TRAVAUX DIRIGÉS DE T5

Exercices -T5Correction PCSI 2019 - 2020
TRAVAUXDIRIGÉS DET5
?
Exercice 1 :Machine frigorifique
Un réfrigérateur est constitué essentiellement d"un fluidesoumis à une série de cycles thermody-
namiques. À chaque cycle le fluide extrait de l"intérieur de l"enceinte un transfert thermiqueQ2
et échange avec l"extérieur un transfert thermiqueQ1et un travailW.
On admettra que l"intérieur du réfrigérateur et l"extérieur constituent deux thermostats aux tem-
pératures respectivesT2= 268K etT1= 293K et qu"en dehors des échanges avec ces thermostats
les transformations sont adiabatiques.
1. Quel est le signe deQ1,WpuisQ2?
2. Définir et calculer l"efficacité théorique maximaleede cette machine. Pour quel type de
cycle ce rapport est-il maximal? Calculer cette valeur maximale.
3. Peut-on refroidir, à long terme, une cuisine en laissant la porte du réfrigérateur ouverte?
On étudie ici un réfrigérateur ditherme.
1. Comme le montre la représentation tracée ci-dessous, le but d"une telle machine est de
"pomper" un transfert thermique à la source froide (l"enceinte à réfrigérer) d"oùQ2>0en
la transférant à la source chaude (l"air extérieur ambiant)d"oùQ1
0.
Source de travail
Thermostat chaudT1Thermostat froidT2système
W >0
Q10
2. L"efficacité de cette machine (efficacité frigorifique) est par définition :
e
F=?????énergie à optimiser
énergie coûteuse?????
?eF=Q2W>0
Elle est maximale si le fluide décrit le cycle de Carnot réversible (orienté ici dans le sens
trigonométrique dans le diagramme de Watt carW >0) constitué de deux transformations
isothermes (au contact des sources aux températuresT1etT2) et deux adiabatiques (une
compression deT2àT1et une détente deT1àT2).
Par application du premier principe
ΔUCycle=Uf-Uf=W+Q1+Q2= 0?W=-Q1-Q2
et d"après le second principe,
ΔSCycle=Sf-Sf= 0 =Se+Sc=Se=?
cycleδQ
T?0 =Q1T1+Q2T2?Q1Q2=-T1T2
On en déduit
e
F=Q2
W=-Q2Q1+Q2=-1Q1
Q2+ 1=-1-T1T2+ 1=T2T1-T2?10,7
1
Exercices -T5Correction PCSI 2019 - 2020
3. Si on ouvre la porte du réfrigérateur, la cuisine reçoit effectivement le transfert thermique
Q
1et le réfrigérateur absorbera par ailleurs le transfert thermiqueQ2.
Pour que la cuisine soit, au total, refroidie, il faut que|Q1|0
Q10
Pour que ce cycle soit effectivement récepteur la compression isothermes se fera au contact
de la source chaude (l"appartement à chauffer) àT1et la détente isotherme à celui de la
source froide (par exemple l"air extérieur) àT2.
La détente adiabatique devra s"effectuer deT1àT2et la compression adiabatique deT2à
T
1.
Le fluide parcours alors le cycle dans le sens trigonométrique et on a bienW >0(cycle
récepteur).
2. Enappliquantlepremierprincipedelathermodynamiqueaufluide,suruncycle,ΔUCycle=
0 =W+Q1+Q2?W=-Q1-Q2et de même le second principe entraîneΔSCycle= 0 =
S
e+Sc=Se?0 =Q1
T1+Q2T2(égalité de Clausius).
On en déduitQ2=-T2
T1Q1d"oùW=-Q1[1-T2T1]le travail apporté par la source de travail.
2
Exercices -T5Correction PCSI 2019 - 2020
Si on raisonne sur une duréeΔt, on en déduit la puissance à fournir
P=W
Δt=-Q1(T1-T2)T1Δt?2,84kW
avec ici, d"après l"énoncé,Q1=-2108J pourΔt= 1h= 3600s.
3. On peut définir l"efficacité thermique de la pompe à chaleur
e
T=|énergie à optimiser|
|énergie coûteuse|=|Q1||W|=-Q1W=Q1Q1+Q2=1Q2
Q1+ 1=1-T2T1+ 1=T1T1-T2?19,5
en utilisant à nouveau le premier principe sur un cycle et l"égalité de Clausius.
Cela signifie que pour chaque joule dépensé sous forme de travail, on récupère (théorique-
ment) 19,5 joule pour maintenir l"appartement à la températureT1(si on parlait en terme
de rendement, celui-ci serait de 1950 %!).
4. L"efficacitéeTsera maximale si le cycle est effectivement celui de Carnot (récepteur) et si
T
2est proche deT1. Elle tend même théoriquement vers l"infini lorsqueT2=T1mais il est
vrai qu"il est alors inutile de chauffer l"appartement!
La pompe est surtout utile lorsqu"il fait froid dehors! On a alorsT2-T1important d"où une
efficacité moindre ... mais toujours supérieure à ce qu"on pourrait obtenir avec un simple
radiateur électrique qui présente un rendement de 100 % "seulement".
?
Exercice 3 :Moteur de Carnot réversible utilisant un gaz parfait
De l"air assimilé à un gaz parfait, de coefficient isentropiqueγ= 1,40décrit un cycle de Carnot
ABCD:
— les transformationsABetCDsont adiabatiques et réversibles;
— les transformationsBCetDAsont isothermes et réversibles.
On donneTB= 1431K;PD= 1,0bar;TD= 323K;VD= 2,40L et le transfert thermique
Q
BC= 1,24kJ reçu par l"air au cours de la transformationBC.
1. Calculer le nombre de moles d"air, les volumesVA,VB,VCet les pressionspA,pBetpC.
Tracer l"allure du cycleABCDdans le diagramme de Watt.
2. Calculer les travaux et les transferts thermiques reçus par le gaz au cours de chacune des
évolutionsAB,BC,CDetDA.
3. Calculer le travailWrécupéré et le rendementρdu moteur.
4. En utilisant le premier et le second principe, montrer quele rendementρne dépend que
deTBetTD.
5. Que devient le rendement si l"on a un cycle irréversible (théorème de Carnot)?
Lors de l"étude de ce moteur, le fluide étudié est { l"air } considéré gaz parfait de rapportγ= 1,40.
On résume dans un tableau les donnés de l"énoncé. Ce tableau est complété au fur et à mesure
(valeurs enitalique), toutes les transformations sont réversibles.
ÉtatAadiabatiqueBisothermeCadiabatiqueDisothermeA
T (K)323-→1431-→1431-→323-→323
p(bar)3,22 590QBC= 1,24kJ18313,22
V(L)0,744 0,018 0,0582,400,744
3
Exercices -T5Correction PCSI 2019 - 2020
1. On connaîtp,VetTdans l"étatD. On peut en déduirenpar application de l"équation
d"état :
p
D.VD=nRTD?n=pDVD
RTD=105.2,4.10-38,31.323?8,94.10-2mol.
On complète ensuite le tableau ci-dessus, colonne par colonne.
• ÉtatC: la transformationC→Dest adiabatique, réversible et concerne un gaz parfait.
Les relations de Laplace sont donc valablespVγ=Cteetp=nRT
V
?TCVγ-1
C=TDVγ-1
D?VC=VD?TD
TC?
1
γ-1etpCVγ
C=pDVγ
D?pC=pD?VD
VC?
γ
Les applications numériques donnentVC?0,058L,pC?183bar.
• ÉtatB: la transformationB→Cest isothermeTB=TC= 1431K etΔUBC= 0 =WBC+
Q
BCavecQBCconnu. Comme la transformation est quasistatique,δW=-pe.dV=
-p.dV=-nRTdV
V, on en déduit :
W
BC=-QBC? -nRTC?dV
V=-QBC?nRTClnVCVB=QBC?VB=VC.e-QBC
nRTC
L"application numérique donneVB?0,018L et on en déduit enfinpB=nRTB
VB?590
bar.
• ÉtatA: la transformationD→Aest isotherme d"oùTA=TD= 323K.A→Best
adiabatique réversible et concerne un gaz parfait, les relations de Laplace sont donc
valables et comme précédemment,
T
AVγ-1
A=TBVγ-1
B?VA=VB?TB
TA?
1
γ-1etpAVγ
A=pBVγ
B?pA=pB?VB
VA?
γ
Les applications numériques donnent cette foisVA?0,744L,pA?3,22bar.
On remarque que la pression qu"atteindrait le gaz à l"étatBdans un tel moteur est énorme.
On trace ensuite l"allure du cycle dans le diagramme de Watt échelle non respectée (ci-
dessous à gauche) et en respectant l"échelle (ci-dessous à droite).
p
VQc>0
Qf p1); c"est le cycle de Joule.
Application numérique :γ= 1,4, on envisage un taux de compressionp2
p1= 8puis 20.
On commence par représenter le cycle dans le diagramme de Watt :
• Comme il est question d"un moteur,WCycle