Corrigé de l'examen du 18 avril 2013 (durée 2h)

Université Paul Sabatier (Toulouse 3) Magistère Économiste Statisticien
M1 - Processus Année 2012-2013
Corrigé de l"examen du 18 avril 2013(durée 2h)
Documents et calculatrices interdits. Toute utilisation d"un résultat du cours devra être soigneusement
justifiée. Les trois exercices sont indépendants.
Exercice 1 :On considère la matriceQde taille77suivante :
Q=0
B
BBBBBBB@1=5 0 2=50 0 0
0 8=9 0 0 1=9 0 0
3=4 0 0 0 0 1=4 0
0 0 0 0 0 0 1
0 1=8 0 0 0 0 7=8
0 0 0 0 0 1 0
0 0 1=9 0 8=9 0 01
C
CCCCCCCA;
où0.
a)
P ourqu ellev aleurde ,Qest-elle une matrice stochastique?
b)
Soit (Xn)n0une chaîne de Markov associée à la matrice de transitionQ, pour la valeur de
trouvée à la question 1). Dessiner le graphe de(Xn)n0en précisant les probabilités de transition
entre les différents états.
c)
Détermin erles classes d"états récurren tset transitoires.
d)
La c haîneest-elle irréductible ?
e)
Calcul erP1(X2= 3),P7(X2= 4)etP5(X2= 5).
Exercice 2 :Soitun paramètre tel que0< 0. Alors,
P(Sn+1=xn+1jS1=x1;:::;Sn=xn) =P(Sn+Xn+1=xn+1jS1=x1;:::;Sn=xn)
=P(xn+Xn+1=xn+1jS1=x1;:::;Sn=xn)
=P(Xn+1=xn+1xn);
par indépendance entreXn+1et les v.a.S1;:::;Sn. De même,P(Sn+1=xn+1jSn=xn) =
P(Xn+1=xn+1xn), et donc(Sn)nest une chaîne de Markov.
b)
On v oitque (X1n)est une suite de v.a. i.i.d. car(Xn)l"est. Pour déterminer la loi, on calcule :
P(X11= 1) =P(X1= (1;0)) = 1=4
P(X11=1) =P(X1= (1;0)) = 1=4
P(X11= 0) =P(X1= (0;1)) +P(X1= (0;1)) = 1=2:
On obtient de même pour la suite(X2n).
c)
Les suites (X1n)et(X2n)ne sont pas indépendantes, car par exemple
P(X11= 0;X21= 0) = 06=P(X11= 0)P(X21= 0);
(si l"une des coordonnées est nulle, l"autre est forcément non nulle).
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d)Les v.a. Y1netY2nsont à valeurs dansf1;1g, et on a
P(Y11= 1;Y21= 1) =P(X1= (1;0)) = 1=4
P(Y11= 1;Y21=1) =P(X1= (0;1)) = 1=4
P(Y11=1;Y21= 1) =P(X1= (0;1)) = 1=4
P(Y11=1;Y21=1) =P(X1= (1;0)) = 1=4:
e)
Les suites (Y1n)n1et(Y2n)n1sont des suites de v.a. indépendantes par indépendance des v.a.
X
n. On a de plus par la question précédente en calculant les lois marginales queP(Y11= 1) =
P(Y11=1) = 1=2, et de même pourY2n, ce qui donne et la loi des v.a. et l"indépendance des
deux suites.
f)
La suite (R1n)est donc une suite de v.a. i.i.d. de loi12
1+12
1, c"est-à-dire une marche aléatoire
surZ. Pour avoirfR12n= 0g, il faut que exactementnv.a.Y1isoient égales à+1etnv.a. égales
à1. Il y a2n
nchoix possibles de ces variables, on obtient donc par indépendance
P(R12n= 0) =2n
n
12
2n:
De même pour la suite(R2n).
g)
Les suites (R1n)et(R2n)étant indépendantes par la question e), on obtient
P(S2n= 0) =P(R12n= 0;R22n= 0) =P(R12n= 0)P(R22n= 0) =2n
n
214
2n:
h)
La suite (Sn)ne pouvant revenir en l"origine en un nombre impair de pas, on aP(S2n+1=
(0;0)) = 0.
i)
P arla form ulede Stirling, on a
2n
n
12
2n=(2n)!n!n!12
2n(2n)2ne2np4n2
2nn2ne2n2n=1pn
;
on obtient doncP(S2n= (0;0))1n
, d"où, notantN0=P
n?fS2n=(0;0)gle nombre de retour en
(0;0), on obtient
E(N0) =X
nP(S2n= (0;0)) = +1
la série des
1n
étant divergente. L"espérance du nombre de retour en(0;0)est donc infinie, et
comme(Sn)est une chaîne de Markov, on obtient que(0;0)est récurrent.
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