LA THERMODYNAMIQUE D'UN IGLOO

ECOULEMENTs SUR UN OBSTACLE. MOUVEMENTS RELATIFS FLUIDE-obsTACLE.
1 Définition du potentiel. Soit un corps plongé dans un fluide dont [pic]et [pic]soit [pic].
Ceci entraîne[pic], de plus on impose des conditions aux limites de
glissement sur le corps et une condition de repos à l'infini telle
que[pic]. On trouve alors pour l'équation de e Bernoulli généralisée :
[pic]
On trouve alors une nouvelle fonction potentielle :
[pic]
Cette fonction représente le potentiel d'un écoulement, elle revient à
calculer la répartition des pressions autour d'un corps en translation à
vitesse constante dans un fluide au repos à l'infini.
[pic] représente le potentiel d'un écoulement de vitesse constante
[pic]en l'absence d'obstacle, le potentiel ? est appelé potentiel de
perturbation. 2 Définition de la fonction de courant. Soit 2 lignes équipotentielles tracées dans le plan et une courbe
quelconque coupant ces deux lignes aux points 0 et 1.
[pic]
La circulation ? du vecteur vitesse calculé le long de la courbe entre
les deux points 0 et 1 est de la forme :
[pic] sachant que [pic], alors la circulation prend la forme :
[pic]
Ce résultat, démontré quel que soit la courbe choisie, montre que la
circulation ne dépend que de la différence de potentiel entre deux points. Les transformations conformes
1 Introduction. La transformation conforme permet de résoudre l'écoulement autour
d'une forme quelconque à partir de l'écoulement autour d'une forme simple.
La comparaison entre l'écoulement théorique de fluide parfait autour
du cylindre est souvent décevante. Ceci est du au phénomène de décollement
observé sur la partie inférieure du cylindre.
Par contre, l'écoulement théorique obtenu autour de corps profilés,
déduit de l'écoulement autour du cercle donne de bons résultats. Pour cette
raison il est justifié d'utiliser la méthode des transformations conformes.
Il est donc indispensable de caractériser l'étude de l'écoulement autour du
cercle. 2 Etude de l'écoulement autour d'un cylindre.
1 Détermination des fonctions ? et ?. On trouve ? et ? en décomposant la fonction de courant F(z) telle
que :
[pic]
.
La fonction de courant obtenu par superposition de l'écoulement autour
d'un cylindre et avec un écoulement à circulation de vitesse centré en O
est :
[pic]
a : Rayon du cercle.
Vo : Vitesse de l'écoulement.
[pic] : Circulation de la vitesse
Il est démontré que la circulation entre deux points d'une courbe
quelconque, ne dépend que de la différence de potentiels entre les deux
points.
Si l'on étudie le même écoulement sous un angle d'incidence ? la
formule devient :
[pic]
[pic]
Si l'on pose [pic] alors on trouve :
[pic]
Soit par identification :
[pic]
[pic]
Ce calcul du potentiel complexe est le préalable indispensable pour
calculer les répartitions de pression, pour visualiser les lignes de
courant et pour déterminer les vitesses en tout point. 2 Détermination des vitesses autour de l'obstacle. Le champ des vitesses est obtenu en dérivant ? et ? :
[pic]
[pic]
Les points d'arrêts sont obtenus en A et A' pour V1=V?1=0, soit :
[pic]
[pic]
On trouve alors :
[pic]
[pic]
Bien évidemment Vmin est toujours positif. On en déduit donc que
Vo>[pic]. C'est la limite de l'écoulement réel pouvant être engendré sur un
obstacle cylindrique. 3 Détermination de l'effort de portance. La relation de Bernoulli entre l'infini amont et un point M
appartenant au cercle permet d'écrire :
[pic]
Cette relation nous permet de conclure que la partie du cercle
contenant les point AKA' est en dépression, car la vitesse y est grande, et
l'arc AK'A' est en surpression.
L'écoulement est symétrique par rapport à l'axe OZ, ce qui signifie
que la résultante aérodynamique sera de même sens et même direction que OZ.
[pic]
Si l'on remplace V² par [pic] alors on trouve :
[pic]
Soit finalement :
[pic]
Cette relation est la loi de Joukowski, exprimant la portance exercée
sur un obstacle par unité de longueur. 4 Détermination de la circulation ?. Dans cette expression, la circulation ? est indéterminée. Les
équipotentielles et les lignes de courant dépendent de cette valeur et ont
pour équation :
[pic]
La seconde équation montre que le cercle r = a est bien une ligne de
courant obtenue pour la valeur [pic] de la constante. Les points à vitesse
nulle vérifient l'équation[pic], ce qui après quelques modifications donne
pour les valeurs de z :
[pic]
On trouve alors en posant [pic] les deux valeurs de z appartenant au
cercle.
[pic]
On trouve alors [pic]
[pic] 3 Ecoulement autour d'une pointe.
1 Recherche des solutions. Soit un écoulement dont le potentiel complexe est F(z) = Vo*zn sachant
que Vo et n sont réels avec n > 0.
Il convient de rechercher s'il existe un obstacle matériel susceptible
de générer un tel écoulement et si la solution a un sens physique dans tout
ou partie du plan complexe.
Soit la vitesse complexe conjuguée, la fonction potentielle, et la fonction
de courant tels que :
[pic]
L'équation des lignes de courant est donnée par[pic], il est
intéressant d'étudier la ligne de courant[pic], soit :
R = 0 pour tout ? et ? = k?/n
La première condition signifie que la ligne de courant [pic] passe
nécessairement par l'origine du plan complexe. La seconde condition montre
que la ligne de courant [pic] est constituée de plusieurs branches
rectilignes, qui peuvent constituer autant de parois, et dont le nombre
dépend des valeurs entières de k comprises dans l'intervalle [pic] puisque
l'angle maximal des parois est ? = 2?.
Théoriquement il y a donc :
. une paroi pour 0