universite d'angers - cours de mecanique des fluides - Université d ...

|Université d'Angers|Epreuve de |Année 1999-2000 |
| |Mécanique des Fluides | |
| |Examen | |
| |Jeudi 10 février 2000 | |
|[pic] | |Durée : 2h30 |
|Licence de Physique et Applications |S. Chaussedent | La calculatrice et le formulaire sont autorisés Problème 1 : Voile de Flettner (barème
indicatif : 8 pts)
Dans tout le problème, l'air pourra être considéré comme un fluide parfait
incompressible. Les écoulements seront considérés stationnaires et plans
(perpendiculaires à l'axe Oz). 1. Exprimer le potentiel complexe résultant de la superposition d'un
écoulement uniforme de vitesse [pic], et d'un dipôle de moment dipolaire
p>0 centré à l'origine. En déduire la fonction de courant [pic]ainsi que
le champ de vitesses dans le plan xOy. 2. Déterminer le (ou les) point(s) d'arrêt, et donner l'équation de la
ligne de courant passant par ce(s) point(s) d'arrêt. Tracer cette ligne
de courant. Expliquer pourquoi, si l'on remplace la surface délimitée par
cette ligne de courant par un corps solide, l'écoulement n'est pas
modifié. A quel système concret peut correspondre cette modélisation ? 3. Soit [pic] le moment dipolaire du dipôle modélisant la présence d'un
cylindre de hauteur h, de rayon R, dont l'axe de symétrie est Oz, placé
au sein d'un écoulement uniforme de vitesse [pic]. On se propose
d'étudier l'écoulement résultant lorsque ce cylindre est en rotation à la
vitesse angulaire [pic] autour de son axe de symétrie. La rotation de ce
cylindre peut se modéliser au moyen d'un vortex de circulation [pic].
Exprimer la vitesse générée par ce vortex à la distance R de l'origine.
En déduire l'expression de [pic] en fonction de R et [pic]. 4. Pour étudier l'écoulement du vent autour d'un mât de hauteur h, de rayon
R, en rotation à la vitesse angulaire [pic], on superpose les écoulements
précédents : l'écoulement uniforme de vitesse [pic] modélisant le vent,
le dipôle de moment p modélisant le mât, et le vortex de circulation
[pic] modélisant sa rotation. Exprimer le potentiel complexe total en
fonction de U, R et (. 5. Calculer la vitesse en tout point de la surface du mât. En déduire que
le cercle centré à l'origine et de rayon R constitue une ligne de
courant. A quelles conditions portant sur ( existe-t-il un (ou des)
point(s) d'arrêt à la surface du mât ? 6. En appliquant l'équation de Bernoulli entre un point situé loin du mât
(où la pression vaut p0 et la vitesse U) et un point d'arrêt sur la
surface du mât, déterminer la pression au point d'arrêt. Toujours en
appliquant l'équation de Bernoulli, en déduire la pression en tout point
de la surface du mât. 7. Calculer la résultante[pic]des forces de pression s'exerçant sur le mât
de hauteur h. On donnera l'expression de sa composante Fx suivant x, et
de sa composante Fy suivant y. Commenter le résultat obtenu pour Fx et
déterminer la valeur de ( donnant une force propulsive maximale dans la
direction des y croissants.
Problème 2 : Traînée s'exercant sur un avion (barème indicatif :
6 pts)
On souhaite déterminer la force de traînée D exercée par l'écoulement de
l'air sur un avion prototype d'aire frontale S, d'envergure l et
susceptible de voler dans l'atmosphère à la vitesse V de 400 km.h-1. Avant
de construire le prototype, on réalise une maquette de l'avion afin de la
tester en soufflerie, ce qui permettra la mesure expérimentale de la force
de traînée Dm exercée par un écoulement de vitesse Vm dans la soufflerie.
La maquette est construite à l'échelle a = 1/10 tout en respectant le
facteur de forme, c'est-à-dire que l'on conserve [pic]. L'air sera toujours
supposé incompressible. 1. Faire la liste des variables nécessaires à la description du système.
Ecrire l'équation aux dimensions de chacune d'elles et en déduire le
nombre de produits ( sans dimension qui décrivent ce système. Déterminer
chacun de ces produits (. 2. Donner une expression de la force de traînée D qui soit fonction du
facteur de forme, du nombre de Reynolds, et fasse apparaître la masse
volumique ( de l'air, la vitesse V et, soit l'envergure l, soit l'aire
frontale S (on supposera que la masse volumique et la viscosité de l'air
sont les mêmes dans les conditions réelles et en soufflerie). 3. Quelle doit être la vitesse Vm de l'écoulement généré en soufflerie pour
respecter la similitude hydrodynamique (ou similitude de Reynolds) ? Le
facteur de forme étant également respecté, quelle relation simple obtient-
on entre D et Dm ? La vitesse Vm est-elle compatible avec l'hypothèse
d'un fluide incompressible ? 4. Compte tenu des conclusions de la question précédente, on peut
contourner l'incompatibilité en jouant sur la masse volumique de l'air
utilisé en soufflerie. Considérant l'air comme un gaz parfait, établir
une relation entre la masse volumique ( et la pression p. En déduire la
pression qu'il est nécessaire de maintenir en soufflerie pour respecter
la similitude hydrodynamique et se limiter à une vitesse Vm = V. 5. En déduire une nouvelle relation entre D et Dm. Si l'on mesure
expérimentalement sur la maquette une force de traînée Dm = 4,5 N, quelle
doit être la puissance minimale de propulsion développée par le moteur de
l'avion prototype pour qu'il puisse voler dans l'atmosphère à la vitesse
V = 400 km.h-1 ?
Problème 3 : Ecoulement dans une conduite annulaire (barème indicatif :
6 pts) On considère une conduite annulaire de rayons interne R0 et externe R1 dans
laquelle s'écoule un fluide incompressible, non pesant, de viscosité µ.
L'écoulement est supposé laminaire, stationnaire et s'effectue suivant
l'axe de symétrie Oz de la conduite, dans la direction des z croissants, et
dans le domaine R0 < r < R1. 1. En tenant compte de la symétrie du problème, des hypothèses établies
concernant l'écoulement et de l'équation de continuité, montrer que la
vitesse en un point de l'écoulement s'exprime comme [pic]. 2. Après avoir posé et simplifié les équations de Navier-Stokes, montrer
que le gradient de pression est constant et déterminer le profil de
vitesse [pic]en fonction de R0, R1, µ et du gradient de pression [pic].
Discuter le signe de (.
----------------------- R0 R1 z O qv