EXERCICE III L'atome d'hydrogène (4 points)

Bac S ( Antilles Guyane septembre 2010
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EXERCICE III. L'ATOME D'HYDROGÈNE (4 points) On se propose dans cet exercice d'étudier le modèle de l'atome d'hydrogène
proposé par Niels Bohr en 1913. Ce modèle est une continuité du modèle
planétaire proposé par Ernest Rutherford, avec cette différence essentielle
que Niels Bohr introduisit un nouveau concept, à savoir la quantification
des niveaux d'énergie dans l'atome. 1. Mouvement de l'électron dans l'atome Pour commencer cette étude, on suppose que l'électron est animé d'un
mouvement circulaire et uniforme de rayon R autour du proton. Les
caractéristiques du mouvement de l'électron sont exprimées dans la base
mobile de vecteurs unitaires [pic]et [pic] comme indiqué sur le schéma qui
suit :
L'électron est soumis à une force d'interaction électrostatique [pic]
centripète :
[pic]
où R est le rayon de l'atome, e la valeur de la charge électrique
élémentaire et k une constante. 1.1. Représenter sur le schéma en annexe à rendre avec la copie cette force
d'interaction. 1.2. On rappelle que la charge élémentaire e s'exprime en Coulomb (C).
Déterminer alors l'unité de la constante k. 1.3. Dans le cas d'un mouvement circulaire et uniforme, écrire l'expression
du vecteur accélération [pic] dans la base mobile ([pic],[pic]), ceci en
fonction de la valeur de la vitesse [pic] de l'électron et du rayon R de la
trajectoire circulaire.
1.4. En appliquant une loi dont on donnera le nom, montrer que la valeur de
la vitesse [pic]est donnée par l'expression suivante :
[pic]
1.5. Calculer la valeur de cette vitesse. On donne :
m = 9,109.10-31 kg e = 1,602.10-19 C R = 5,3.10-11 m et k =
9,0×109 SI 1.6. Connaissant l'expression littérale de la vitesse V, déterminer
l'expression littérale de son énergie cinétique EC. 1.7. Calculer la valeur de cette énergie cinétique, puis convertir celle-ci
en électron-volt (eV).
On donne : 1 eV = 1,602.10(19 J.
2. La quantification de Bohr Dans le modèle de Bohr, l'énergie de l'atome est quantifiée. 2.1. Expliquer succinctement ce que signifie l'adjectif «quantifié». On
pourra, pour illustrer le propos, faire une comparaison avec l'énergie
déterminée dans le cadre de la mécanique de Newton. L'énergie de l'atome d'hydrogène se met sous la forme :
[pic] où n est un nombre entier strictement positif appelé nombre quantique
principal. À chacune de ces énergies est associée une orbite circulaire de l'électron
dont le rayon rn vérifie : rn = a0 n² avec a0 une grandeur appelée « rayon de Bohr », valeur du rayon de l'atome
pour la plus petite valeur de n à savoir n = 1. 2.2. Compléter le tableau joint dans l'annexe à rendre avec la copie en
indiquant la valeur de l'énergie de l'atome ainsi que le rayon de l'orbite
de l'électron en fonction de n. Le rayon sera exprimé en multiple de a0. |n |1 |2 |3 |4 |5 |
|En (eV) |(13,6 |(3,40 |(1,51 | | |
|rn |a0 |4a0 |9a0 | | | 2.3. Vers quelle valeur évolue l'énergie En de l'atome lorsque la valeur du
nombre quantique principal n devient très grande ? Même question concernant
la valeur du rayon rn.
L'image que l'on peut donner à l'électron en interaction avec le proton
dans l'atome d'hydrogène est celle d'un puits dans lequel l'électron serait
«piégé». Le document fourni en annexe, donne une représentation graphique
de ce puits. 2.4. Quelle énergie minimale faut-il fournir à l'atome pour «libérer»
l'électron de ce puits ? 2.5. Quelle modification subit l'atome d'hydrogène si l'électron est
«libéré» de ce puits ? 2.6. On apporte à l'atome, dans son état de plus basse énergie E1, une
énergie (E = 10,2 eV (on ne cherchera pas à savoir comment). Dans quel état
énergétique se retrouve alors l'atome après avoir reçu cette énergie ? 2.7. Dans ce nouvel état, l'atome est instable et va chercher à retrouver
son état de plus basse énergie. Ce phénomène s'accompagne de l'émission
d'un photon. Déterminer sa fréquence puis sa longueur d'onde dans le vide. On donne h = 6,62.10(34 J.s et c = 3,00.108 m.s(1 2.8. À quel domaine spectral appartient la radiation émise ?
Annexe de l'exercice III. à rendre avec la copie
Question 1.1.
|n |1 |2 |3 |4 |5 |
|En (eV) |-13,6 |-3,40 |-1,51 | | |
|rn |a0 |4a0 |9a0 | | |
Question 2.2. Question 2.3. -----------------------
R électron [pic] [pic] [pic]
Ne sont représentés sur ce diagramme que les trois premiers niveaux
d'énergie, à savoir E1 (le niveau fondamental ou fond du « puits ») E2 et
E3 En (eV) 0 E3 E2 E1 = -13,6 eV Fond du « puits »
proton proton [pic] [pic] [pic] électron R