INCERTITUDES DE MESURE - corrigé des exercices - Free

INCERTITUDES DE MESURE - corrigé des exercices A. EXERCICES DE BASE "Propagation" des incertitudes
. L'influence de D est : [pic] = [pic] ? 0,64.
. L'influence de A est : [pic] = [pic] ? -0,68.
. Au total : ?n = [pic] ?D + [pic] ?A ? 3,8.10-4.
? remarque : n et ?n sont sans unité... il ne suffit pas d'utiliser D
et ?D, A et ?A avec la même unité : l'utilisation des fonctions
trigonométriques impose en principe l'usage des radians (équivalents à une
grandeur sans unité)... ou bien il faut appliquer un coefficient correcteur
dans le calcul des dérivées.
. On en déduit l'indice et sa précision : n = [pic] = 1,5321 ±
0,0004. "Propagation" des incertitudes
1. . En coupant la surface latérale d'un cône le long d'une droite
passant par le sommet, on peut la déplier "à plat", et obtenir ainsi une
portion de disque. [pic] [pic] . Soit a = [pic] la longueur du côté du cône, le périmètre de la
base est 2?r, et l'aire de la surface latérale est une proportion [pic] de
l'aire ?a2 du disque de rayon a.
. L'aire latérale d'un cône droit est donc : A = ?ar = [pic].
? remarque : l'aire élémentaire délimitée par le sommet et par un
élément dl = r d? du bord de la base est : dS = [pic] ; ainsi A =
[pic] = ?ar = [pic]. 2. . On a mesuré : r = 30,0 ± 0,2 mm et h = 50,0 ± 0,2 mm.
. Les influences de r et h sont : [pic] = [pic] ? 232 mm ; [pic]
= [pic] ? 81 mm.
. Au total : ?A = [pic] ?r + [pic] ?h ? 62 mm2 ; finalement : A =
[pic] = 5496 ± 62 mm2. "Propagation" des incertitudes
. Les influences de x et y sont : [pic] = [pic] ? 2,2.10-3 ;
[pic] = [pic] ? -4,4.10-3
. Au total : ?f = [pic] ?x + [pic] ?y ? 11.10-3.
. On en déduit le résultat et sa précision : f = [pic] = 0,333 ±
0,011. B. EXERCICES D'APPROFONDISSEMENT "Corrélation" des incertitudes
1. . Le courant de court-circuit est : Ic = [pic] = 68,6 mA.
. L'estimation rudimentaire de l'incertitude est : ?Ic ? [pic] ?E +
[pic] ?R = 3,2 mA.
. Si on suppose que les incertitudes sont de nature uniquement
aléatoire, on peut proposer aussi l'estimation : ?Ic ? [pic] = 2,3 mA.
2.a. . Dans un plan de coordonnées R et E, les courbes d'égales valeur de
Ic sont des droites passant par l'origine et de pente Ic : E = Ic R. 2.b. . Pour le mode de calcul (sans corrélation) ?Ic ? [pic] ?E + [pic]
?R, la zone d'incertitude correspond au rectangle de largeur ?R et de
hauteur ?E. L'intervalle de valeurs ± ?Ic ? ± 3,2 mA peut être retrouvé
en traçant les droites limites. [pic] . Pour le mode de calcul (sans corrélation) ?Ic ? [pic], la zone
d'incertitude correspond l'ellipse "droite" de largeur ?R et de hauteur ?E.
On peut la tracer sous forme paramétrique en considérant R = R0 + ?R
cos(?) et E = E0 + ?E sin(?). L'intervalle de valeurs ± ?Ic ? ± 2,3 mA
peut être retrouvé en traçant les droites limites. [pic] 2.c. . Pour le mode de calcul avec corrélation ?Ic ? [pic] = 1,2 mA.
. La zone d'incertitude correspond l'ellipse "oblique" ; on peut la
tracer sous forme paramétrique à l'aide d'un changement de notations.
. Dans le cas précédent, on pouvait écrire l'équation de l'ellipse
sous la forme x2 + y2 = 1 en considérant x = [pic] = cos(?) et y =
[pic] = sin(?). [pic] . Dans le cas étudié ici, l'équation correspond à la forme x2 + y2 +
2? xy = 1 avec ? = -[pic] on peut alors utiliser y' = y + ? x = sin(?)
donnant x2.(1 - ?2) + y'2 = 1, puis x' = x.[pic] = cos(?) donnant x'2
+ y'2 = 1. Ceci correspond à : R = R0 + [pic] cos(?) et E = E0 + ?E
sin(?) - [pic] cos(?). L'intervalle de valeurs ± ?Ic ? ± 1,2 mA peut
être retrouvé en traçant les droites limites.
? remarque : on retrouve un diamètre horizontal de l'ellipse
correspondant à ±?R et un diamètre vertical correspondant à ±?E.
? remarque : ici on obtient graphiquement un intervalle un peu plus
grand (± ?Ic ? ± 1,7 mA) ; ceci suggère que l'approximation elliptique de
la zone d'incertitude est peut-être trop approximative.
3. . L'ajustement du logiciel spécialisé est cohérent : il aboutit au
même résultat quelle que soit la paramétrisation choisie.