Etude des exercices de bac sous l'angle de la TAD modifié ... - Hal

Site mathématiques d'une ROC : une nouvelle
façon d'interroger un exercice ? Christian Silvy(1), Antoine Delcroix(1,2) (1) CRREF
IUFM de la Guadeloupe
Morne Ferret, BP 517, 97178 Abymes Cedex (2) Laboratoire AOC
UFR Sciences exactes et naturelles
Campus de Fouillole, Université Antilles-Guyane
97159 Pointe à Pitre Cedex Résumé : 1
1. Introduction 2
2. Premières analyses de la ROC 2
2.1 Première lecture 2
2.2 Panorama général 3
Point de vue historique 3
Point de vue institutionnel (évolution des programmes) 3
Point de vue des pratiques de l'oral du baccalauréat. 4
Point de vue mathématique 5
3. Méthodes de résolution 5
4. Ecologie didactique : outils- concepts 7
Concept de pré-requis 7
Notion de site mathématique 8
Construction du site mathématique de la ROC 9
5. Discussion et conclusion 12
Bibliographie 15
Résumé :
L'introduction des restitutions organisées de connaissances (ROC) dans les
épreuves du baccalauréat, à partir de 1995, est une réponse de
l'institution à la volonté de rendre plus efficace l'enseignement en cycle
terminal. Cet article s'appuie sur l'analyse de la ROC du sujet Antilles
Guyane session 2006 par une approche anthropologique en proposant la
construction de son « site mathématique ». Au travers de cet exemple sont
interrogées certaines caractéristiques du concept ROC comme sa cohérence
(notamment institutionnelle) et sa transparence de cette évaluation.
Mots clés : site mathématique, restitution, ROC, Descartes, habiletés,
connaissances, savoirs, pré-requis, réorganisation, méthode, baccalauréat,
CAPES, CAPLP, évaluation.
1. Introduction L'introduction, dans le cadre des épreuves du baccalauréat 2005,
d'exercices novateurs, dont un pilier est la restitution organisée de
connaissances (ROC), est une réponse proposée par l'institution à la
nécessité de rendre plus efficace l'enseignement en cycle terminal. L'idée
sous jacente est que l'on peut contribuer à atteindre cet objectif en
agissant en amont, par le moyen de l'évaluation certificative.
L'affirmation selon laquelle " le baccalauréat pilote l'enseignement du
cycle terminal " [direction Bernard David, 2000] ou bien celle qui stipule
que " le mode d'évaluation aux examens structure les contenus de
l'enseignement et organise la scolarité " (selon une déclaration d'André
Périssol à l'assemblée Nationale en 2005) illustrent ce postulat. Cet article, qui fait état de recherches effectuées pour un travail de
thèse, s'appuie sur une étude de la ROC du sujet Antilles-Guyane session
2006 dans le cadre de la théorie Anthropologique du Didactique formulée
par Y. Chevallard en 1989. L'article construit le site mathématique de la
ROC étudiée [P. Duchet , K. Erdogan, 2005] : nous postulons en effet que la
construction du site mathématique local d'une ROC permet d'appréhender par
niveau de praxéologie croissant, les connaissances ou les coutumes
mathématiques à enseigner pour préparer les élèves à devenir des résolveurs
[C. Castela 2008]. Nous partons d'une première analyse situant la ROC selon les points
de vue, historique/ institutionnel/ des pratiques (à l'oral du
baccalauréat)/ mathématiques. Nous poursuivons notre étude par
l'explicitation des méthodes de résolution, permettant de préciser son
écologie didactique. L'ensemble de ces éléments permet alors la
construction du site.
L'orientation choisie permet d'interroger au travers de cet exemple,
certaines caractéristiques du concept de ROC, notamment celles liées à
l'introduction de pré-requis dans une épreuve de baccalauréat. Dans cet
ordre d'idées, montrons que contrairement à son acronyme ROC elle n'évalue
pas seulement que des connaissances mathématiques. Nous testerons également
la cohérence du concept, tant au niveau institutionnel qu'au niveau des
connaissances requises. L'ensemble de ces questionnements permet de montrer
que la ROC n'est probablement pas un mode d'évaluation à rejeter même si
elle ne constitue pas une réponse parfaite aux différentes fonctions qui
lui ont été assignées par l'institution.
2. Premières analyses de la ROC 1. Première lecture Voici le sujet tel qu'il fut proposé aux candidats, à la session 2006
du Baccalauréat série S Antilles Guyane : Restitution organisée de connaissances Pré-requis :
- La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ; +? [ et sa
fonction dérivée est la fonction inverse [pic]
- ln(1)=0 Démontrer que pour tous réels strictement positifs a et x,
ln(ax) = ln(a)+ln(x) Un élève résolveur [C. Castela, 2008] qui lit pour la première fois le
sujet remarque deux codages de natures différentes qu'on peut considérer
comme relevant du champ protomathématique [Y. Chevallard, 1985].
Le premier codage consiste à noter ln(x) à la place du plus habituel
lnx. Ce code fait référence à la valeur de la fonction ln prise au point x,
comme il réfèrerait à une fonction f non précisée prise au point x.
L'ostensif (x) est d'un usage commun. Il s'emploie dans la classe à partir
de la seconde. Ainsi, après trois occurrences du mot « fonction » dans les
pré-requis, ce codage situe bien la ROC dans le champ des « fonctions ». Le deuxième code est le choix des lettres a et x. Traditionnellement
les lettres a, b, c désignent dans un contexte mathématiques des constantes
inconnues tandis que x, y et t sont des variables. L'auteur suggère au
résolveur que x sera traité comme une variable et a comme une constante. Remarquons également que le concepteur a choisi de donner comme pré-
requis non une définition de la fonction ln mais une propriété de celle-ci.
En effet il aurait pu choisir d'écrire « La fonction logarithme népérien
est la primitive définie sur ]0 ; +[pic][ de la fonction inverse [pic] qui
s'annule en 1 ». Ce choix dans l'évaluation finale indique, par son
caractère inhabituel, un objet précis : la dérivation. Dans le même ordre
d'idées le concepteur n'introduit pas l'objet du problème en le citant
comme étant une propriété ni une relation fonctionnelle mais simplement une
démonstration. Ainsi dans l'énoncé de cette ROC, l'implicite occupe une place
première. Pour reconnaître les concepts protomathématiques,
paramathématiques[1] ou mathématiques l'élève résolveur doit montrer une
« habileté de lecture mathématique », habileté au sens du mot latin
« habilis » : "qui ont des habitudes, qui « savent y faire ». C'est la
notion anglaise de « craft », de « clever » (adresse et présence d'esprit
et habitude), c'est l'habileté à quelque chose. Encore une fois nous sommes
bien dans le domaine technique. " [M. Mauss, 1950] En conséquence une
lecture attentive du sujet permet à cet « expert » de décoder et donc de
choisir les techniques [Y. Chevallard, 1989], la variable et la stratégie. 2. Panorama général Point de vue historique Sans entrer dans un long développement[2], mentionnons qu'après la
découverte des logarithmes par une approche cinématique, leur
reconnaissance mathématique découle du fait qu'ils sont une réponse aux
calculs longs et difficiles en astronomie. Les calculs de multiplication
ou de division sont remplacés par deux correspondances dans une table et
une addition. C'est au début du XVII° siècle que John NAPIER publie son
traité Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, où il donne des tables de
correspondances. Nous pouvons donc dire que la propriété énoncée dans la
ROC est à la base du concept logarithme. Cette naissance, si elle ne dépend
pas des exponentielles, est cependant liée à la suite des puissances d'un
nombre et de celle de ses exposants. En effet la suite q,q²,..qn peut
être mise en relation avec 1,2 ,...n. Nous retrouvons alors la propriété
qui fonde notre exercice, un produit qpqr est en relation avec p+r grâce
à la propriété des puissances. Point de vue institutionnel (évolution des programmes) Dans les programmes antérieurs à 2002 les logarithmes introduisent les
nouvelles fonctions de terminale. Elles sont donc vues comme fondement de
la fonction exponentielle. Dans le programme de 1971 par exemple « La
fonction logarithme népérien est définie sur R*+ par [pic]; la fonction
exponentielle sera obtenue comme réciproque de la fonction logarithme
népérien. On justifiera les règles de calcul et l'isomorphisme ainsi établi
entre le groupe additif (IR*+, +) et le groupe multiplicatif
(IR*+,[pic]) »[3]. Cette introduction est conservée dans les années 1980. Le programme des années 1990 n'impose plus « le mode d'introduction des
fonctions ln et exp » [BO du 13 juin 1997, p18]. « L'existence et la
dérivabilité de ces fonctions peuvent être admises. En revanche, les
propriétés des fonctions ln et exp feront l'objet de démonstrations »
Le programme de 2002 marque une rupture avec les précédents pour
l'introduction de la fonction ln. La fonction exp est introduite le plus
tôt possible avant celle de logarithme. Elle doit occuper une place
centrale. La fonction logarithme népérien n'est plus la première fonction
« transcendante » étudiée en classe de terminale. Elle perd ainsi sa place
dans la progression au profit de la fonction exponentielle. Document 1[4]
Étude des