M237A = P4 - Cégep de Sainte-Foy

[pic] PLAN DE COURS
|Numéro du cours : |201 - NYC - 05 |
|Titre du cours : |Algèbre linéaire et géométrie vectorielle |
|Pondération : |3 - 2 - 3 |
|Programme : |Sciences de la nature |
|Préalable : |Maths : 536 |
|Numéro du groupe : | |
|Professeurs : |Louis Bérubé |
| |Simon Deschênes |
| |Pierre-André Neault |
| |Michel Ouellet |
|Bureau : | |
|Session : |Automne 2006 |
|Date : |8 août 2006 |
N.B. L'emploi de termes génériques masculins a simplement pour but
d'alléger le texte. THÉMATIQUE gÉnÉrale du cours CE COURS TRAITE DE DEUX BRANCHES DES MATHÉMATIQUES : L'ALGÈBRE LINÉAIRE ET
LA GÉOMÉTRIE VECTORIELLE. CE SONT DES ÉLÉMENTS DE BASE DU LANGAGE
MATHÉMATIQUE UTILISÉS DANS DIFFÉRENTS DOMAINES DE LA CONNAISSANCE.
L'ALGÈBRE LINÉAIRE JOUE UN RÔLE IMPORTANT EN MATHÉMATIQUES ET SES
APPLICATIONS SONT VARIÉES. LA GÉOMÉTRIE VECTORIELLE, QUANT À ELLE,
CONSTITUE UN CHAMP D'APPLICATIONS PRIVILÉGIÉ DE PLUSIEURS CONCEPTS DE
L'ALGÈBRE LINÉAIRE. On retrouvera dans ce cours les notions fondamentales constituant
normalement le contenu d'un premier cours d'algèbre linéaire et de
géométrie vectorielle. Les étudiants auront à résoudre des problèmes
impliquant le calcul matriciel et le calcul vectoriel. Nous tenterons
également de développer l'aptitude à faire des démonstrations. De façon plus générale, ce cours vise à :
? faire connaître l'algèbre matricielle et diverses méthodes de résolution
de systèmes d'équations linéaires ;
? faire connaître le calcul vectoriel et la géométrie vectorielle du plan
et de l'espace ;
? développer l'acuité de la perception spatiale ;
? développer la capacité de faire des démonstrations ;
? développer les capacités d'analyse et de synthèse ;
? développer la capacité d'abstraction en faisant ressortir qu'une même
structure peut se - retrouver dans différents contextes ;
? développer la capacité de produire des solutions claires et rigoureuses
notamment en soignant la présentation et le Français et en utilisant
correctement le langage mathématique ;
? développer l'aptitude à résoudre des problèmes concrets, c'est-à-dire
s'attarder à lire un énoncé, l'analyser, le comprendre, le transcrire
mathématiquement, le solutionner et l'interpréter. Ainsi, ce cours contribue à poursuivre certains buts généraux du programme
comme par exemple, «Appliquer la démarche scientifique», «Raisonner avec
rigueur», ... De façon plus particulière, le cours donne des outils
supplémentaires s'appliquant à d'autres cours du programme tel que les
cours « Électricité et magnétisme » et « Activité d'intégration ». Enfin, ce cours ne requiert aucun préalable spécifique si ce n'est ceux du
niveau secondaire prévus pour l'admission de l'étudiant en sciences au
collège. OBJECTIFS
Énoncé de la compétence:
Appliquer les méthodes de l'algèbre linéaire et de la géométrie
vectorielle à la résolution de problèmes
Éléments de la compétence: 1. Traduire des problèmes concrets sous forme d'équations
linéaires.
2. Résoudre des systèmes d'équations linéaires à l'aide de méthodes
matricielles.
3. Établir les liens entre la géométrie et l'algèbre.
4. Établir l'équation de lieux géométriques (droites et plans) et
déterminer leurs intersections.
5. Calculer des angles, des longueurs, des aires et des volumes.
6. Démontrer des propositions.
7. Construire des représentations de lieux géométriques dans le plan et
l'espace. CONTENUS,HABILETÉS ET ÉCHÉANCIER Étape 1 matrices, déterminants et systèmes d'équations linéaires
CONTENUS ET HABILETÉS À DÉVELOPPER . Connaître la terminologie associée à la théorie matricielle (matrice,
dimension, matrice ligne, matrice colonne, matrice nulle, opposé d'une
matrice, matrice carrée, ordre d'une matrice carrée, diagonale principale,
matrice unité et matrice triangulaire.)
. Énoncer la définition d'une matrice.
. Expliquer ce qu'est l'ordre d'une matrice.
. Énoncer la définition de l'égalité entre deux matrices.
. Additionner et multiplier des matrices.
. Multiplier une matrice par un scalaire.
. Transposer une matrice.
. Énoncer et utiliser les propriétés des opérations sur les matrices.
. Démontrer quelques-unes des propriétés des opérations sur les matrices. (
la commutativité de l'addition, l'associativité de l'addition, la
distributivité de la multiplication par un scalaire sur l'addition, la
distributivité de la somme des scalaires sur la multiplication par une
matrice.)
. Reconnaître une matrice symétrique, antisymétrique, triangulaire,
escalier, diagonale, scalaire ou identité.
. Énoncer la définition d'une matrice inverse.
. Vérifier que deux matrices sont l'inverse l'une de l'autre.
. Reconnaître qu'une matrice est la transposée d'une autre matrice.
. Représenter un système d'équations linéaires sous la forme matricielle.
. Énoncer et utiliser les propriétés des matrices transposées.
. Modéliser des situations concrètes à l'aide d'opérations matricielles.
. Énoncer la définition d'un déterminant.
. Trouver les cofacteurs des éléments d'une matrice carrée.
. Calculer un déterminant par la méthode des cofacteurs.
. Énoncer les propriétés des déterminants.
. Démontrer les propriétés des déterminants pour une matrice carrée d'ordre
3.
. Calculer un déterminant en utilisant les propriétés des déterminants.
. Trouver la matrice des cofacteurs d'une matrice carrée.
. Trouver la matrice adjointe d'une matrice carrée.
. Trouver la matrice inverse d'une matrice carrée par la méthode de la
matrice adjointe.
. Énoncer la condition d'existence de la matrice inverse d'une matrice
carrée.
. Énoncer et utiliser les propriétés de la matrice inverse.
. Démontrer quelques-unes des propriétés de la matrice inverse.
. Résoudre un système d'équations linéaires par la méthode de la matrice
inverse.
. Résoudre un système d'équations linéaires par la méthode de Cramer.
. Effectuer des transformations élémentaires sur une matrice.
. Résoudre un système d'équations linéaires par la méthode de la matrice
escalier.
. Résoudre un système d'équations linéaires par la méthode de Gauss-Jordan.
. Trouver la matrice inverse d'une matrice carrée à l'aide de
transformations élémentaires.
. Trouver le rang d'une matrice.
. Trouver le rang d'un système d'équations linéaires.
. Déterminer le nombre de solutions d'un système d'équations linéaires sans
le résoudre.
. Identifier un système d'équations linéaires consistant, un système
d'équations linéaires inconsistant.
. Déterminer si un système consistant a une solution unique ou une infinité
de solutions.
. Établir le lien entre le nombre de solutions d'un système d'équations
linéaires et son rang, notamment dans le cas d'un système homogène.
. Modéliser des situations concrètes à l'aide de systèmes d'équations
linéaires.
ÉCHÉANCIER
Durée de l'étape 1: ± 25 heures comprenant un examen à la fin de l'étape Étape 2 vecteurs et produits de vecteurs
CONTENUS ET HABILETÉS À DÉVELOPPER . Distinguer grandeur scalaire et grandeur vectorielle. (notamment en
utilisant la notation appropriée)
. Énoncer les définitions suivantes : vecteur géométrique, vecteur
algébrique, vecteurs équipollents, vecteurs opposés, vecteurs parallèles,
vecteur nul, vecteur unitaire, angle entre deux vecteurs.
. Représenter graphiquement un vecteur géométrique et un vecteur
algébrique.
. Additionner et multiplier par un scalaire des vecteurs géométriques et
algébriques.
. Énoncer et utiliser les propriétés des opérations sur les vecteurs.
. Décomposer un vecteur en deux autres vecteurs selon des directions
données.
. Utiliser la loi des cosinus et la loi des sinus pour trouver le module
d'un vecteur et un angle entre deux vecteurs.
. Exprimer graphiquement et analytiquement un vecteur comme combinaison
linéaire d'autres vecteurs.
. Énoncer la définition de vecteurs linéairement dépendants ou
indépendants.
. Démontrer la dépendance ou l'indépendance de vecteurs.
. Définir et identifier une base.
. Énoncer, utiliser et démontrer le théorème des points alignés.
. Résoudre des problèmes de géométrie en utilisant l'addition vectorielle,
le produit par un scalaire, la notion de combinaison linéaire, la
dépendance ou l'indépendance linéaire, le théorème des points alignés.
. Énoncer, sous la forme géométrique et algébrique, la définition du
produit scalaire, du produit vectoriel et du produit mixte.
. Énoncer et utiliser les propriétés des produits de vecteurs.
. Démontrer quelques-unes des propriétés des produits de vecteurs.
. Calculer un produit scalaire, un produit vectoriel et un produit mixte.
. Justifier toutes les étapes des deux démonstrations qui établissent les
formules de calcul des produits de vecteurs en base orthonormale.
. Calculer la longueur d'un vecteur.
. Calculer l'angle entre deux vecteurs.
. Trouver le module et les composantes d'un vecteur-projection.
. Résoudre des problèmes de géométrie en utilisant le produit scalaire.
. Trouver un vecteur perpendiculaire à deux autres vecteurs.
. Trouver un vecteur perpendiculaire à un plan.
. Calculer l'aire d'un triangle, d'un parallélogramme et d'un quadrilatère
quelconque.
. Calculer le volume d'un parallélépipède et d'un tét