Matière d' Analyse I pour l'examen de juin (second ... - ULB

Matière A VOIR au cours Analyse 1, au 1er quadrimestre 2008-2009.
première approximation basée sur 2007/08, écriture abrégée et (souvent)
sans accents.
Matière entre { }= donnée pour information, ne fait pas partie de la
matière d'examen
Matière entre [ ]= non donnée
sm= semaine m ; hn= heure n.
Document NON officiel, mis a jour le 2 déc. 2008.
s4:- 7oct08-------------------------------------------------------
*h1: Plan de cours abrégé, présentation du service, secrétariat du service
en UA5,
Valves d'analyse 1 en UA6.
Permanences d'analyse par Jean-Luc MICHEL les lundis à partir de 13h au
UA6.212,
guidances de maths en BA1 les mardis & jeudis à partir de 12h30 au UA6.118A
par Amaury, Julien, Mathieu, Jonathan et Bernard.
Responsable coordination exercices et permanences: Jean-Luc MICHEL.
{Quelle formation pour les Ir par Y. Le Tallec}
{*pourquoi les maths?, introduction au cours, Modélisation (et "ceci n'est
pas une pipe")}
*Comment étudier?: au fur et a mesure, en s'accrochant, en se posant des ?
et en en posant aux autres (condisciples, étudiants-assistants, assistants,
aux guidances, permanences, séances d'ex., cours)
Ne pas attendre d'avoir beaucoup de questions pour aller aux guidances !!!
Ne pas paniquer, ne pas désespérer, même si impression d'être dépassé,
perdu,
Ne pas se laisser bercer par des mots familiers, des dessins semblant
clairs (si le dessin semble clair, êtes-vous capables d'expliquer le tout
en mots, correctement, avec précision?) Attention: c'est un exercice
difficile, auquel vous êtes en général peu entraînés, ...et c'est crucial
pour réussir les examens!
Le cours:
Chap. 1: (1.2) rationnels, réels, R_0, R^+
(1.4, 1.5) intervalles et demi-droites, ens. connexes dans R, R complété
(1.1) inégalités et +,-,*
(1.6, 7, 8) majorants, sup et max, minorants, inf et min.
(1.9) Valeur absolue et inégalité triangulaire (aussi si n termes,
aussi en nD)
*h2: ensemble borné dans R, supremum et infimum (=borne inf) (ds R
seulement!!!)
Chap. 2: (2.3) lim f(x) pour x->infini (déf. avec epsilon...)
-s5 14oct08--------------------------------------------------------
*h3: (2.4.1) déf. de limite d'une suite réelle dans R (avec epsilon...).
Ex. des suites dont on peut prouver la convergence en termes de epsilon, N. Négation de u_n -> l en termes de epsilon, N ("u_n" signifie "u indice n")
(au tableau)
(2.4.2) déf. de limite d'une suite dans R complété, exemples.
(2.4.4) suite convergence dans R => bornée (dém),
(si A non bornée supérieurement dans R, sup A:= +infini)
Rem. : pour une suite croissante: pas bornée conv. vers l'infini .
(2.4.5, 6) toute suite croiss. (bornée ou non) conv. vers son sup (dem si
bornée), application (=exemple lié à la série de la somme des inverses de
factorielles), ne pas se fier au comportement des tout 1ers termes: ex:
{limite nulle de la suite des mesures des boules unités en dim n)}.
*h4: (2.7 & ConFond) règles de calcul des lim. de suites: (2.7.5) y
compris:
v_n est non nul pour presque tout n dès que lim v_n est non nulle (dém).
(2.7.6) Justification de l'usage de la règle de l'Hospital pour des suites
(discrètes) (=suites de nombres, plutôt que des fonctions d'une variable
réelle!).
(2.8.1) comportement asymptotique de suites: équivalence ~, o, O.
Comparaison entre quotient ->1 & différence->0 (dem).
(2.8.3) Complexité d'algorithmes (ex: algorithme d'Euclide pgcd(n,m),
algorithme pour multiplier matrices nxn, ...).
s6: 21oct08---------------------------------------------------------------
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*h5: Tout "o(v_n)" est un "O(v_n)".
(2.8.4) ~,o,O pour les fcts d'une variable réelle
(2.8.6 I & IV) Droites & courbes asymptotes (dem. d'une CN non S )
{(2.7.8) suite de Fibonacci & application au nb de manières de gravir un
escalier par pas simples ou doubles}. (2.9.3) suite partielle, queue de
suite.
Si une suite conv., alors toutes ses suites partielles conv. vers la même
limite,
(donc si 2 suites partielles ont des limites différentes, alors la suite ne
peut pas conv.)
(2.10.1) croissance exponentielle, {croissance logistique}
*h6: (2.10.2) limsup:= lim des sup de queues de suites, cette suite de sup
de queues de suite est décroissante, d'où l'existence de limsup (dans R)
d'une suite bornée; (limsup=+infini ssi suite non bornée supéreurement) ;
liminf:=... , (liminf = -infini ssi suite non bornée inféreurement).
(2.10.4) limsup= plus grande limite de suite partielle.
Extrait du chap. 1 (utile pour 2.12,13,etc...):
(1.10) boule ouverte, boule fermée, sphère en dim n .
(1.11) pt intérieur, intA, pt adhérent, adhA, pt frontière, frA. [(pas vu:
pt d'accumulation)]
(1.13) ouvert, fermé. NB: F est fermé ssi la lim de tte suite conv. de pts
de F est ds F.
On prouve que: toute boule ouverte est ouverte, donc égale à son intérieur,
mais l'intérieur d'un cercle (au sens topologique) est vide! ...
s7: (4nov08)------------------------------------------------------
*h7: retour au Chap. 2: (2.11): lim f(x) pr x->a (définition, exemples)
(2.11.5): lim à gauche ou à droite,
(2.11.6): lim f(x) pour x->a & lim de suites f(x_n) pour x_n->a.
(2.12.1): Fonction continue en un pt (de son dom.), discont. élimin., de
1ère espèce, de 2de espèce.
(2.12.3,4): continuité & f lim.
(2.12.2) sin(1/x) est continue s/(R_0), mais ne peut pas être prolongée en
une fonction continue s/R.
*h8: (2.13): ~, o(g(x)), 0(g(x)) pour x->a,
x^n= o(x) pour n>1 & x->0 (termes prédominants dans polynôme en x-a pour x-
>a)
(2.14): lim de sommes, produits, composées de fonction s,
continuité des sommes, produits, composées de fonctions. Fonction
élémentaire (déf).
(2.15): fonction monotone. Fonction strictement monotone =>injective,
réciproque fausse!
Si f est croissante: lim f(x) (pr x->a, xa,x