Pourquoi enseigner le triangle - Educmath

Pourquoi enseigner le triangle ?
I. Réflexions générales 1
II. Question interne aux mathématiques dans les AER sur le triangle 4
A. Questions concernant les triangles: 4
B. Questions concernant la similitude: 5
III. Trois propositions de situation pour enseigner la détermination des
triangles en 5ème 5
A. Utiliser le triangle pour trouver une mesure inaccessible 5
1. Problème concret : détermination d'une distance inaccessible 5
2. Problème mathématique : comment déterminer un triangle 5
B. Faire construire des triangles 6
C. Situation de communication de la TSE 8
IV. Engager les élèves dans une discussion, en référence à la QFPG sur la
détermination des triangles: 9
V. Motiver l'étude 12
A. Une source de questions : Comment atteindre une mesure inaccessible?
12
1. Exemple 1 12
2. Exemple 2 13
3. Exemple 3 13
B. Introduire un concept mathématique nouveau 14
C. Différences entre les types de questions dans leur rapport avec la
« réalité » 15
1. Modélisation, gestion en classe 15
2. Questions non résolues 16
D. Où et comment utiliser le problème « réel » de distance inaccessible?
16
1. En application 17
2. En introduction 17
VI. Conclusion : 18
Réflexions générales
Notre réflexion sur l'enseignement au collège nous a amenés à chercher une
cohérence dans les différentes parties du programme concernant le triangle.
Pourquoi faire construire des triangles en 6ème et en 5ème ? Comment donner
du sens à ces activités ? Quels liens fait-on avec l'inégalité
triangulaire, la somme des angles d'un triangle, le cosinus d'un angle
aigu, la propriété de Thales ? ... Les objectifs de l'équipe de l'IREM de Bordeaux dans le cadre du travail
avec AMPERES sont d'aider les professeurs de mathématiques non pas à
construire seulement des séquences de classe isolées, mais à construire des
suites de situations d'enseignement[1] organisées en parcours[2] pertinents
qui partent de questions vives. Il s'agit de proposer ainsi un enseignement
ayant un sens pour les élèves. Nous avons entrepris de le faire pour le
collège et pour la seconde à l'IREM d'Aquitaine car nous avons constaté un
manque de documents professionnels pour les enseignants de mathématiques
dans ces niveaux. Nous présentons dans ce texte des réflexions générales de notre équipe sur
diverses AER (Activité d'Etudes et de Recherche) présentées dans l'ensemble
du travail d'AMPERES et concernant le triangle. Il est possible
d'interrompre par moment, la lecture de ce texte, pour consulter le détail
des AER proposées dans d'autre document présent sur ce site. Pour nous les questions vives motivant l'étude du triangle en cours de
mathématiques sont à trois niveaux : 1- En se limitant au chapitre des mathématiques traitant du triangle, le
géomètre mathématicien pose de manière théorique la question de la
détermination d'un triangle à une isométrie près, question qui se prolonge
par sa détermination à une similitude près. Cette question fait l'unité
entre les thèmes des AER proposées dans ce parcours sur le triangle. Mais
comment transmettre cette question aux élèves de sorte qu'ils puissent s'y
intéresser ?
Les programmes demandent aux professeurs de faire construire des triangles
aux élèves. Mais la question mathématique sous-jacente est plus vaste :
Quelles sont les données nécessaires et suffisantes et les conditions sur
ces données pour obtenir un triangle à une isométrie près ou à une
similitude près ?
Poser des problèmes de constructions permet d'enrichir la réflexion en
faisant appel aux propriétés des triangles. Mais cela ne permet toujours
pas aux élèves de comprendre les raisons pour lesquelles ils font ce
travail. En effet pour tracer un triangle satisfaisant à certaines
conditions sur une feuille de papier, les élèves peuvent gommer et
recommencer, de sorte à arriver par essais successifs à un tracé
satisfaisant avec une approximation qui de toutes façons ne peut être
évitée au niveau des mesures, de l'épaisseur du trait... En se plaçant dans
une problématique pratique, par exemple ici pour réussir un dessin dans un
micro-espace[3], les élèves ne peuvent comprendre pourquoi on a inventé la
géométrie théorique. 2- L'ingénieur et l'architecte se posent la question de la stabilité d'une
construction. Au Séminaire de Royaumont où, il y a 50 ans, des
mathématiciens décidaient de la réforme dite des « maths modernes », Jean
Dieudonné venait de dire : « A bas Euclide, à bas le triangle ! » quand
Emma Castelnuovo eut le courage de lui objecter : Mais Monsieur le
professeur sans le triangle, la table sur laquelle repose les feuilles de
votre discours s'effondrerait ! (il s'agissait d'une planche posée sur des
tréteaux). Son courage pour contredire l'éminent mathématicien avait paru
tellement extraordinaire qu'il donna lieu à une légende, son intervention
se transformant dans la rumeur en : « Vous les Français, sans le triangle,
votre Tour Eiffel n'existerait pas[4] ! »
Lors d'une leçon en 5ème où il s'agissait de construire un triangle
connaissant la mesure de ses trois côtés, un élève a pris la parole
spontanément pour dire ceci : « c'est parce qu'un triangle est déterminé
par ses trois cotés qu'il est stable ! ». Nous lui avons demandé s'il
disait cela parce qu'il l'avait appris d'un architecte de son entourage. Il
nous a répondu : « non, mais je le sais, car c'est moi qui veux devenir
architecte »[5].
Pourquoi ne pas s'en inspirer pour faire fabriquer à nos élèves un
triangle, un tétraèdre, un rectangle et un parallélépipède avec des tiges
de meccano[6], et leur faire éprouver ce qui est le moins facile à déformer
? Ce pourrait être une première rencontre avec le triangle !
Au niveau d'un espace plus grand que le micro espace de la feuille de
papier (méso-espace) la détermination du triangle prend un certain sens car
la modélisation permet de faire des choix techniques : il faut prévoir
avant de réaliser une construction difficile. La méthode par essais-erreurs
est exclue. Mais comment mettre nos élèves dans une situation de
modélisation qui leur pose vraiment question ? 3- En se posant la question de la modélisation de notre espace, les
premiers mathématiciens ont inventé la géométrie plane et ont permis de
ramener ce qui se passe en situation réelle à la taille de la feuille de
papier. Pour se faire, il faut admettre sans trop de distorsions que la
surface que nous voulons étudier est plane. Il est intéressant que les
élèves puissent voir le plan comme une sphère dont le rayon est devenu
infini, pour bien comprendre que pour étudier certaines relations
géométriques au sol, il est pratique de considérer à notre échelle que le
rayon de la terre, de l'ordre du macro-espace pour nous, est infini (de
même que nous admettons que les rayons du soleil sont parallèles pour
mesurer des objets très haut en mesurant leurs ombres). Dans ce cas, la
nécessité de la géométrie théorique apparaît clairement. L'espace étant
trop grand pour être directement accessible, les propriétés de la géométrie
permettent de calculer des dimensions qui ne peuvent être obtenues de
manière pratique (mesure du rayon de la terre, par exemple). C'est pour
cela que la mesure d'une distance inaccessible en imaginant un triangle au
sol (voir une des AER proposées) a une importance particulière dans la
construction du sens de la question de la détermination des triangles. La
similitude qui permet de ramener ce triangle à des dimensions qui le font
contenir dans la feuille de papier est tout aussi importante, car c'est
dans cet espace que l'on travaille en classe. Notre réflexion précédente a suivi ce qu'on pourrait imaginer comme une
sorte de chemin « ascendant ». Nous sommes partis d'un tracé de triangle
dans la feuille de papier qui a priori ne justifiait pas une recherche
théorique pour nos élèves. En s'élevant dans le niveau des questions dans
un espace de plus en plus grand qui, ce faisant, oblige à abandonner la
problématique pratique pour la problématique de modélisation, nous avons pu
retrouver une « question vive ». Nous avons pu ensuite la transposer en
revenant à une question dans la feuille de papier pour nos élèves, mais
cette fois en ayant retrouvé le sens. Cette transposition[7] se fait en
organisant une situation d'enseignement de façon spécifique en classe. La difficulté du professeur est de trouver des situations réalisables en
classe, où la problématique pratique est exclue, et conduire ainsi l'élève
à se placer dans une problématique de modélisation.
Pour pallier cette difficulté nous proposons aux élèves un triangle qui
leur est inaccessible et nous leur demandons de trouver certaines de ses
mesures en travaillant sur une feuille de papier.
Question interne aux mathématiques dans les AER sur le triangle Il existe une QFPG qui motive l'étude de la détermination des triangles et
qui est commune aux différentes AER proposées dans ce parcours que nous
formulons ainsi : Quelles données est-il nécessaire et suffisant de connaître sur les 6
éléments d'un triangle (angles et côtés) pour déterminer ce triangle à une
isométrie près, à une similitude près ? [8]. C'est une grande question qui se pose dès la 5ème et qui se prolonge
pendant toute la 4ème , avec les théorèmes de Thalès et de Pythagore et le
cosinus. Par exemple pour le théorème de Thalès, les questions sous-jacentes un
triangle est-il déterminé par deux angles ?, par 3 angles ? permette