Modèle mathématique.

Les indices et les séries chronologiques fournissent des méthodes
permettant de décrire l'évolution d'une grandeur dans le temps. Indices composés
Une étude porte sur la consommation moyenne de deux produits, pour une
personne et par jour, étude faite à deux époques différentes : |Consommation | |Époque 0 | |Époque 1 |
|Produit |Quantité |Prix |Quantité |Prix |
|Pain |0,25 kg |1,1 E le kg |0,200 kg |1,2 E le kg |
|Viande |0,12 kg |9,1 E le kg |0,150 kg |10,5 E le kg |
1. Calculer la dépense totale P0 à l'époque 0 . 2. Calculer la dépense totale Pl à l'époque 1 .
3. Calculer l'indice de la dépense totale à l'époque 1, base 100 à
l'époque 0 par la formule :
I1 = 100 × = .........
V Un indice simple n'étudie que les variations d'un seul produit,
V Un indice composé prend en compte l'étude de plusieurs produits.
Chaque produit n'a pas la même importance, il est affecté d'un
coefficient de pondération (ex: 0,25 pour le prix du pain dans
le calcul de P0.
L'indice I1 représente les variations de la dépense engagée par
la personne, mais il traduit mal la hausse des prix. En effet,
si on double la consommation d'un produit entre deux époques, la
dépense peut avoir doublé, même si le prix est resté
pratiquement constant.
V Pour comparer les variations des prix, il faut le faire à
consommation constante.
Méthodes utilisées dans le calcul des indices composés: - Méthode de Laspeyres :
On prend pour les deux époques la consommation à l'époque
0; c'est-à-dire :
I2 = 100 × 114,1
- Méthode de Paasche :
On prend pour les deux périodes la consommation de l'époque
1 ; c'est-à-dire :
I3 = 100× 114,5
Conclusion :
Un indice composé étudie les variations d'un ensemble de produits entre
deux époques 0 et 1.
|Consommation | |Époque 0 | |Époque 1 |
|Produit |Quantité |Prix unitaire |Quantité |Prix unitaire |
|A |a0 |x0 |a1 |x1 |
|B |b0 |y0 |b1 |y1 |
. Le calcul de l'indice par la méthode de Laspeyres fait référence
aux quantités consommées à l'époque 0.
I1/0 = 100 ×
. Le calcul de l'indice par la méthode de Paasche fait référence
aux quantités consommées à l'époque 1.
I1/0 = 100 ×
Exercice Une association de consommateurs publie une enquête sur la restauration
rapide avec les résultats suivants sur le prix d'un repas comprenant un
sandwich, un dessert et une boisson. |Produits |Quantité |Année 1996 |Année 2000 |
| | |Prix |Prix à payer|Prix |Prix à payer|
| | |unitaire | |unitaire | |
|Tarte aux |190 g |15,2 E/kg | |18,5 E/kg | |
|pommes | | | | | |
|Boissons |1 boîte de 25|3,40 E/L | |34,20 E/L | |
| |cL | | | | |
|Hamburger |1 |2,4 E | |2,7 E | | 1. Calculer pour le repas :
a. les dépenses Do en 1996 et D1 en 2000;
b. le rapport .
2. Déduisez des réponses à la question précédente:
a. le montant de la dépense Dl pour une dépense Do de 1 E, puis de
100 E ;
b. le montant de la dépense Do pour une dépense D1 de 100 E.
3. En appliquant la variation du prix du hamburger (rapport de prix entre
1996 et 2000) :
a. calculez les prix des autres produits de restauration sapide du
tableau ci-dessous
|Produits |Doner kebab |Pain bagnat |
|Années | | |
|1996 |2,10 E | |
|2000 | |3,45 E | b. un panini coûtait 1,90 E en 1996 et coûte 2,14 E en 2000. Ce
sandwich a-t-il suivi la variation de prix des autres sandwichs
? Justifiez votre réponse.
Série chronologique : Définition : Une série chronologique est une série dans laquelle les valeurs du
caractère sont fonction du temps. Exemple : Une étude portant sur le nombre de femmes et d'hommes participant aux jeux
olympiques est consignée dans le tableau ci-dessous. |Année |1976 |1980 |1984 |1988 |1992 |1996 |
|Nombre de femmes |1 247 |1 125 |1 557 |2 186 |2 708 |3 779 |
|Nombre d'hommes |4 781 |4 092 |5 230 |6 279 |6 659 |6 582 |
1. Calculer : a. Le nombre total des participants aux jeux olympiques en 1976 puis en
1996. b. Le pourcentage des femmes en 1976 puis en 1996. 2. Placer dans le repère ci-dessous les points ayant pour abscisse
l'année et l'ordonnée le nombre de femmes participant aux jeux
olympiques. [pic] 3. Construire la droite D, dans le même repère, passant par le point
A(1992; 2 891) et le point B(1980; 1 310). 4. En considérant que cette droite représente la tendance du nombre de
femmes participant aux jeux olympiques, déterminer graphiquement le
nombre probable de femmes participant aux jeux olympiques en 2004 puis
2008. Tendance générale et variations saisonnières L'examen de la représentation graphique ou du tableau d'une série
chronologique montre que celle-ci peut-être constituée de deux
composantes : . La tendance générale est une évolution de longue durée ; elle peut
être marquée par une croissance ou une décroissance ; . Les variations saisonnières représentent les ressemblances entre les
différentes périodes. La mise en évidence des deux tendances permettra d'établir des prévisions
pour les saisons à venir. Exemples : 1. Recherche de la tendance générale par la méthode des moyennes
mobiles : |Année x |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |
|Chiffre |110 |100 |130 |160 |160 |180 |200 |
|d'affaires en | | | | | | | |
|millions E y | | | | | | | |
a. placer les points de ce tableau dans le repère ci-dessous. b. Relier ces points par des segments de droites. La courbe ainsi obtenue
donne la tendance générale . c. Les moyennes mobiles, calculées sur trois ans, sont données dans le
tableau ci-dessous. Le principe consiste à remplacer 3 points consécutifs du premier
tableau, obtenus par décalages successifs à partir du premier, par
leur point moyen. Le nuage initial de 7 points est remplacé par le
nuage de 5 points dont les fluctuations sont amorties.
On réalise un ajustement linéaire sur les 5 points. |x |2 |3 |4 |5 |6 |
|y |113 |130 |150 |166 |180 |
. Placer ces points dans le repère de la page 4. . Tracer la droite passant par les points (3; 130) et (6; 180). Cette
droite s'appelle la courbe des moyennes mobiles. 2. Corrections des variations saisonnières : Exemple : Voici les variations mensuelles du chiffre d'affaires d'un rayon dans un
grand magasin pour deux années consécutives (C.A. exprimé en milliers
d'euros).
Mois |janvier |février |mars |avril |mai |juin |juillet |août |septembre
|octobre |novembre |décembre | |Année 1 |100 |84 |125 |180 |152 |137 |86
|70 |98 |149 |154 |145 | |Année 2 |117 |114 |133 |207 |201 |160 |148 |124
|156 |188 |180 |166 | |Calculer la moyenne des deux chiffres d'affaires des
1. mois de janvier des 2 années ; effectuer le même calcul pour les 11
autres mois. On note [pic](i = 1, 2, 3, ..., 12) ces chiffres d'affaires mensuels
moyens. 2. Calculer le chiffre d'affaires moyen mensuel des 24 mois ; on le note
[pic]. 3. Déterminer les coefficients [pic] des variations saisonnières du chiffre
d'affaires pour chaque mois de l'année, à savoir : Ri = [pic]. Arrondir à 10-2 près. 4. En déduire les données corrigées des variations pour les chiffres
d'affaires mensuels de la deuxième année. Arrondir au kE. [pic]Donnée corrigée = [pic] 5. a) Calculer les chiffres prévisionnels des mois d'août et de décembre de la
troisième année à l'aide de l'équation de la droite d'ajustement donnant
l'évolution du chiffre d'affaires(en données corrigées) : y = 1,7 x +
1010 x = rang du mois ; y = CA en kE b) Calculer les chiffres d'affaires prévisionnels des mois d'août et
décembre de la troisième année en données brutes en utilisant les
résultats de la question précédente et les coefficients de variations
saisonnières des mois d'août et décembre. 1. Moyenne : voir tableau Mois |janvier |février |mars |avril |mai |juin |juillet |août |septembre
|octobre |novembre |décembre |Total | | |Année 1 |100 |84 |125 |180 |152
|137 |86 |70 |98 |149 |154 |145 |1480 | | |Année 2 |117 |114 |133 |207 |201
|160 |148 |124 |156 |188 |180 |166 |1894 |140,58 | |Moyenne mensuelle
|108,5