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ENSE3 1ère année AUTOMATIQUE Recueil de TD DETERMINATION DE FONCTIONS DE TRANSFERT DE SYSTEMES PHYSIQUES A PARTIR
D'EQUATIONS 3 SYSTEME MECANIQUE EN ROTATION 3
SYSTEME THERMIQUE 4
SYSTEME BIOLOGIQUE : DIGESTION ANAEROBIE 5 REPONSES TEMPORELLES ET FONCTIONS DE TRANSFERT 6 ETUDE D'UN CAPTEUR (thermomètre météorologique) 6
ETUDE D'UN SYSTEME HYDRAULIQUE (bacs en cascade) 7
APPARIEMENT DE REPRESENTATIONS 9
APPLICATION DU CRITERE DE NYQUIST POUR LA STABILITE 11
STABILITE D'UN SYSTEME DU 3ème ORDRE 11
STABILITE D'UN SYSTEME AVEC INTEGRATEUR 11 ANALYSE ET SYNTHESE DE CORRECTEURS 12 ASSERVISSEMENT DE TEMPERATURE (SYSTEME A RETARD, REGULATEUR PROPORTIONNEL)
12
ASSERVISSEMENT DE DEBIT (système du second ordre, retard, PID) 15
ASSERVISSEMENT D'UNE BALLE SUR UN PLATEAU (SYSTEME INSTABLE EN BOUCLE
OUVERTE, PID) 17
CONTRÔLE DE LA QUALITÉ DE L'EAU DANS UN TRONÇON DE RIVIÈRE SOUMIS À DES
DÉCHARGES D'EFFLUENTS 20
DETERMINATION DE FONCTIONS DE TRANSFERT DE SYSTEMES PHYSIQUES A PARTIR
D'EQUATIONS SYSTEME MECANIQUE EN ROTATION
Pour le système mécanique suivant (moteur entrainant une charge par
l'intermédiaire d'un réducteur), écrire les équations de bilan énergétique
et en déduire l'équation différentielle liant le couple ?m appliqué à
l'entrée et la vitesse angulaire de sortie ?s (J : inerties ; f :
frottements visqueux ; rapport de réduction n).
Déterminer la fonction de transfert correspondante (entrée ?m, sortie
?s).
SYSTEME THERMIQUE Toutes les variables d'état définies ci-dessous représentent des
variations autour d'un état d'équilibre thermique.
[pic]
x1 et x2 sont les températures des liquides chaud et froid dans les
tubulures,
u1 et u2 sont les températures à l'entrée,
q1 et q2 sont les débits des liquides, supposés constants (m3.s-1),
V1 et V2 sont les volumes des liquides chaud et froid à l'intérieur
de l'échangeur de chaleur,
Cp1 et Cp2 sont les chaleurs spécifiques des liquides (J.m-3.K-1),
R est la résistance thermique des parois séparant les deux liquides;
on supposera que l'on a un bon calorifugeage avec l'extérieur et que les
pertes calorifiques sont négligeables.
En supposant les phénomènes d'échange linéaires, écrire les équations
de bilan énergétique et déterminer les fonctions de transfert X1(p)/U1(p)
et X2(p)/U2(p). SYSTEME BIOLOGIQUE : DIGESTION ANAEROBIE
La digestion anaérobie est un procédé biologique complexe, permettant
de dégrader la matière organique en méthane et dioxyde de carbone. Il
comporte quatre étapes, chacune étant associée à un groupe de bactéries,
qui utilise les composés dégradés par l'étape précédente comme substrat
(« nourriture ») pour croître et produit des composés organiques encore
plus dégradés. Cette digestion est à la base de nombreux phénomènes
observés soit dans la nature (dégradation de pollution dans les lacs ou
rivières) soit dans les procédés technologiques (stations d'épuration).
On ne s'intéressera ici qu'à une étape, la transformation de l'acide
acétique noté S2, en méthane (CH4) et en dioxyde de carbone (CO2). Cette
transformation se fait en deux temps. Tout d'abord les bactéries
méthanogènes (X2, la biomasse) consomment S2 pour leur croissance, dont la
vitesse spécifique est notée ?2, ce qui veut dire qu'elle est donnée par
unité de concentration de biomasse. La vitesse effective de la réaction
biologique est donc ?2*X2. Les bactéries produisent ensuite du CH4, à la
même vitesse ?2. On suppose que le méthane est instantanément transféré de
la phase liquide vers la phase gazeuse. Le schéma réactionnel ci-dessous
résume les réactions biologiques :
[pic]
X2, S2 et CH4 sont des concentrations. 1/Y1 et 1/Y2 sont les
rendements biomasse/substrat et biomasse/méthane. L'expression de la
vitesse spécifique ?2 est la suivante : [pic] où Ks, Ki et ?2max sont des
constantes. On suppose que la réaction biologique a lieu à l'intérieur d'un
réacteur infiniment mélangé, qui est alimenté à un débit Q et soutiré au
même débit. Il a donc un volume constant noté V. L'alimentation du réacteur
ne contient que l'acide acétique à une concentration notée S2in.
> A partir des bilans de matière, mettre en équation le système.
On considérera que Q est constant et que S2in est l'entrée du système. > Déterminer le point d'équilibre du système. On portera une
attention particulière au méthane. > En supposant que les variations autour du point d'équilibre sont de
petite amplitude, linéariser le modèle. En déduire la fonction de transfert
entre S2in et CH4. REPONSES TEMPORELLES ET FREQUENTIELLES. PROPRIETES
ETUDE D'UN CAPTEUR (thermomètre météorologique)
Un thermomètre météorologique est considéré par ses utilisateurs
comme un système du premier ordre. Avant toute opération de sondage, on
se livre à l'opération suivante : le thermomètre initialement à 20°C est
brusquement placé dans un courant d'air de 250 m/mn à 10°C au niveau de la
mer. On note les résultats suivants : |Temps (s) |0 |5 |10 |15 |20 |25 |
|Température |20 |17,8 |16,1 |14,7 |13,7 |12,9 |
|indiquée (°C)| | | | | | | Déterminer les caractéristiques dynamiques du thermomètre (paramètres
de la fonction de transfert). On équipe ensuite avec ce thermomètre un ballon sonde pour établir la
"courbe du jour". Le ballon monte de 250 m/mn. Les indications transmises
sont alors les suivantes :
|Temps (s) |0 |10 |20 |30 |40 |50 |60 |70 |80 |90 |
|Températur|15,0 |14,9 |14,6 |14,3 |13,9 |13,4 |13,0 |12,5 |12,0 |11,5 |
|e (°C) | | | | | | | | | | | |100 |150 |160 |170 |180 |
|11,0 |8,5 |8,0 |7,5 |7 | Déduire de cette réponse du thermomètre à une entrée en rampe, la
température à 600 m. Justifier votre réponse. ETUDE D'UN SYSTEME HYDRAULIQUE (bacs en cascade)
On considère le système hydraulique constitué de deux bacs en
cascade :
u : débit volumique d'alimentation en liquide,
x1, x2 : niveaux dans les réservoirs,
C1, C2 : sections des réservoirs,
R1, R2 : vannes d'équilibrage telles que le débit à travers
l'orifice Ri est ui = xi/Ri (xi = hauteur du liquide dans le réservoir).
On applique en entrée (sur le débit u) un échelon d'amplitude 1. On
enregistre le niveau x2 (décimètres) dans le bac 2 en fonction du temps (en
secondes). Déterminer la forme de la fonction de transfert, puis déterminer
la valeur du gain, et donner un ordre de grandeur pour les constantes de
temps. On construit l'asservissement du niveau x2 suivant :
Calculer la fonction de transfert en boucle fermée et montrer que la
réponse du système en boucle fermée dépend du gain K. Pour une valeur de K donnée on enregistre la réponse expérimentale x2
suivante : Calculer le gain en boucle fermée et en déduire la valeur de K
utilisée pour l'expérience. Le système en boucle fermée est un second ordre oscillant. Calculer à
partir de l'enregistrement les valeurs de ? et ?n correspondantes. La fonction de transfert X2/U(p) a pour constantes de temps ?1 = 2s
et ?2 = 5s. A partir des valeurs de ? et ?n qui viennent d'être
déterminées, retrouver de deux manières différentes la valeur du gain K.
Vérifier que les valeurs obtenues sont cohérentes avec la première
détermination de K. REPONSES FREQUENTIELLES DES SYSTEMES (BODE, BLACK, NYQUIST) ETUDE DE
STABILITE
APPARIEMENT DE REPRESENTATIONS
On vous demande d'apparier les diverses représentations temporelles et
fréquentielles que l'on trouvera en dernière page du polycopié. Cela veut
dire que, pour un même système, on a tracé la réponse indicielle, le lieu
de Bode et le lieu de Black ; on a fait cette expérience pour 4 systèmes
différents ; vous devez retrouver quelles courbes correspondent au même
système. Donner la fonction de transfert correspondante sous forme formelle
et, si c'est possible uniquement, donnez l'ordre de grandeur ou la valeur
des coefficients des transferts. Noter dans la dernière colonne si le
système en boucle fermée par un retour unitaire aura une surtension. | |Indicielle|Bode n° |Black n°|Fonction de |surtension |
| | | | |transfert | |
|Système |rouge | | | | |
|1 | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
|Système |vert | | | | |
|2 | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | |