B. Dérivées d'ordre supérieur à 2 - Free

Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel
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A. Dérivabilité. 1. Limites et continuité.
2. Dérivabilité.
3. Dérivées partielles.
4. Fonctions de classe C1.
5. Inégalité des accroissements finis. B. Dérivées d'ordre supérieur à 2. 1. Dérivées partielles, dérivées d'ordre ( 2.
2. Fonctions polynomiales, développements limités.
3. Formule de Taylor.
4. Extrema locaux, points critiques.
5. Fonctions homogènes.
6. Fonctions convexes.
7. Exemples d'équations aux dérivées partielles. C. Fonctions implicites, inversion locale. 1. Ck-difféomorphismes
2. Théorème d'inversion locale.
3. Coordonnées curvilignes.
4. Théorème des fonctions implicites.
5. Démonstrations.
6. Extrema liés. D. Introduction au calcul des variations. Pierre-Jean Hormière _____________
«Tous les mathématiciens savent que le passage
de une à plusieurs variables est un « saut »
brusque, qui s'accompagne de grandes difficultés
et nécessite des méthodes toutes nouvelles. » Jean Dieudonné
Le calcul différentiel et intégral sur les fonctions de plusieurs
variables réelles a eu un dévelop-pement plus tardif que celui des
fonctions d'une variable. Les dérivées partielles apparaissent en 1755
dans le traité Institutiones calculi differentialis d'Euler, et en 1747,
chez Clairaut. La notation ( pour désigner les dérivées partielles, par
opposition au d de la dérivée ordinaire, fut préconisée par Legendre en
1786, et vulgarisée par Jacobi en 1841. Au XIXème siècle, à la frontière
de la physique mathématique, l'analyse vectorielle fut développée par les
anglais Stokes, Heaviside et Gibbs, tandis que la géométrie différentielle
était fondée et développée par les italiens Ricci et Levi-Civita. Mais il
fallut attendre les travaux de Weierstrass, Schwarz et Peano à la fin du
XIXème siècle pour que soit pris le tournant de la rigueur : Schwarz
justifie en 1873 l'interversion des dérivées partielles, Peano précise ce
résultat et d'autres au moyen de contre-exemples. Gateaux et Volterra
dégagent la notion de dérivée directionnelle, tandis que Stolz et Fréchet
donnent la définition moderne des fonctions différentiables. Au début du
XXème siècle, les concepts fondamentaux sont clairement dégagés, le calcul
infinitésimal à plusieurs variables peut alors se développer sur des bases
solides : équations aux dérivées partielles, calcul différentiel extérieur
et intégration sur les variétés, surfaces minima, topologie
différentielle, théorie des singularités de Morse, Whitney et Thom (1925-
1958).
On se limite ici aux espaces vectoriels normés de dimension finie, et
même aux espaces Rn. Toutes les normes y sont équivalentes, et définissent
une seule topologie, la topologie usuelle. L'extension aux espaces de
Banach quelconques ne pose guère de problème : voir Cartan.
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A. Dérivabilité
1. Limites et continuité.
Les espaces E = Rn et F = Rp sont rapportés à leurs bases canoniques.
Soit U une partie de E. Se donner une fonction vectorielle f de U dans F
équivaut à se donner p fonctions numériques sur U.
f : x = (x1, ..., xn) ( y = (y1, ..., yp) = f(x1, ..., xn) =
(f1(x1, ..., xn) , ... , fp(x1, ..., xn)) . Selon les conventions de l'algèbre linéaire, il vaudrait mieux noter les
vecteurs en colonne. Rappelons que si a = (a1, ..., an) est un point de E adhérent à U, f
admet une limite b en a ssi : ((( > 0) ((( > 0) ((x(U) ||x ( a|| ( (
( ||f(x) ( b|| ( ( , pour l'une quelconque des normes de E et F, ou encore si, pour toute suite
xk = (x1k, ..., xnk) de points de U tendant vers a = (a1, ..., an), la
suite f(x1k, ..., xnk) tend vers b = (b1, ..., bn).
Il revient au même de dire que chacune des fonctions f1, ..., fn a une
limite en a.
Si a est un point de U, f est continue en a ssi f(x) tend vers f(a)
quand x tend vers a.
Les exemples suivants montrent qu'il faut soigneusement distinguer
continuité globale et continuité séparée. Exemples :
1) La fonction de Peano (1884) : f(x, y) = [pic] sur R2({(0, 0)}, f(0,
0) = 0.
f est bornée sur R2 car |f(x, y)| ( 1, et continue R2({(0, 0)} comme
composée de fonctions continues. Comme f(x, 0) = f(0, y) = 0 pour tous x
et y, f est séparément continue en x et en y, en (0, 0). Mais elle n'est
pas continue en ce point car f(1/n , 1/n) = 1.
Plus généralement, pour tout vecteur e = (a, b) ( (0, 0), f((a, (b) =
[pic] ( [pic] quand ( ( 0. Une autre façon de présenter cela est de passer
en polaires : f(r.cos (, r.sin () = sin(2() ( sin(2() quand r ( 0+. f est
constante sur chaque droite issue de O.
Ses valeurs d'adhérence en (0, 0) sont tous les réels ( [(1, +1].
Géométriquement, la surface d'équation z = f(x, y) est une réunion de
droites horizontales pivotant autour du segment vertical {(0, 0, z) ; (1 (
z ( +1}. C'est une surface réglée, appelée conoïde de Plücker, que l'on
peut représenter avec Maple.
2) Soit f(x, y) = 1 si (y ( 1)2 + x2 ( 1 ou (y + 1)2 + x2 ( 1 ou y = 0,
f(x, y) = 0 sinon.
En quels points f est-elle continue ? discontinue ? f est-elle continue en
O ? Montrer cependant que, pour tout vecteur e = (a, b) ( (0, 0), ( (
f((a, (b) est continue en 0.
Exercice 1 : Soient I et J deux intervalles de R, f : I ( R et g : J ( R,
F(x, y) = f(x) + g(y).
A quelle condition F est-elle continue en (a, b)(I(J ? Exercice 2 : Soit (A, B) une partition de R2, f la fonction indicatrice de
A. En quels points f de R2 est-elle continue ? Exercice 3 : Soit f(x, y) = x2 si |x| ( |y|, f(x, y) = y2 si |y| ( |x|. f
est-elle continue ?
Exercice 4 : Soit f(x, y) = [pic] si x ( y, f(x, x) = ex . Montrer que f
est continue sur R2.
Exercice 5 : Généralisation. Soit ( : I ( R une fonction de classe C1 sur
l'intervalle I.
Montrer que ((x, y) = [pic] si x ( y, ((x, x) = ('(x), est continue sur
I(I. Exercice 6 : Généralisation. Soit ( : I ( R une fonction définie sur
l'intervalle I, a un point de I.
1) Montrer que, pour que ( soit dérivable en a, il faut et il suffit
que ((x, y) = [pic] ait une limite quand (x, y)( (a, a) de façon que x ( a
( y, et x < y. Interprétation géométrique ?
2) ( est dite strictement dérivable en a, si ((x, y) = [pic] a une
limite quand (x, y)( (a, a) de façon que x ( y. Cette limite est appelée
dérivée stricte de ( en a. Interprétation ? a) Montrer que si ( est strictement dérivable en a, ( est dérivable
en a.
b) Examiner la réciproque, en considérant ((x) = x2.sin[pic] si x (
0 , ((0) = 0.
c) On suppose ( dérivable dans I. Montrer que ( est strictement
dérivable en a ssi (' est continue en a. Exercice 7 : Soit f : Rn ( Rn une fonction continue.
Montrer que la fonction qui à r ( 0 associe M(r) = sup{||f(x)|| ; ||x|| (
r} est continue. Exercice 8 : Soient I = [a, b], J = [c, d], f : (x, y)(I(J ( f(x, y)(R une
fonction continue. 1) Montrer que la fonction ((x) = max y(J f(x, y) est définie et
continue sur I.
2) Montrer que max y(J min x(I f(x, y) ( min x(I max y(J f(x, y).
3) Soient I = [0, 2] , J = [0, 4] , f(x, y) = [1 ( (x ( y + 1)]2.
Vérifier les résultats précédents.
4) On suppose ((x, y) f(x, y) > 0. Montrer que :
a) limn(( ([pic] = min x(I max y(J f(x, y).
b) limn(( [pic] = max (x,y)(I(J f(x, y). Exercice 9 : Soient n ( 2, et f : Rn ( R une fonction continue telle que,
pour tout réel a, f(1({a}) est compact. Montrer que f admet un extremum
global.
2. Dérivabilité.
Comment généraliser aux applications de Rn dans Rp la bonne vieille
dérivée
f'(a) = limh(0 [pic] des fonctions réelles de variable
réelle ?
La variable est maintenant un vecteur de Rn : plus question de diviser par
h ! Il faut donc modifier la définition. Cela peut se faire de deux
façons : soit l'on garde la variable vectorielle, et c'est le point de vue
le plus fécond ; soit l'on se ramène à la variable réelle, et l'on est
conduit aux dérivées partielles et directionnelles. Le lien entre les deux
approches sera élucidé ensuite.
2.1. Dérivabilité. Définition (Stolz, 1887, Fréchet, 1906)[1] : Soient E et F deux espaces
normés de dimensions finies, U un ouvert de E, a un point de U.
L'application f : U ( F est dite dérivable ou différentiable en a s'il
existe une application linéaire L(L(E, F) telle que :
(D1) f(a + h) = f(a) + L(h) + R(h) , où le reste R(h) est un o(||h||)
lorsque h tend vers 0 dans E. Rappelons que, U étant ouvert, est un voisinage de a, donc a + h(U pour
||h|| assez petit. La condition (D1) équivaut encore à l'une des conditions :
(D2) limh(0 [pic] = 0 .
(D3) ((( > 0) ((( > 0) (h(E ||h|| ( ( ( a + h ( U et ||f(a + h) (
f(a) ( L(h)|| ( (.||h|| . Enfin, f est dite dérivable ou différentiable dans U si elle est dérivable
en tout point de U. En termes imagés, une fonction f est différentiable en a si, au voisinage
de a, elle se comporte à peu près comme une application affine, à savoir
x( f(a) + L(x ( a). Proposition 1 : Si f est dérivable en a, l'application L est unique.
On la nomme dérivée ou différentielle de f en a, et on la note f'(a),
df(a) ou Df(a).
On note f'(a).h , p