La réception des Vorlesungen über neure Geometrie de ... - Hal-SHS

La réception des Vorlesungen über neure Geometrie de Pasch par Peano Résumé : Peano écrit en 1888 le Calcolo geometrico. Un an après, il publie
I principii di geometria, où il développe, dans le sillage des Vorlesungen
über neure Geometrie de Pasch, une axiomatisation de la géométrie. Comment
concevoir le rapport entre ce projet et celui du calcul géométrique ? Dans
cet article, nous soulignons le profond fossé entre les deux entreprises :
alors que l'élaboration d'une algèbre géométrique vise chez Peano à
manifester la singularité des grandeurs spatiales par rapport aux nombres,
l'axiomatisation se développe de façon autonome et sans aucune référence à
la distinction entre entités géométriques et numériques. Mais nous montrons
dans un second temps que la façon dont Peano lit Pasch est complètement
tributaire de son engagement antérieur dans la tradition grassmannienne :
le segment AB n'est pas pour lui comme il l'est pour Pasch un objet
observable, mais le résultat d'un certain produit de points. Le tableau, au
final, est assez complexe : d'une part, calcul et axiomatique sont
supportées par des conceptions fondamentalement opposées de l'objet
géométrique ; en même temps, la méthode axiomatique, telle qu'elle se
développe dans I Principii, résulte d'une lecture de Pasch selon une grille
élaborée dans le Calcolo. Abstract : Peano wrote the Calcolo geometrico in 1888. One year later, in
1899, he published I Principii di geometria, in which he developed,
following Pasch's wake, an axiomatisation of geometry. What is the
relationship between this work and the previous elaboration of a
geometrical calculus ? In this article, we outline the deep difference
between the two methods : althrough the construction of a geometrical
algebra aimed at showing the specificity of spatial magnitudes, the
axiomatisation does not refer to the ontological distinction between
geometrical and numerical entities. However, we show that the way Peano
read Pasch's Vorlesungen depended on his previous involvement in the
Grasmannian tradition : for him, the segment AB does not refer (as it did
for Pasch) to an observable object, rether, AB designates the result of a
new geometrical product. In the end, the situation is quite complicated :
on the one hand, the algebra and the axiomatic are grounded, in Peano's
thought, on completely opposite conceptions of geometrical object ; on the
other, the axiomatic method, as it is developed in I Principii, results
directly from an interpretation of Pasch entirely based on the Calcolo. En 1889, Peano rédige deux articles qui constituent le point de départ de
son entreprise de réécriture de l'ensemble des mathématiques : le très
célèbre Arithmetices Principia, nova methodo esposita, consacré aux
fondements de l'arithmétique, et I principii di geometria logicamente
esposti, portant sur les principes de la géométrie. Comme le manifeste le
choix des sous-titres, une commune « nouvelle méthode d'exposition »,
logique, axiomatique, se dégage de ces travaux. Dans la préface du premier
opuscule, Peano caractérise son approche en ses termes : Si les questions
de fondement des mathématiques, « bien que très travaillées [...], n'ont
reçu pour l'heure aucun traitement satisfaisant », cela est dû, selon
Peano, principalement à « l'ambiguïté du langage ordinaire ». Or, à l'aide
de la nouvelle notation et méthode logique utilisée dans les deux articles
:
Les questions relevant des fondements des mathématiques, bien que
beaucoup travaillées de nos jours, manquent encore d'une solution
satisfaisante. Les difficultés les plus grandes proviennent de
l'ambiguité du discours.
Pour cette raison, il est de la plus haute importance de considérer
attentivement les mots que nous utilisons. J'ai pris la décision de
faire cet examen, et présente dans cet article les résultats de mon
étude, ainsi que des applications à l'arithmétique.
J'ai indiqué par des signes toutes les idées qui apparaissent dans les
fondements de l'arithmétique, de façon à ce que chaque proposition
soit énoncée à l'aide de ces seuls signes. [...]
Grâce à cette notation, chaque proposition [du système] possède la
forme et la précision dont les équations jouissent en algèbre, et de
ces propositions ainsi écrites d'autres peuvent être déduites, par un
processus qui ressemble à celui de la résolution des équations
algébriques.[1]
Ce n'est donc qu'en usant d'une notation artificielle respectant les
articulations conceptuelles que le mathématicien peut espérer, selon Peano,
se libérer des associations non justifiées que la langue commune introduit
dans le contenu scientifique, et fonder de façon enfin satisfaisante les
mathématiques.
Mais dans l'extrait cité, un autre élément attire l'attention : la
comparaison de la déduction à la résolution d'équation, et celle de la
proposition à une équation. La comparaison arrête surtout lorsqu'on la
replace dans le contexte des travaux de Peano. Le mathématicien a, en
effet, publié en 1888, un an avant d'écrire ces lignes, un ouvrage intitulé
Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann, consacré,
comme son nom l'indique, aux algèbres géométriques et plus particulièrement
au calcul grassmanien. Quel rapport faire entre le Calcolo et les deux
articles de 1889 ? En quoi la méthode employée dans Arithmetices principia
et I principii est-elle nouvelle, si en la présentant, Peano la compare à
celle, toute algébrique, de la résolution d'équation ? Plus généralement,
comment concevoir, chez le mathématicien italien, la relation entre calcul
et axiomatique ?
L'idée qu'il y a une continuité entre la tradition du calcul géométrique et
l'approche fondationnelle ultérieure est souvent avancée dans la
littérature secondaire : le Calcolo représenterait la première étape du
processus aboutissant au projet d'axiomatisation développé dans la
Rivista[2]. A l'inverse, la distinction, effectuée pour la première fois
par van Heijenoort, entre la logique comme langue et la logique comme
calcul pourrait suggérer une opposition entre l'approche axiomatique et
celle de l'algèbre géométrique[3]. Même si la position de Peano à l'égard
de la logique n'est pas facilement caractérisable[4], la nouvelle
présentation adoptée en 1889, qui met en avant l'existence d'une partie
logique commune à toutes les branches mathématiques, paraît plus propice au
développement d'un universalisme logique, que le modèle algébrique déployé
dans le Calcolo.
Nous voudrions, dans ce qui suit, défendre deux thèses. La première est
qu'il y a discontinuité sur le plan de la méthode entre le Calcolo et I
principii. [Peano 1888] est la mise au point d'un symbolisme s'appliquant
directement à un certain type d'entité spécifiée par avance ; la méthode
nouvelle mobilisée dans I principii entend caractériser de manière complète
un domaine de réalité en ne se référant qu'à ses propriétés formelles. Mais
notre seconde thèse atténue quelque peu cette première opposition : la
référence au calcul est encore bien présente dans I principii et permet à
Peano, qui suit les Vorlesungen de très près, de renouveler complètement
l'approche développée par Pasch. La reformulation, en terme algébrique, des
concepts géométriques fondamentaux, élimine les contraintes très fortes que
le parti-pris empiriste du mathématicien allemand (Pasch) faisait peser sur
sa propre pratique. Pour le dire autrement, c'est grâce au calcul que Peano
réussit à penser l'axiomatique comme un système abstrait.
Dans la première section de l'article, nous montrerons en quoi la méthode
du Calcolo diffère de celle utilisée dans I principii. Dans la seconde
partie, nous présenterons l'axiomatisation proposée dans I principii et la
comparerons à celle exposée dans les Vorlesungen. Enfin, dans un dernier
temps, nous pointerons, en prenant quelques exemples, la différence
fondamentale entre Peano et Pasch.
I- I Principii di geometria présente un système qui ne contient, outre les
symboles logiques, que deux signes primitifs, les lettres de point et de
segment :
Le signe 1 se lira point. [...]
Si a, b sont des points, par ab nous entendrons la classe formée des
points intérieurs au segment ab. Ainsi, la formule c ( ab signifiera
« c est un point intérieur au segment ab ».[5]
Tous les autres concepts fondamentaux, notamment ceux de droite et de plan,
sont définis à partir de ces deux là. Mais quel statut ont ces entités
primitives ?
Que ce soit en 1889 ou en 1894[6], Peano ne conçoit pas les concepts
géométriques primitifs comme étant définis implicitement par l'ensemble des
axiomes. Suivant la plupart de ces contemporains, en particulier Pasch, le
mathématicien italien considère alors la géométrie comme une science de la
nature, qui décrit certaines propriétés élémentaires des corps. Peano écrit
ainsi dans la préface de I Principii di geometria :
Quelles sont, parmi les entités géométriques, celles que nous pouvons
définir et celles qu'il nous faut admettre sans définition ?
Et, parmi les propriétés de ces entités qui sont empiriquement vraies,
lesquelles pouvons-nous admettre sans démonstration, et lesquelles
devons-nous déduire comme conséquence ? [nous soulignons] [7]
Dans Sui fondamenti della geometria, il est encore plus explicite :
Avant d'abandonner ce sujet, une remarque concernant la nature
pratique ou empirique des postulats sera encore