Chap.3 Équations différentielles d'ordre 1

Bibliographie
Analyse Couty, Ezra Coll. U Ed A. Colin
1965
Analyse Exercices tome 3 J. Rivaud Exerc. Vuibert
(Bibl. ENI Be)
Mathématiques t. 4 Donnedu Ed. Vuibert 1977
Mathématiques t. 1 Hocquenghem, Ed. Masson 1981
Bibl. ENI
Mathématiques DEUG A tome 2 Azoulay, Avignant Ed. McGraw-Hill 1990
Mathématiques PC 1èreannée t.2 Lesieur et Lefebvre Coll. U 1969
(Bibl. E.N.I.Be)
Mathématiques Analyse V. Blondel Dunod (Bibl. Municipale
Belfort) Quelques livres intéressants, instructifs ou réjouissants (propriétés ne
s'excluant pas) :
Etienne Klein : L'atome au pied du mur Ed. Le Pommier
Des nouvelles à caractère historique et scientifique écrites avec
humour. De quoi ensoleiller les journées moroses
J. Paul Delahaye Jeux mathématiques et mathématiques des jeux
Bibliothèque Pour la Science
Étude probabiliste des jeux de hasard à partir de situations plus ou moins
simples
Ch. Ruhla La physique du hasard Ed. Hachette Bibl.
Municipale Belfort n° 530 13 RUH
Survol chronologique des phénomènes aléatoires en physique, difficulté
croissante au cours des chapitres Quelques romans pour ceux qui lisent déjà ou pour ceux qui n'ont pas, les
pauvres, découvert la lecture :
|Auteur |Pays|Langue|Titre |
|Pierre BOULLE |F |F |Les jeux de l'esprit - La planète des singes|
| | | |- Les contes de l'absurde |
|Paul ERDMAN |US |US |Délit d'initié |
|Ken FOLLETT |GB |GB |Le troisième jumeau Code |
| | | |Zéro |
|Georges ORWELL |GB |GB |1984 Animal farm (à lire en |
| | | |anglais si possible) |
|Aldous HUXLEY |GB |GB | Brave New World (Le meilleur des mondes) |
|Edmond HAMILTON |GB |GB |La dixième planète |
| | | |Pygmalion 2113 |
|Stephan ZWEIG |CZ |D | Die Schach Novelle (Le joueur d'échecs) |
|Robert HENLEIN |US |US |Une porte sur l'été |
|René BARJAVEL |F |F |La nuit des temps Ravages |
|Arturo PEREZ-REVERTE|E |E |Le tableau du maître flamand La reine|
| | | |du Sud |
|Daniel KEYES |US |US |Des fleurs pour Algernon |
|Ray BRADBURY |US |US |Fahrenheit 451 |
|Amélie NOTHOMB |B |F |Stupeur et tremblements |
|Boris VIAN |F | |L'écume des jours |
|Oscar WILDE |IRL |GB |Le portrait de Dorian Gray (novel) A women of|
| | | |no importance (play) |
|Ira Levin |US |US |Un bonheur insoutenable |
|Andreas ESCHBACH |D |D |Jésus Vidéo |
|Jean Christophe |F |F |Les rivières pourpres Le concile |
|GRANGIÉ | | |de Pierre |
|John GLEICK |US | |Le chaos |
|Jean-Michel TRUONG |F | |Eternity Express |
|Qiu Xiao Long | |US |Mort d'une Héroïne rouge |
| | | |Visa pour Shanghai |
|Anne SAUVY |F | |Les flammes de pierre (nouvelles montagnardes)|
Intégration 1 Intégrale d'une fonction
1 Soit une fonction f intégrable sur [0, 1]. Calculer [pic] . Calculer les limites [pic] 2 Calculer les limites des suites: [pic] 3 Soit l'intégrale [pic] .
1 Calculer In pour n=0, n=1 et n=3 .
2 b) Etablir une relation entre In et In-1 . En déduire In pour n entier.
2 Propriétés de l'intégrale:
1 Montrer que [pic]. En déduire un encadrement de [pic], puis sa partie
entière.
2 Utilisation des théorèmes de la moyenne: a) Soit la fonction f définie par: [pic] .
Déterminer un équivalent de lnt au voisinage de 1.
Montrer que [pic] .
En déduire que: [pic] 3 Fonctions définies par une intégrale:
1 Soit les fonctions f et F définies sur R par :[pic].
1 Etudier la parité et le sens de variation de F. Etudier les variations de
f et tracer sa courbe représentative.
2 Montrer [pic] . En déduire que F a une limite finie L quand x tend vers
l'infini.
3 Pour quelles valeurs de n a-t-on e-n < 0,001 ? En déduire, à l'aide d'une
calculatrice, une valeur approchée de L à 0,001 près.
4 Dresser le tableau de variations de F et tracer sa courbe représentative.
2 Étude et représentation graphique des fonctions définies par: [pic] 3 Soit la fonction f définie par: [pic] . a) Déterminer des encadrements de f au voisinage de 0 et au voisinage de
+(. En déduire les limites de f aux bornes de son domaine de définition
(utiliser le résultat de l'exercice -II- 1°) page 3).
b) Déterminer la limite en +( de [pic]. En déduire le type de branche
infinie en +(.
c) Terminer l'étude de f et tracer sa courbe représentative dans un
repère orthonormé. 4 Calculer le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 des
fonctions définies par:
[pic] 4 Primitives
1 Déterminer des intervalles sur lesquels les primitives suivantes sont
définies: [pic] 2 Déterminer les primitives des fonctions suivantes s'annulant en xo . [pic] 5 Changements de variables:
1 Indiquer, pour chacun des exemples suivants, et en expliquant pourquoi,
si les changements de variables proposés sont valides
ou non. Ne pas chercher à calculer ces intégrales. [pic] 2 On considère les intégrales: [pic] Montrer à l'aide d'un changement de variable convenable que I = J.
Calculer I + J, et en déduire I et J. 3 Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'un changement de variable: [pic] 4 Calculer l'intégrale [pic] en effectuant le changement de variables [pic]
. En déduire le calcul de [pic] . 5 Changements de variables: [pic] 6 Calculer [pic] . En déduire une relation entre [pic] 6 Méthodes spécifiques:
1 Intégrations par parties: [pic] 2 Fractions rationnelles: [pic] 3 Fonctions circulaires ou hyperboliques: [pic] 4 Radicaux: [pic] 5 Calculer [pic]
6 a) Calculer l'intégrale suivante: [pic] b) En déduire avec [pic] l'intégrale : [pic] 7 Calculs d'intégrales a) Déterminer trois constantes a, b et c telles que:[pic] .
b) Calculer les intégrales suivantes : [pic] 8 Soit la fonction f définie par : [pic]. a) Déterminer ( pour que l'intégrale de f sur ]-(, +([ soit égale à 1.
b) Déterminer alors [pic].
c) Calculer [pic]. Remarques ?
Pour ceux qui suivent SQ 20 : les calculs précédents représentent la
détermination de l'espérance et de la variance d'une v. a. continue de
densité f. 7 Fonctions trigonométriques ou hyperboliques
1 Calcul des intégrales trigonométriques: [pic] 2 Intégrales de fonctions hyperboliques: [pic] 8 Applications du calcul intégral:
1 Calculs d'aires: a) Aire de la portion de plan limitée par : [pic] et la droite
d'équation x = 2a .
b) ** Aire totale de la surface limitée par la courbe d'équation:
[pic] 2 Calculs de volumes de révolution: a) On considère la surface (S) définie par le système:[pic] . Déterminer
les volumes des solides engendrés par la révolution de (S) autour de l'axe
(Ox), puis de l'axe (Oy).
b) On fait tourner le cercle de centre C(3;0) et de rayon 2 autour de
(Oy). Calculer le volume du solide engendré (tore).
Autre question, mais plus facile, remplacer (Oy) par (Ox).
c) Un paraboloïde de révolution est à l'intérieur d'un cylindre.
Comparer les volumes extérieur et intérieur. 9 Prolongements (pour spécialistes):
Problème 1:
Pour n entier naturel, on considère l'intégrale [pic].
a) Déterminer une relation entre In et In+2. En déduire la valeur de In
en fonction de n.
b) Montrer que: [pic].
c) En déduire la formule (de Wallis) [pic] Problème 2:
Le but du problème est de calculer l'intégrale : [pic]
Soit F et G définies sur ]0,+1] par : [pic] .
a) Calculer les dérivées des fonctions: [pic]. En déduire des primitives
des fonctions : [pic]
b) Calculer, à l'aide de changements de variables, F(x) , puis G(x), en
fonction de x.
c) En déduire (F - G)(x), et , si elle existe, [pic].
d) Déduire des calculs précédents la valeur de I.
Entraînement pour les prochains Jeux Olympiques
Déterminer les intégrales et primitives suivantes: (pour les primitives,
précisez les intervalles où elles sont définies.
[pic]
Les solutions seront données dans le
prochain chapitre. Intégrales généralisées
1 Intégrales généralisées:
1 Etudier la convergence des intégrales suivantes, sans chercher à les
calculer: [pic] 2 Convergence et calcul (quand il est possible) de: [pic][pic] 3 On considère les intégrales suiv