Examens corrigés 1. Examen 1 - Département de Mathématiques d
Exercice 1. Soit un ouvert connexe non vide ? ? C, soit z0 ? ?, et soit une fonction f ? O(?\{z0}) holomorphe en-dehors de z0. On suppose que f est bornée au
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Examens corrigés
FrançoisDEMARÇAY
Département de Mathématiques d"Orsay
Université Paris-Saclay, France
1. Examen 1
Exercice 1.Soit un ouvert connexe non vide!C, soitz02!, et soit une fonction
f2O(!nfz0g) holomorphe en-dehors dez0. On suppose quefest bornée au voisinage de z0, au sens où il existe un rayonr >0assez petit avecD
normalement convergente sur les compacts deDR(w), avec des coefficients donnés par la
formule :
sont situés sur le diamètre du cercleCr(z0)qui contient le segment[z0;z1]. Le contour;"
demandé se représente alors comme suit.
(e)Comme la fonction est holomorphe dans!nfz0g, la fonction z1est
holomorphe dans un voisinage ouvert de donc le théorème de Jordan-Cauchy
offre effectivement l"annulation :
0 =Z
(g)Ensuite,enfaisanttendre"!0,laquestion(c)adéjàfaitvoirquelatroisièmeintégrale
s"évanouit, tandis que la deuxième, sur un cercle centré enz1qui s"effondre surz1, tend,
comme le cours l"a plusieurs fois démontré, versf(z1), d"où la formule demandée :
