Discrimination et statistique - Statistix

Discrimination et statistique :
analyse d'une argumentation statistique en terminale scientifique
Groupe « statistique et citoyenneté », IREM de Paris Nord. Objectifs
Méthodes Exploiter une situation réelle.
Étude d'un texte judiciaire à contenu mathématique. Contenus Loi binomiale et fluctuations d'échantillonnage. Durée Exercice « sur feuille » de 20 minutes (les copies sont corrigées mais
non évaluées).
Correction et discussion d'environ 20 minutes. Organisation de l'activité Les élèves connaissent la loi binomiale.
- Exercice à traiter, à la fin d'un cours, sur une photocopie distribuée.
Les élèves sont avertis que « cela ne sera pas noté ».
- Rendu des copies et correction, suivi d'une discussion, à la séance
suivante. Séance 1 : recherche de l'exercice « sur feuille »
Énoncé distribué aux élèves Des arguments de type probabiliste peuvent être avancés et pris en compte
dans les Cours de justice. Un accusé d'origine mexicaine, condamné pour
vol et tentative de viol dans un comté du sud du Texas attaqua le
jugement sous le motif que la désignation des jurés dans l'Etat du Texas
était discriminatoire pour les Américains d'origine mexicaine. Son
argument était que ceux-ci n'étaient pas suffisamment représentés dans
les jurys populaires. Attendu de la Cour Suprême des Etats-Unis (affaire Castaneda contre
Partida)[1] :
« Si les jurés étaient tirés au hasard dans l'ensemble de la population,
le nombre d'américains mexicains dans l'échantillon pourrait alors être
modélisé par une distribution binomiale... Etant donné que 79,1 % de la
population est mexico-américaine, le nombre attendu d'américains
mexicains parmi les 870 personnes convoquées en tant que grands jurés
pendant la période de 11 ans est approximativement 688. Le nombre observé
est 339. Bien sûr, dans n'importe quel tirage considéré, une certaine
fluctuation par rapport au nombre attendu est prévisible. Le point
essentiel cependant, est que le modèle statistique montre que les
résultats d'un tirage au sort tombent vraisemblablement dans le voisinage
de la valeur attendue... La mesure des fluctuations prévues par rapport à
la valeur attendue est l'écart type, défini pour la distribution
binomiale comme la racine carrée de la taille de l'échantillon (ici 870)
multiplié par la probabilité de sélectionner un américain mexicain (ici
0,791) et par la probabilité de sélectionner un non américain mexicain
(ici 0,209)... Ainsi, dans ce cas, l'écart type est approximativement de
12. En règle générale pour de si grands échantillons, si la différence
entre la valeur attendue et le nombre observé est plus grand que deux ou
trois écarts types, alors l'hypothèse que le tirage du jury était au
hasard serait suspect à un spécialiste des sciences humaines. Les données
sur 11 années reflètent ici une différence d'environ 29 écarts types. Un
calcul détaillé révèle qu'un éloignement aussi important de la valeur
attendue se produirait avec moins d'une chance sur 10140. » Questions
Définir la variable aléatoire qui, dans cette situation, suit une loi
binomiale.
Quels sont les paramètres de la loi binomiale ?
A quel calcul correspond la valeur 688 ?
Effectuer le calcul de l'écart type.
A quoi correspond la « différence de 29 écarts types » ?
A quel événement correspond la probabilité 10-140 ?
La constitution des jurys est-elle au hasard ? Séance 2 : correction, compte-rendu des copies et discussion
« Corrigé » distribué aux élèves Définir la variable aléatoire qui, dans cette situation, suit une loi
binomiale.
Il s'agit de la variable aléatoire X qui à 870 personnes tirées au sort
dans la population (celle-ci étant très importante, on peut assimiler ces
tirages à des tirages avec remise) associe le nombre de personnes
d'origine mexicaine.
Quels sont les paramètres de la loi binomiale ?
n = 870 et p = 0,791 .
A quel calcul correspond la valeur 688 ?
688 correspond au calcul de l'espérance : np ? 688,17 .
Effectuer le calcul de l'écart type.
On a ? = ? (870 × 0,791 × 0,209) ? 11,99 ? 12 .
A quoi correspond la « différence de 29 écarts types » ?
29 écarts types correspond à la différence entre la valeur observée de la
variable aléatoire, c'est-à-dire 339, et l'espérance.
A quel évènement correspond la probabilité 10-140 ?
Cela correspond à la probabilité d'observer une valeur inférieure d'au
moins 29 écarts types de l'espérance, c'est-à-dire : P(X ? 351) [2]
La constitution des jurys est-elle au hasard ?
La probabilité précédente est beaucoup trop faible pour considérer que la
variable aléatoire binomiale introduite ici modélise correctement la
situation. Analyse de quelques copies d'élèves La copie suivante peut-être considérée comme une « bonne » copie.
[pic]
La réponse suivante, bien que correcte, n'est pas argumentée, peut-être
par manque de temps.
[pic]
Il est à noter que lors de la discussion qui a suivi la correction, est
apparu le fait qu'une probabilité de 10 - 140 ne semble pas immédiatement
« humainement impossible » à un certain nombre d'élève. On peut songer à
l'exemple des singes dactylographes de Borel. Il est en tout cas
essentiel de signaler que face à une telle probabilité, il faut
absolument chercher une autre explication possible.
Bilan de l'activité S'agissant d'une classe de terminale S à option « sciences de
l'ingénieur », a priori peu « littéraire », le texte a été plutôt bien
compris et l'aspect littéraire de l'exercice n'a pas vraiment posé de
problème. En revanche c'est l'argumentation qui était souvent
défaillante. Les élèves ont trop tendance à se contenter d'affirmations
non justifiées, voire péremptoires : un tel exercice n'est donc pas
superflu !
Les avis des élèves sur l'activité sont partagés. Plusieurs élèves ont
trouvé ce travail « plus intéressant que ce que l'on fait d'habitude »,
parce qu'il s'agit de la « vraie vie ». Une élève a même affirmé que
« s'il y avait eu plus souvent ce type d'exercice en mathématiques, elle
se serait peut-être davantage intéressée à la matière » (il s'agit d'une
élève ayant des résultats généralement en dessous de la moyenne et
travaillant peu). D'autres élèves cependant, ont trouvé ce travail « plus
difficile » que les exercices classiques, et à la question « Que
penseriez-vous de ce type d'exercice en maths au bac S (analyse d'un
texte scientifique comme cela se fait en physique) ? », ils ont répondus
qu'ils ne voulaient pas de ce type d'exercice à l'examen. Des prolongements Les calculs précédents montrent qu'on ne peut pas considérer que les
jurys résultent d'un tirage au sort où chaque élément de la population a
les mêmes chances d'être choisi. Mais c'est tout ce que l'on peut dire
et, en particulier, on n'a aucune information pour se prononcer sur les
causes : on ne peut donc pas porter immédiatement des accusations de
discrimination raciale.
L'étude statistique précédente doit inciter à enquêter plus sur les
conditions de constitution des jurys.
On constatera :
- que pour être juré on doit maîtriser la langue anglaise (écrite et
parlée) : ce qui n'est pas le cas d'une partie de la population d'origine
hispanique :
- que pendant les 11 années correspondant à l'étude, la proportion des
hispaniques dans la population a évolué,
- que la proportion d'hispaniques dans les jurys a également évolué au
cours de ces 11 années.
La preuve statistique, telle qu'elle est apportée ici, est donc
contestable au niveau du choix de la population de référence : celle-ci ne
devrait pas être toute la population mais seulement la sous population de
ceux qui ont plus de 18 ans, parlent lisent et écrivent l'anglais.
A titre de prolongement de cette activité, il pourrait être
intéressant de faire rédiger aux élèves une contre argumentation
statistique à partir de ces éléments.
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[1] In : "Prove It with Figures (Statistics for Social Science and
Behavorial Sciences)" - Hans Zeisel, D. H. et D. Kaye - Springer 2006. [2] Plus précisément, pour une variable aléatoire X de loi binomiale de
paramètres 870 et 0,791 , on a :
P(X £ð 339) H"4,2.10 1
1
res 870 et 0,791 , on a :
P(X ? 339) ?4,2.10 - 145.