Question X

1ère candidature : Option Sciences économiques et de gestion, option
Sciences politiques et sociales
Examen de probabilités
Le 27 mai 2000 NOM : PRENOM : OPTION : Nombre de feuilles de brouillon : Consignes : 1. Tout symbole doit être clairement défini. Un symbole non défini ne sera
pas considéré comme valide dans les réponses. 2. Les réponses doivent se trouver sur le présent questionnaire, dans les
zones prévues à cet effet 3. Les brouillons doivent être remis en étant identifiés comme tels et
portant vos nom et prénom. 4. Le détail de votre démarche est toujours utile pour le correcteur. 5. Les calculs seront faits en limitant le nombre de décimales à 8 chiffres
significatifs. 6. Une copie ne sera corrigée que si toutes les pages du présent
questionnaire correctement identifié sont remises dans l'ordre de leur
numérotation. N.B. Le brouillon n'est pas lu systématiquement. Il n'en sera tenu compte
éventuellement que dans le cas d'un doute concernant une réponse rédigée
dans les zones ci-après.
QUESTION 1 Vous venez d'acheter le dernier modèle d'auto de la firme WMB, réputée pour
la qualité de ses produits. De nouveaux systèmes antivol sont montés sur tous les nouveaux modèles. Ils
sont composés d'un transpondeur télécommandé et alimenté en courant
électrique par la pile de l'émetteur de la clef de contact et d'un appareil
de reconnaissance vocale d'un genre nouveau qui complète le circuit quand
le mot adéquat est prononcé correctement par les personnes autorisées. La politique de qualité totale de la firme WMB impose le remplacement
préventif individuel de la pile de la télécommande après 3 ans
d'utilisation. Les statistiques de la firme indiquent cependant que, malgré
cette politique, 4 piles sur 1.000 s'usent complètement avant leur
remplacement préventif. De plus, le système de reconnaissance vocale, qui
est très récent, n'a pas fonctionné (alors qu'il l'aurait du) dans 1 cas
sur les 5.000 cas testés pendant trois ans durant le programme de test du
système qui cependant n'a pas été modifié avant son installation en série.
On a pu établir que les pannes de ces systèmes complémentaires sont
indépendantes l'une de l'autre.
Il est absolument nécessaire que le transpondeur et la reconnaissance
vocale fonctionnent simultanément pour que la voiture soit utilisable. a. Quelle est la probabilité, à chaque tentative de démarrage de votre
véhicule, que vous deviez utiliser les transports en commun ou faire
appel à un service de dépannage suite à une défaillance du système
antivol ?
b. Sachant que, durant la première année d'existence de ce système antivol,
WMB en a équipé 200.000 véhicules neufs vendus à des clients individuels
distincts, combien de ces clients peut-on raisonnablement s'attendre à
voir leur système antivol les empêcher de démarrer au moins une fois dans
les trois premières années d'utilisation de leur nouvelle auto ?
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|a) Soit C = « Le transpondeur fonctionne » et V = « Le système de |
|reconnaissance vocale fonctionne ». |
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|On sait que [pic]. sur une période de trois ans |
| |
|La voiture ne démarre pas si le transpondeur est en panne ou |
|(inclusif) si la reconnaissance vocale ne fonctionne pas. Cet |
|événement peut s'écrire : [pic]. |
| |
|Donc sur trois ans, la probabilité que le système ne fonctionne pas |
|peut se calculer comme : |
|[pic] |
| |
|b) Sur 200.000 voitures neuves et dans les trois ans, on peut penser |
|raisonnablement que 200.000 x 0,0041992, soit 839,84 ( 840 |
|propriétaires de voitures auront des raisons d'être très mécontents du|
|système de protection de leur WMB. |
QUESTION 2 L'entreprise NEW GEPARD emboutit des pièces de précision. Chacune de ses
lignes de production est composée de plusieurs machines, avec en bout de
ligne, une presse hydraulique qui travaille en continu 24h/24. Le programme
de maintenance de la presse prévoit l'échange standard de cette dernière si
le nombre de pièces embouties défectueuses observé en une heure excède le
double de l'espérance mathématique de ce même nombre en une heure de
fonctionnement. La presse hydraulique emboutit 100 pièces à l'heure. Le contrôle de qualité
a observé, sur longue période, qu'en moyenne 1 pièce sur 100 se
positionnait mal dans les moules et donc était mal emboutie, ces mauvais
emboutissages étant distribués aléatoirement dans le temps. a) Pour toute heure continue de travail de la machine , quelle est la
probabilité que le service maintenance doive procéder à un échange
standard ?
b) La firme possède 10 lignes de production, toutes identiques, à combien
d'échanges standard le service maintenance doit-il s'attendre par mois si
chacune des 10 lignes travaille 200 heures par mois ?
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|Soit X, le nombre de pièces mal embouties en une heure de |
|fonctionnement de la presse hydraulique. |
| |
|X~Bi(100, 0,01). puisque chaque emboutissage d'une pièce peut être |
|considéré comme une épreuve de Bernouilli (de paramètre 0,01, la |
|probabilité d'un mauvais emboutissage), et qu'une heure de travail de |
|la presse comporte 100 épreuves successives de ce type. |
| |
|L'espérance mathématique d'une variable aléatoire suivant une loi |
|binomiale est égale au produit de ses paramètres : 100 (épreuves de |
|Bernouilli) multiplié par 0,01 (la probabilité de succès (d'un mauvais |
|emboutissage)) = 1. Donc le double de cette espérance = 2 pièces mal |
|embouties. |
| |
|Donc on procédera à un échange - standard de la presse si on observe |
|plus de 2 pièces mal embouties en une heure de travail, donc si X > 2. |
| |
|On cherche P(X>2) = 1- P(X=0) - P(X=1) - P(X=2)= 1 - F(2) = |
| |
|[pic] |
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|Donc on peut s'attendre à un échange standard dans presque 8% des |
|périodes d'une heure de travail de la machine. |
| |
|Sur le mois, on compte 200 fois 10 = 2000 heures de travail des |
|machines. Le nombre de cas où on devra procéder à un échange - standard|
|est égal à 2000 x 0,0793720 =158,744 ( 159 échanges - standard par |
|mois. |
QUESTION 3 A la fin de la première étape du tour cycliste du ZÔTRLAND, on expérimente
un nouveau système de contrôle antidopage. Ce dernier est basé sur
l'analyse d'une goutte de sang prise au bout du doigt du cycliste testé.
Cette analyse peut détecter instantanément les traces de l'agent P qu'un
nouveau produit dopant interdit, le PROB 0345, génère dans la circulation
sanguine du sportif dopé, et cela avec une probabilité de 96 %.
Cependant l'agent P est également présent dans la circulation sanguine
d'une personne sur 50 dans la population des personnes qui n'ont jamais
pris de PROB 0345. Un certain nombre de coureurs tirés au hasard dans le peloton sont soumis
au test.
Sous couvert de l'anonymat, on interroge tous ceux parmi ceux-ci pour
lesquels l'analyse a révélé des traces d'agent P. Les trois-quarts de ces
derniers avouent s'être dopés au PROB 0345. Quelle proportion de la population du peloton peut-on raisonnablement
penser s'être dopée au PROB 0345 ?
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|Soit Pos = « Le test sanguin a révélé des traces d'agent P ». |
|Soit D = « La personne testée (le cycliste) a absorbé du PROB 0345 ».|
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|Soit AP = « Le sang de la personne testée présente des traces de |
|l'agent P ». |
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|On sait que : |
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|[pic] |
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|Par la formule de Bayes : |
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|[pic] |
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|En effet : [pic] |
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