ECOULEMENTS POTENTIELS BIDIMENSIONNELS

GALICHET François
GUILLEUX Damien
REDACTION D'EXERCICES DE MECANIQUE DES FLUIDES
ECOULEMENTS POTENTIELS BIDIMENSIONNELS
1- Source
Exercice
Soit le potentiel complexe F(z) = c.ln(z)
On pose z = r.ei( 1 - Déterminer la partie réelle et la partie complexe du potentiel complexe
F(z) ?
En déduire la schématisation de ce potentiel.
2 - Déterminer la vitesse complexe w(z) liée à F(z) ?
3 - Déterminer le débit q de ce potentiel ?
En déduire l'expression de la constante c.
1 - Le potentiel complexe F(z) = c.ln(z)
F(z) = c.ln(r.ei()
F(z) = c.ln(r) + i.c.( , i étant
un complexe Or F(z) = ((z) + i.((z)
Donc
((z) = c.ln(r)
((z) = c.( 2 - La vitesse [pic] w(z) = [pic] w(z) = [pic]
donc
w(z) = (ur - i.u(). ei( avec ur = [pic]
u( = 0 3 - le débit q = [pic] q = [pic]
Donc q = 2.(.c D'où [pic] ECOULEMENTS TURBULENTS Une galerie de section circulaire dont la longueur est 4 km est
destinée à amener en charge un débit de 50 m3/s d'eau à une centrale
hydroélectrique. Brute de perforation, elle présente un diamètre moyen égal
à 5 mètres et des aspérités dont les dimensions moyennes sont de 0,6 m. On
envisage de la revêtir de béton, dont la mise en place coûte 450 FHT/m3, ce
qui ramènerait son diamètre à 4,80 m, mais en éliminant les aspérités, lui
assurerait un coefficient de perte de charge ( égal à 0,02.
Sachant que l'on ne veut pas consacrer à cette opération plus de dix
fois l'économie annuelle d'énergie ainsi réalisée et calculée sur la base
de 0,53 FHT le kWh et d'une durée annuelle de fonctionnement égale à 6 000
heures, déterminer s'il y a lieu de bétonner.
1/ Galerie non bétonnée
La puissance utile Pu = (P * Qv , (P étant les pertes de charges
Qv le débit
Le nombre de Reynolds Re = [pic]= 1,06.107
La permittivité relative (r = [pic] = [pic]= 0,1 ( on
obtient ( = 0,1 à l'aide du diagramme de Moody
Avec Colebrook simplifié : [pic]
( = 0,101
On en déduit
(Pnon bétonné = (.[pic].[pic]
(Pnon bétonné = 0,101 . [pic].103.[pic]
(Pnon bétonné = 1,05.105 Pa
On peut alors calculer
Punon bétonné = (P.Qv
Punon bétonné = 1,05.103 * 50
Punon bétonné = 5,2.103 kW
Pour une galerie non bétonnée, la puissance à fournir est 5200 kW
2/ Galerie bétonnée (lisse).
Les pertes de charges (P = (.[pic].[pic]
(P = 0,02.[pic]
(P = 6,36.105 Pa
Pubétonnée = (P * Qv = 6,36.105 * 50
Pubétonnée = 3181 kW
(Pu = Punon bétonnée - Pubétonnée
(Pu = 5200 - 3200
La puissance (Pu économisée en bétonnant la galerie est de 2000 kW.
Calculons l'énergie que représente cette puissance économisée.
W = (Pu. (t
W = 2000 . 6000
W = 12.106 kWh
Le prix de cette énergie P = 12.106 * 0,53
P = 6,36.106 FHT
Sur 10 ans, l'économie est 6,36.107 FHT
Or le prix du béton utilisé pour coffrer la galerie est Pbéton =
Vbéton . Prix du béton/m3
Soit Pbéton = 1,8.107 FHT
Ce qui représente une économie de 45,6 millions de francs hors taxes.
Ainsi le choix est indiscutable : il faut bétonner la galerie. ANALYSE DIMENSIONNELLE : application du théorème de Vaschy-Buschingham Un nombre sans dimension est un rapport entre deux grandeurs ou
groupements de grandeurs ayant la même dimension. Le théorème de Vaschy-
Buschingham permet de connaître la dimension d'une grandeur u en fonction
de n grandeurs indépendantes. 1 - Le déversoir
Un bac est alimenté en eau à l'aide d'une pompe et sur un coté, une
ouverture est réalisée. La forme de cette ouverture est modifiable : elle
peut être rectangulaire ou triangulaire. Exercice 1 : ouverture à forme rectangulaire. [pic] Déterminer la dimension du débit surfacique qv = [pic] en fonction des
grandeurs mesurables suivantes : la hauteur H, la largeur L et la pesanteur
g.
1/ Le débit qv est fonction de 3 grandeurs mesurables qui nécessitent
3 unités fondamentales : L1 = la longueur L, L2 = la masse M et L3 = le
temps T. 2/ Dressons le tableau suivant regroupant les dimensions des
différentes grandeurs :
[pic] 3/ Posons la matrice B = [pic] 4/ D'après le théorème de Vaschy-Buchingham, le nombre de grandeurs
adimensionnelles est : k = n - rang(B)
k = 3 - 3
k = 0 Ce résultat permet de conclure qu'il n'y a pas de (1 donc (1 = 0.
5 / Déterminons les composantes de y afin de trouver
l'expression de (. On sait que B. y = - a avec y = y1
y2
y3
y4 On obtient le système d'équations suivant : y1 + y2 - 3.y3 = -2
y3 = 0
-2 y2 = 1 y1 = -3/2
y2 = -1/2
y3 = 0 6/ Déterminons la valeur de ( ( = u.w1y1.w2y2.w3y3 ( = qv.H-3/2.g-1/2.(0 Or qv = [pic]
Soit Qv = ( ((1 = 1).L.H3/2.g1/2 Donc
Qv = K.L.H3/2.g1/2 avec K une constante
Application :
De nombreux barrages sont constitués de trappes rectangulaires
actionnées à l'aide de vérins. En connaissant la largeur du barrage et la
hauteur du niveau d'eau du barrage suivie à l'aide d'un capteur, il est
possible de déterminer le débit d'eau souhaité se déversant dans la
rivière.
[pic]
Exercice 2 : ouverture à forme triangulaire.
[pic] Déterminer la dimension du débit surfacique qv = [pic] en fonction des
grandeurs mesurables suivantes : la hauteur H, l'angle d'ouverture ( et la
pesanteur g.
1/ Le débit qv est fonction de 3 grandeurs mesurables qui nécessitent
3 unités fondamentales : L1 = la longueur L, L2 = la masse M et L3 = le
temps T. 2/ Dressons le tableau suivant regroupant les dimensions des
différentes grandeurs :
[pic] 3/ Posons la matrice B = [pic] 4/ D'après le théorème de Vaschy-Buchingham, le nombre de grandeurs
adimensionnelles est : k = n - rang(B)
k = 3 - 2
k = 1 Ce résultat permet de conclure qu'il y a un ( et un (i sachant que (1 =
w1x1.w2x2.w3x3. Et B. x = 0 En calculant B. x = 0, on obtient x x1 = 0
x2 = 0
x3 D'où (1 = H0.g0. (x3 (1 = (x3
5 / Déterminons les composantes de y afin de trouver
l'expression de (. On sait que B. y = - a avec y = y1
y2
y3
y4 D'où y1 = -5/2
y2 = -1/2
y3 ( (
6/ Déterminons la valeur de ( ( = u.w1y1.w2y2.w3y3 ( = Qv.H-5/2.g-1/2.(y3 = f((1) = f((1=(y3) Donc Qv = H5/2.g1/2. (y3.f(() D'où Qv = H5/2.g1/2.h(() Application :
Si ( et g sont constants alors Qv = f(H)
Qv = K.H5/2
On peut donc déduire uniquement à partir de H la valeur du débit Qv.
SIMILITUDE DES ECOULEMENTS. Exercice 1 :
Un bloque de béton de masse M1 = 100 kg, immergé dans l'eau, est
entraîné par glissement au fond d'une rivière dès que l'eau atteint une
vitesse de 3 m/s. Quelle doit être la vitesse de l'eau pour faire glisser un bloque
semblable de masse M2 = 150 kg ? [pic]
Hypothèses :
- La masse M2 = 150 kg
- La densité d2 = 3,5
- Le coefficient de frottement f1 = f2
- Le coefficient de traînée Cx1 = Cx2
- La force de frottement Ff = P.f Par définition, la traînée Fx = [pic] Le bloque de béton se déplacera lorsque la traînée et la poussée
d'Archimède compenseront les forces de frottement.
D'où
[pic] avec Fx1 = [pic]
Fx2 = [pic]
F1 = f1.(P - () avec
F2 = f2.(P - () Or (1 = (2 = (air
Cx1 = Cx2 Soit [pic] ( [pic] On a [pic] Et [pic] [pic] Le rapport [pic] De plus [pic] [pic] v2 = 3,92 m/s La vitesse de l'eau devra être supérieure ou égale à 3,92 m/s pour pouvoir
entraîner par glissement au fond de la rivière le bloque de béton de masse
M2 = 150 kg.
Exercice 2 : la digue Une digue constituée par un empilement de blocs de béton de masse
unitaire [pic] est soumise à la houle. La digue ne subit pas de dommages
tant que la hauteur [pic] ne dépasse pas 0,30 m.
Quelle devra être la masse minimale [pic] des blocs de béton pour que
la digue résiste à une houle de hauteur [pic] ? Résolution : La jetée commence à se détériorer lorsque le poids apparent P des
blocs n'est plus suffisant pour s'opposer aux efforts hydrodynamiques F dus
à la houle. On peut donc écrire :
[pic]
Ces efforts sont proportionnels à la surface apparente des blocs et au
carré de la vitesse de l'eau sur les blocs. On a donc