donc
par différence : ?p = ? g [(h'1-h1)-h'] + ? g [(h'2-h2)-(h'1-h1)].
. La conservation des volumes de liquide impose : (h'1-h1) s1 = (h'2-
h2) s2 = -h' S d'où on tire :
?p = (h'2-h2) [? g ([pic] + [pic]) + ? g (1 - [pic])] et
h'2-h2 = [pic].
. Pour le baromètre ordinaire (sans renflement B et sans glycérine) :
h'2-h2 = [pic] et le gain en précision est : [pic] ? 8,5.
Pression dans un liquide et gaz parfait
. Pour une hauteur de gaz hg dans un tube de section S, la pression
est : p = [pic]. Mais pour une dénivellation de mercure hm cette pression
est également : p = p0 - ?g hm (où p0 est la pression atmosphérique) ;
d'où la relation : p0 - ?g hm = [pic].
. De même après enfoncement (pour une pression p'), donc : p0 - ?g
h'm = [pic].
. En éliminant la quantité inconnue [pic] entre ces deux équations :
(p0 - ?g hm) hg = (p0 - ?g h'm) h'g où : h'g = hm + hg - ?h - h'm = 60 +
10 - 20 - 45 = 5 cm = 0,05 m.
. On obtient finalement : p0 = ?g [pic] = 1,0.105 Pa.
Pression dans un liquide et gaz parfait
. Pour le baromètre à mercure, une dénivellation h = 100 mm
correspond à la pression : p1 = ?gh = = 13330 Pa (en notant avec
l'indice 1 la partie du bas et avec l'indice 2 celle du haut).
. La pression exercée par le poids du piston est : pp = [pic] =
?pghp = 1330 Pa ; par conséquent, la pression dans la partie du haut est
: p2 = p1-pp = 12000 Pa.
. Lors du chauffage, les nombres de moles et la section du tube sont
inchangés : [pic] = [pic] et [pic] = [pic]. Par ailleurs : p1-p2 =
p'1-p'2 = pp et (si le tube et le piston ne se dilatent pas) : h1+h2 =
= h'1+h'2.
. On en déduit : p1[pic] = p'2 + pp = p2[pic] + pp puis, en
éliminant les dénominateurs : h'12[ppT] - h'1[(p1h1+p2h2)T'+pp(h1+h2)T] +
[p1h1(h1+h2)T'] = 0. La résolution numérique donne une seule solution
acceptable : h'1 = 50,7 cm ce qui correspond à une montée de 7 mm.
Pression dans un liquide et gaz parfait
. Pour le baromètre à mercure, une dénivellation h = 100 mm
correspond à la pression : p1 = ?gh = = 13330 Pa (en notant avec
l'indice 1 la partie du bas et avec l'indice 2 celle du haut).
. La pression exercée par le poids du piston est : pp = [pic] =
?pghp = 1330 Pa ; par conséquent, la pression dans la partie du haut est
: p2 = p1-pp = 12000 Pa.
. Lors du retournement, les nombres de moles, la température et la
section du tube sont inchangés : p1h1 = p'1h'1 et p2h2 = p'2h'2. Par
ailleurs (la partie 1 étant a la fin en haut) : p1-p2 = p'2-p'1 = pp et
(si le tube et le piston ne se dilatent pas) : h1+h2 = h'1+h'2.
. On en déduit : p2[pic] = p'1 + pp = p1[pic] + pp puis, en
éliminant les dénominateurs : h'12[pp] + h'1[(p1h1+p2h2)-pp(h1+h2)] -
[p1h1(h1+h2)] = 0. La résolution numérique donne une seule solution
acceptable : h'1 = 55,4 cm ce qui correspond à une descente de 54 mm.
Masse de l'atmosphère terrestre
? remarque : l'énoncé considère comme constant le coefficient g de la
pesanteur ; ceci suppose qu'on se limite à des altitudes négligeables en
comparaison du rayon terrestre (z < 60 km environ).
. On peut calculer la pression p(z) par intégration de : dp =
-?(z)g dz en utilisant (d'après la loi des gaz parfaits) : ?(z) = [pic]
= [pic]. Ceci donne : [pic] = -[pic] p(z) puis : p(z) = p0 [pic].
? remarque : pour z ? 60 km, on obtient : [pic] ? 10-3 (avec la
masse molaire M en kg.mol-1 pour compatibilité des unités) donc la quasi
totalité de l'atmosphère est effectivement dans une zone où g peut être
considéré comme constant.
. On en déduit : ?(z) = [pic] = [pic][pic] d'où on tire en
intégrant : mt = [pic] = = 4? [pic] avec z = r-rt.
. Mais au même degré d'approximation que pour g : r ? rt pour la
quasi totalité de l'atmosphère ; donc : mt = 4?rt2 [pic] = 4?rt2 [pic]
[pic] = 4?rt2 [pic] = 5,3.1018 kg.
Pression d'un pneu
. Si on considère l'air comme un gaz parfait, la pression dans le
pneu est proportionnelle à la température et l'écart relatif de pression
est le même que celui de la température.
. Le passage de -10 °C à 30 °C correspond à un écart relatif de
température : [pic] ? [pic] ? 0,15 soit une variation ? 15 % et qui
impose donc une correction de la pression.
Calcul d'une fuite
+ remarque : on suppose que la fuite est assez petite pour que la
distribution statistique des vitesses soit toujours conforme au facteur de
Boltzmann [pic], sinon tous les calculs basés sur les moyennes seraient
modifiés.
. Les atomes de vitesse vx > 0 qui viennent de la gauche et
atteignent s pendant une durée dt sont ceux qui sont distants d'au plus
dx = vx dt. Ceci est indépendant des autres composantes du mouvement ; on
peut donc raisonner comme si tous les constituants se déplaçaient selon Ox.
. Leur nombre est en moyenne : dN' = = [pic][pic] s
dt. Par ailleurs, d'après la symétrie, calculée sur les
vitesses positives correspond à calculée sur l'ensemble des
vitesses.
. De même, les atomes de vitesse vx < 0 qui viennent de la droite
et atteignent s pendant une durée dt sont ceux qui sont distants d'au
plus dx = |vx| dt.
. Leur nombre est en moyenne : dN" = = [pic][pic] s
dt. Par ailleurs, d'après le facteur de Boltzmann, la moyenne des
vitesse ne dépend que de la température, donc elle est la même des deux
côtés.
. Au total (compte tenu de V1 = V2, noté V) : dN2 = -dN1 = dN'-dN"
= (N1 - N2) [pic] dt.
. Puisque N = N1 + N2 est constant : N1 - N2 = N - 2N2 ; on
obtient donc : [pic] = [pic] en notant ? = [pic]. On en tire par
intégration, compte tenu des conditions initiales : N2(t) = [pic].(1 - e-
2t/?).
? remarque : on doit retrouver qu'à la limite le gaz est réparti
uniformément dans les deux récipients.
. D'après la proportionnalité dans la loi des gaz parfaits : p2(t) =
[pic] p = [pic].(1 - e-2t/?). Par suite, on obtient p2(t) = p' = [pic]
pour t = ? ln[pic].
. Pour calculer ?, on ne connaît pas mais on peut en estimer
l'ordre de grandeur, comparable à la vitesse quadratique moyenne :
? vx* = [pic] = [pic] = 280 m.s-1 ; ceci donne : ? ? 7,2.106 s et
finalement : t ? 8,0.105 s ? 9,2 jours.
? remarque : le calcul complet de la moyenne (pondérée par le facteur
de Boltzmann correspondant) donne : = [pic] avec [pic] = [pic]
= [pic] ; en outre, l'intégration en coordonnées polaires donne : [pic]
= [pic][pic] = [pic][pic] = = [pic][pic] = [pic][pic] = [pic] et donc :
= [pic] = 225 m.s-1, ce qui est bien de l'ordre de grandeur
envisagé ; ceci donne : ? = 9,0.106 s et t = 10,0.105 s ? 11,6 jours.
Pression de vapeur à l'équilibre de changement d'état
+ remarque : pour mesurer avec précision la pression de vapeur de Be,
le dispositif doit être placé dans une enceinte à vide ; la pression
extérieure est donc supposée nulle ; on suppose en outre que la fuite est
assez petite pour que la distribution statistique des vitesses soit
toujours conforme au facteur de Boltzmann [pic], sinon tous les calculs
basés sur les moyennes seraient modifiés.
. Les atomes de vitesse vx > 0 qui viennent de la gauche et
atteignent s pendant une durée dt sont ceux qui sont distants d'au plus
dx = vx dt. Ceci est indépendant des autres composantes du mouvement ; on
peut donc raisonner comme si tous les constituants se déplaçaient selon Ox.
. Leur nombre est en moyenne : dN = = [pic][pic] s
dt. Par ailleurs, d'après la symétrie, calculée sur les
vitesses positives correspond à calculée sur l'ensemble des
vitesses.
. Pour calculer [pic], on ne connaît pas mais on peut en
estimer l'ordre de grandeur, comparable à la vitesse quadratique moyenne :
? vx* = [pic] = [pic] = 1190 m.s-1.
. L'équilibre de changement d'état maintient la pression constante en
compensant la fuite par sublimation du solide (on néglige la variation du
volume de gaz due à la variation du volume du solide). On peut donc écrire
: p = [pic] = [pic][pic] = [pic][pic] ? [pic][pic] = 2,92 Pa.
? remarque : le calcul complet de la moyenne (pondérée par le facteur
de Boltzmann correspondant) donne : = [pic] avec [pic] = [pic]
= [pic] ; en outre, l'intégration en coordonnées polaires donne : [pic]
= [pic][pic] = [pic][pic] = = [pic][pic] = [pic][pic] = [pic] et donc :
= [pic] = 950 m.s-1, ce qui est bien de l'ordre de grandeur
envisagé ; ceci donne : p = 3,66 Pa.
Température Fahrenheit
1. . En écrivant la transformation affine : tC = A tF + B (où tC et tF
ne désignent pas les températures, mais les valeurs numériques
correspondantes) on obtient : 32 A + B = 0 et 212 A + B = 100 d'où on
tire : A = [pic] et B = -[pic] puis : T = 451 °F ? 233 °C.
2. . La condition cherchée peut s'écrire : tC = tF = [pic] = -40 et la
température correspondante est d