Corrigé de l'examen du 25/04/2019 (durée 2h)

.La série de terme généralujest donc majorée par une somme de Riemann convergente
(puisque d"indice2). Elle est donc convergente de limite?T,??. Comme chaqueTnest
linéaire en?, il en va de même pour la limite
?T,??= limn→+∞n
?
j=1u
j
qui est ainsi une forme linéaire surD(R). De plus, pour tout compactK?Ret toute
fonction test?? D(R)dont le support est contenu dansK, on a
|?T,??| ≤Csup
x?K|??(x)|, C:=∞?
j=11j
2,
ce qui indique queTest d"ordre inférieur à un.
2) Déterminer le support deT.
Soit?j? D(R)vérifiant (pourj≥2)
?
j?1j
2?
= 1,supp?j??1(j+ 1)2,1(j-1)2?
.
On obtient alors
?T,?j?=?j?1j
2?
= 1.
Comme le support deTest un fermé, cela implique
˜
K:={0} ??
?
?∞
?
j=11j
2?
?
?
?suppT .Soit alors?? D(R)vérifiantsupp?∩˜K=∅. Comme?Tn,??= 0, on récupère à la limite
?T,??= 0ce qui donne suppT=˜K.
3) En testantTcontre?p(x) :=p2xχ(p2x)pourp?Netχ(·)bien choisi, prouver queT
est une distribution d"ordre un.
On choisit pourχ(·)une fonction plateau qui est de classeC∞surR, qui est positive, qui
vaut1sur]-1,1[et0pour2≤ |x|. On a alors
supp?p?]-2,2[,sup
x?R|?p(x)|= sup
y?R|yχ(y)|=Cχ