Description phénoménologique de la plasticité - Exercices corriges

CHAPITRE I lois de comportement I Materiaux rigides parfaitement plastique et élastiques
parfaitement plastiques
I.1. Notion de seuil de plastification
I.1.1 Courbe contrainte déformation
Lors d'un essai de traction (Figure 1a) la plupart des matériaux
présentent un domaine élastique caractérisé par une relation de
proportionnalité entre la contrainte et la déformation. Si la contrainte
est supprimée le matériau revient à sont état naturel non déformé. [pic][pic]
Figure 1 a Déformation d'une éprouvette en traction simple : (A) état non
contraint et non déformé ; (C) état déformé au delà de la limite
d'élasticité. La déformation totale est la somme de la déformation
plastique et de la déformation élastique ; (D) Etat non contraint, mais
déformé. La déformation totale est égale à la déformation plastique. Figure 1 b : Courbe contrainte déformation correspondant à l'expérience
montrée Figure 1a. ?=F/S. Sur la Figure 1b le point A correspond à l'état non déformé et non
contraint ; le point B correspond à la limite d'élasticité. Tout chargement
atteignant ce niveau de contrainte conduit à une déformation permanente ou
déformation plastique. La contrainte est définie comme le rapport de la
force sur la surface actuelle (?=F/S). La déformation totale peut être
définie comme suit [pic]. La déformation plastique est donnée par [pic]. La
déformation élastique correspond à la partie récupérée lors de la décharge
(déformation à l'état C - déformation à l'état D). [pic]. Ces définitions
respectent la décomposition de la déformation en partie élastique
(réversible) et partie plastique (irréversible).
[pic] (1) Dans le cas général d'un chargement tridimensionnel, cette
décomposition est généralement admise comme hypothèse.
I.1.2 Valeur de la limite d'élasticité Le niveau de contrainte observé à la plastification des matériaux
métallique ?y0=Re est de l'ordre de E/500 (E=210 GPa et Re=400MPa pour un
acier déformé à température ambiante).
I.1.3 L'expérience de von Karman Von Karman a déformé des blocs de marbre en compression simple et en
compression noyés dans un fluide. Il a constaté que la courbe contrainte
déformation n'est pas affectée par la pression du fluide. Sous chargement
multiaxial, la contrainte de plastification est indépendante de la
pression.
I.2. Mécanisme de la déformation plastique Dans ce cours, nous ne rentrerons pas dans les détails de la physique
de la déformation plastique. Généralement, une description purement
phénoménologique est suffisante. Cependant, l'interprétation succincte des
expériences précédentes, doit nous permettre d'énoncer toutes les règles
particulières à respecter un modèle décrivant le comportement d'un matériau
en déformation plastique. Si l'on déforme un monocristal parfait, le niveau de contrainte
atteint E/10 (cours de dislocations). E est le module de Young du matériau.
La limite d'élasticité réelle beaucoup plus faible dans la plupart des
matériaux semble indiquer la présence de défauts dans ces matériaux. Dans
un matériau métallique, on observe effectivement des demi plans atomique
manquant (dislocations). Pour déformer le matériau suivant la ligne AA' il
suffit de rompre quelques liaisons atomiques seulement (Figure 2) au
voisinage de la dislocation. La partie supérieure glissera par rapport à la
partie inférieure. [pic][pic][pic]
Figure 2 : Représentation schématique du mécanisme de déformation (a) d'un
monocristal parfait, (b) et © d'un monocristal avec dislocation.
L'expérience de von Karman semble confirmer de façon macroscopique
que le matériau se déforme par glissement de plans atomique et que par
conséquent la pression n'a pas d'influence sur la plastification du
matériau. La variation de volume due à la déformation plastique est nulle.
Lorsque l'on déforme un matériau et que la contrainte est supprimée, il
subsiste des déformations résiduelles, mais le volume n'a pas changé. I.3. Critères de plastification de Tresca et de von Mises
I.3.1. Critère de Tresca Tresca a postulé que la plastification apparaît si la contrainte de
cisaillement maximale atteint une valeur limite.
Démarche
Nous nous basons sur les résultats de l'essai de traction simple pour
fixer la valeur maximale admissible de la contrainte de cisaillement. La
valeur maximale admissible de la contrainte de cisaillement est une
caractéristique du matériau. Cette valeur ne dépend pas de l'état de
contrainte. Pour fixer la valeur maximale admissible de la contrainte de
cisaillement, nous nous basons sur les résultats obtenus en traction
simple. Une fois cette valeur maximale admissible déterminée, nous
appliquerons le critère de Tresca pour des chargements plus complexes. Traction uniaxiale : contrainte de cisaillement maximale admissible D'après les résultats de l'essai de traction uniaxiale, nous savons
déjà que sous traction pure, la contrainte appliquée est plus petite ou
égale à la limite d'élasticité Re. La contrainte de cisaillement maximale
vaut la moitié de la contrainte appliquée. Donc, la contrainte de
cisaillement ? maximale admissible vaut la moitié de la contrainte de
traction simple.
[pic] (2) Critère de Tresca en chargement multiaxial Appliquons maintenant le critère de Tresca à des chargements biaxiaux
(Figure 3a). Considérons un disque mince en chargement biaxial
(?zz=?xy=?xz=?yz=0). Les contraintes ?xx et ?yy peuvent varier
indépendamment. Nous voudrons connaître le domaine admissible pour ces
contraintes. En chargement biaxial, la contrainte de cisaillement maximale
est donnée par la différence entre la plus grande contrainte principale et
la plus petite contrainte principale. En effet, les figures 3b et 3c
rappellent la variation de la contrainte avec l'orientation de la facette
par rapport aux directions principales. Donc pour ?yy =0, ?xx peut varier
entre -Re et +Re. De même pour ?xx = 0, ?yy peut varier entre -Re et + Re.
Dans le premier quadrant
?xx=Re, ?zz=0,0