Enseigner les nombres négatifs au collège - Educmath

Enseigner les nombres négatifs au collège Groupe Didactique des mathématiques- IREM d'Aquitaine -AMPERES-INRP
A. Berté - C.Desnavres - J.Chagneau - J.Lafourcade - L.Conquer -
M.C.Mauratille- C.Sageaux - D.Roumilhac
Nous ne disons pas qu'il s'agit d'enseigner les nombres relatifs mais
plutôt les nombres négatifs. L'expression « nombres relatifs » pourrait
laisser croire que nous nous limitons aux entiers et que nous allons
introduire des nouveaux entiers aussi bien positifs que négatifs. Dans les
classes de 5ème et 4ème les élèves connaissent assez bien les décimaux. Le
professeur peut commencer à introduire seulement les entiers négatifs, puis
passer progressivement aux décimaux négatifs qui viennent compléter les
décimaux déjà connus et permettre la mise en place des opérations dans
l'ensemble des décimaux. Il s'agit de confondre dès le début les décimaux
positifs avec les nombres connus et d'adjoindre simplement les nouveaux
nombres négatifs. Ceci étant notre point de départ, il s'agit maintenant de savoir quelle(s)
question(s) poser aux élèves pour donner du sens à l'apprentissage.
Sommaire I. Quel contexte choisir pour poser la question ? 4
1) Un contexte « concret » 4
a) Les obstacles épistémologiques 4
i) Premier obstacle : donner du sens à des quantités négatives
isolées et les manipuler 4
ii) Deuxième obstacle : renoncer au zéro absolu et unifier la droite
numérique en y plaçant un zéro commun aux positifs et aux négatifs 4
iii) Troisième obstacle : vouloir donner un sens concret aux êtres
numériques 5
iv) Quatrième obstacle : impossibilité de trouver un modèle concret
unifiant permettant d'illustrer à la fois les deux opérations,
addition et multiplication 5
b) Le contexte de la droite orientée et des déplacements sur une
graduation 6
2) Un contexte interne aux mathématiques 8
a) Première possibilité 9
b) Deuxième possibilité 9
i) Action de deux variations, considérées comme des opérateurs
additifs 9
ii) Le calcul peut se faire simplement 9
iii) Conclusion 10
3) Nos choix didactiques 10
a) Donner aux négatifs un statut de nombre 10
b) Introduction des nombres négatifs par la résolution d'équations
10
c) Prolongement de la structure de l'ensemble des nombres positifs
11
d) Situation traitée en classe 11
4) Conclusion 12
II. Détail de séquences en classe pour l'introduction des relatifs en
5ème 13
1) Introduction des nombres négatifs 13
a) Etape1 : Compléter les pointillés 13
b) Exercice : Ecrire plusieurs égalités à trous ayant -2 comme
solution 14
c) Etape 2 : Opposés 15
d) Exercices 15
i) Effectuer les soustractions suivantes 15
ii) Effectuer les additions des nombres relatifs suivants 15
2) Addition de nombres relatifs, généralisation 15
a) Le professeur leur pose donc la question suivante 15
b) Une situation dans un contexte concret 16
3) Graduation, comparaison, repérage 17
a) Etape 1 17
b) Etape 2- Le nombre caché 17
4) Introduction de la soustraction de deux relatifs. 18
a) On donnera les trois colonnes séparément 18
b) Application : compléter 19
i) Remarque 19
ii) Première possibilité 19
iii) Deuxième possibilité 20
5) Sommes algébriques et simplification d'écriture 20
a) La simplification des écritures pose problème 20
b) Les situations proposées aux élèves 21
i) Sommes de plusieurs relatifs 21
ii) Suites d'additions et de soustractions 21
6) Notation -x 21
III. Détail de séquences en classe pour l'introduction des relatifs en
4ème 23
1) Séquences en classe pour le produit de deux nombres négatifs 23
a) Situation 1 23
i) Etape 1 : Le professeur propose aux élèves de compléter les
égalités suivantes 23
ii) Etape 2 : Puis le professeur demande de calculer 23
iii) Etape 3 : Le professeur propose une multiplication 24
iv) Etape 4 : Donner le résultat de [pic] 24
b) Situation 2 : Multiplication par (-1) et nombre opposé 26
i) Etape 1 26
ii) Etape 2 : Démonstration 26
iii) Etape 3 : illustration géométrique 27
iv) Exercices 27
2) Quotient de deux nombres relatifs 30
a) Etape 1 30
b) Etape 2 31
c) Etape 3 32
I. Quel contexte choisir pour poser la question ?
1) Un contexte « concret » La notion de nombre négatif semble familière car nos élèves rencontrent ces
nombres dans leur environnement proche et dans la vie courante du moins
pour les entiers (températures, chronologie en histoire, ascenseurs ....
etc..).
Dans quelle mesure le professeur peut-il s'appuyer sur ces connaissances
culturelles pour fonder un enseignement des entiers relatifs ? Examiner l'histoire de la pensée est utile avant d'enseigner les nombres
négatifs à double titre :
. pour préciser les obstacles dans la construction du concept : les
difficultés ont été nombreuses et l'émergence des nombres négatifs
en tant que nombres à part entière a été longue et difficile. La
référence à un modèle concret s'est révélée être un obstacle à la
compréhension de ce qu'est un nombre négatif.
. pour chercher comment introduire les nombres négatifs en 5ème par
une tâche mathématiquement significative donnée aux élèves a) Les obstacles épistémologiques[1]
i) Premier obstacle : donner du sens à des quantités négatives isolées et
les manipuler Les nombres négatifs sont apparus dès le premier siècle en Chine (époque
des Han) pour les besoins de la comptabilité avec la manipulations de
jonchets, en couleur pour les nombres positifs, et remplacés par des
jonchets noirs dès que les négatifs apparaissent. Jusqu'au XVIIIe siècle en
Europe, on ne parle pas de «nombres négatifs» mais de «quantités
négatives».
Les nombres ne peuvent être que positifs, et les quantités négatives sont
définies par opposition aux quantités positives. Carnot (1753-1823) dit : « Pour obtenir une quantité négative isolée, il
faudrait retirer une quantité effective de zéro, quelque chose de rien :
opération impossible. Comment donc concevoir une quantité négative
isolée ? » et il conclut : « L'usage des nombres négatifs conduit à des
conclusions erronées.»
ii) Deuxième obstacle : renoncer au zéro absolu et unifier la droite
numérique en y plaçant un zéro commun aux positifs et aux négatifs Comme on l'entend dans la phrase de Carnot, un deuxième obstacle vient
interférer avec le premier : l'obstacle du zéro absolu en dessous duquel il
n'y a rien. On décrit la droite comme la juxtaposition de deux demi-
droites opposées portant des symboles hétérogènes, avec des signes (-) du
côté des négatifs et sans signes du côté des positifs. En géométrie analytique Descartes s'arrange pour choisir les axes de façon
à n'avoir que des points dont les coordonnées sont positives. Il faudra
attendre le XVIIIe siècle pour que Maclaurin, et surtout Euler, expliquent
comment l'on peut prendre des coordonnées négatives. On manipule peu de quantités négatives pour les sciences. En 1715,
Fahrenheit conçoit un thermomètre qui évite les températures négatives. En
1741 Celsius (1701-1744) fait construire son thermomètre à mercure avec 0°
pour la température de solidification et 100° pour la température
d'ébullition de l'eau, mais il faudra attendre le début du XIXème siècle
pour qu'il entre dans les m?urs.
iii) Troisième obstacle : vouloir donner un sens concret aux êtres
numériques Pendant des siècles, les nombres négatifs apparaissent comme auxiliaires de
calcul. De ce fait les mathématiciens reconnaissent bien les négatifs comme
des nombres mais ils en ont une pratique « clandestine » qui précède de
loin leur compréhension. Ainsi les énoncés et les solutions des problèmes
ne comportent que des nombres positifs. Le perse Al Khwarizmi (780-850) accepte les termes négatifs dans les
équations mais il s 'en débarrasse au plus vite.
Les nombres négatifs apparaissent en Occident par la résolution
d'équations. . Chuquet (1445-1500) est le premier à isoler une quantité négative
dans l'un des membres d'une équation.
. Cardan (1501-1576) est un des premiers à admettre l'existence de
solutions négatives.
. En 1591, Viète (1540-1630) pose les bases du calcul littéral, mais
les lettres ne représentent que des quantités positives et les
solutions négatives des équations ne sont pas admises.
. Presque jusqu'au XXe siècle, lorsqu'on aboutit à une solution
négative, on conseille de réécrire le problème de manière à
l'éviter.
iv) Quatrième obstacle : impossibilité de trouver un modèle concret
unifiant permettant d'illustrer à la fois les deux opérations, addition
et multiplication Clairaut (1713-1765) exprime dans « Eléments d'algèbre » la nuance entre le
signe d'un nombre et celui de l'opération addition ou soustraction.
Ainsi progressivement les règles de calcul sur les nombres négatifs vont se
mettre en place mais la règle de multiplication de deux nombres négatifs
pose de nombreuses difficultés. En effet pour la cohérence des calculs il y
a nécessité d'admettre que le produit de deux négatifs est positif, mais
cette règle heurte le bon sens. Stendhal dans son autobiographie (1835) é