I- Produire une formule, décrire un calcul : les poignées de main et ...

Groupe IREM de Bordeaux : Annie Berté, Joëlle Chagneau, Catherine
Desnavres,
Jean Lafourcade, Marie-Christine Mauratille, Claire Sageaux
DES SITUATIONS POUR INTRODUIRE LE CA LCUL LITTERAL EN 6ème et 5ème Introduction 2
1- Analyse des difficultés des élèves 2
2- Nos choix didactiques 3
3- Les raisons d'être de l'algèbre élémentaire 4
I- Produire une formule, décrire un calcul : les poignées de main et/ou les
carrés bordés. 4
1- Problème « Les poignées de main » 4
A- Stratégie avec schéma et / ou raisonnement 5
B- Stratégie avec tableau : 6
C-Stratégie avec mime et raisonnement : 7
D-Compléments sur la gestion de la classe et prolongement avec la
résolution d'une équation. 8
a- Validation des programmes de calcul trouvés et transformation d'une
expression en une autre 8
b- Introduction d'une équation : 10
2- Problème « Les carrés bordés ». 10
10
3- Conclusion qui motive nos choix. 12
II- Utiliser des lettres dès la 6ème 13
1. Résoudre un problème comportant des expressions littérales : « a + b =
124 » 13
2- Exercices : 14
A - Avec les propriétés de l'addition 14
B - Avec la soustraction 15
C- Avec la multiplication comme addition répétée 15
D- Avec de petites équations 15
E- Exercice à support géométrique en 5ème . 16
III- Produire des expressions algébriques en 5ème : échanger des programmes
de calcul. 17
Etape 1 : situation de communication 18
Programme 1 18
Programme 2 18
Etape 2 : mise en commun 18
Etape 3 : nouvelle situation de communication 19
Etape 4 : nouvelle mise en commun 19
Conclusion : 19
IV - Ecriture d'expressions sur une seule ligne : le quatre-quatre. 20
Etape 1 : Expressions numériques 20
Etape 2 : Expressions littérales 21
V- La distributivité en 5ème : 22
VI- Structure des expressions numériques et algébriques dès la 6ème 24
1-Priorité des opérations : 24
2-Structure des expressions littérales : 24
Conclusion : 25 Introduction Nous constatons que malgré de nombreux exercices, beaucoup d'élèves ne
maîtrisent pas correctement les techniques de calcul algébrique. D'autre
part, l'usage de l'algèbre comme outil pour résoudre des problèmes, est
généralement suggéré par l'énoncé des exercices. Lorsque les élèves doivent
prendre l'initiative de l'utiliser, ils n'y pensent pas. Les situations proposées dans ce document visent donc à montrer comment on
peut enseigner l'algèbre au collège, et ce dès la sixième, de façon à ce
que cet outil prenne sens pour les élèves et devienne donc réellement
disponible. Notre but est de proposer des situations d'enseignement et de les organiser
dans une progression. Chaque situation est accompagnée d'observations sur
le déroulement en classe et de remarques destinées à élargir le point de
vue de l'enseignant qui utilise la situation en classe. Nous explicitons
les choix que nous avons faits et les raisons qui les motivent. Ces
réflexions visent à permettre aux enseignants de tirer le meilleur profit
de ces situations pour leurs élèves, parce qu'ils en auront compris les
enjeux. Et pour ceux qui le souhaitent, de construire eux mêmes des
situations de ce type, parce qu'ils en auront compris la genèse.
1- Analyse des difficultés des élèves Nous sommes partis de deux questions auxquelles dans un premier temps nous
avons répondu de la façon suivante :
Quand dirons-nous que les élèves savent faire de l'algèbre?
s'ils pensent à introduire des lettres pour résoudre un problème,
s'ils savent manipuler des expressions littérales et résoudre des
équations.
Quelles sont les difficultés qu'ils rencontrent ?
Pour le savoir nous les écoutons, nous les observons et nous examinons
leurs productions. Devant les grosses difficultés de nos élèves de 4ème et de 3ème, nous avons
admis que, pour augmenter les chances de réussite, il faudrait faire entrer
les élèves dans l'algèbre dès la 6ème . Explicitons un peu. Voici deux productions d'élèves de quatrième :
[pic]
[pic] Visiblement ces deux élèves ont appris avec sérieux le développement d'un
produit en utilisant la double distributivité. Nous ne pouvons pas dire
avec ces seules productions s'ils ont compris mais du moins nous constatons
qu'ils n'ont pas fait d'erreurs en développant.
En revanche les erreurs sont venues dans les calculs de réduction . Elève A : A la deuxième ligne il oublie de multiplier par -3. Pour passer
de la 3ème à la 4ème ligne, il ajoute -4x + 10x et trouve 6x² qu'il ajoute
à 8x². C'est ce qui explique 14x² à la ligne suivante.
Elève D : Il oublie le carré dans la réduction de [pic], il trouve 8x puis
il commet une autre erreur en ajoutant [pic] et il trouve 8 + (-12) + 10 =
-30. Nous identifions sur ce simple exemple deux grands domaines d'erreurs :
Le domaine du calcul dans les ensembles de nombres (ici les relatifs mais
il y a autant d'erreurs avec les rationnels même positifs ). Non seulement les élèves de 4ème ont besoin de savoir opérer avec deux
nombres relatifs rationnels, mais ils doivent aussi connaître les
propriétés des opérations. Pour réduire 4 x [pic] (-3) il faut penser
mentalement à 4 [pic] (-3) [pic] x = (-12) [pic] x (commutativité et
associativité de la multiplication). Ce travail sur les structures algébriques des ensembles de nombres peut
démarrer dès la 6ème et c'est bien une entrée dans l'algèbre. Le domaine du calcul littéral :
Les élèves ne donnent pas de sens aux différents signes, en particulier aux
lettres. L'élève D sait peut-être calculer 4 x 5 x 2 x 5 mais
[pic] n'a pas de sens pour lui Est-il possible d'introduire du calcul littéral dès la 6ème? Oui, notre
travail le prouve.
En faisant entrer les élèves dans l'algèbre dès la 6ème nous serons un peu
en bordure des programmes mais en accord avec le document : « L'algèbre et
en particulier le calcul littéral de la 6ème à la 2de »écrit en 2003 par
l'Inspection Pédagogique régionale de l'Académie d'Orléans- Tours.
2- Nos choix didactiques Notre travail en algèbre de la 6ème à la 3ème consiste donc à construire
des AER[1] qui visent deux apprentissages : - Celui des structures algébriques des ensembles de nombres.
Dans certaines AER les élèves doivent introduire des nouveaux nombres et
opérer avec eux pour résoudre des problèmes internes ou externes aux
mathématiques (introduire les relatifs ou les rationnels pour résoudre des
équations, utiliser des rationnels pour communiquer des longueurs,
multiplier les décimaux pour résoudre des problèmes arithmétiques,
introduire la racine carrée pour dupliquer le carré, etc... ) - Celui du calcul littéral
Nos élèves ne sont pas assez familiers avec les lettres, souvent on les
entend dire, et cela jusqu'en 3ème : « dès qu'il y a des lettres je n'y
comprends rien ! Les lettres ça m'embrouille! ». Il faut donc trouver des
situations d'enseignement pour que les lettres apparaissent comme un moyen
pour résoudre des problèmes et non comme un obstacle, et cela dès les deux
premières années de collège. Les deux apprentissages s'interpénètrent nécessairement dans les
progressions que nous construisons pour chaque année de collège.
Nous avons construit des AER où les élèves ne vont travailler qu'avec des
nombres, d'autres où ils vont dès le début travailler avec des lettres,
d'autres où ils vont travailler avec des nombres d'abord, puis ils auront
besoin des lettres. Dans tous les cas, ils feront de l'algèbre.
Certains signes et règles sont utilisés aussi bien dans le calcul numérique
que dans le calcul littéral : par exemple le signe - et ses trois
significations (opératoire, prédicatoire et opposé), le signe =, (symétrie
pour la substitution et transitivité), les parenthèses et les priorités
opératoires, ....
Tout cela fait l'objet de situations spécifiques dans notre travail en
classe dont nous ne parlons pas dans ce document. Il est possible de se
référer à nos documents publiés par l'IREM d'Aquitaine[2]. Parce que la possibilité d'introduire un travail substantiel sur les
lettres dès la 6ème est loin d'être une évidence, nous centrons ce texte
sur quelques situations dans lesquelles les élèves font du calcul littéral,
et uniquement en 6ème et 5ème .
Pour les professeurs, nous explicitons le statut des lettres que nous
faisons manipuler aux élèves, car le statut des lettres en algèbre est
complexe et change très souvent. Cela semble « naturel » à un expert au
point qu'il peut même ne pas s'en rendre compte, c'est bien moins
« naturel » pour les élèves.
3- Les raisons d'être de l'algèbre élémentaire[3]
Ces différents statuts des lettres tiennent aux différentes raisons d'être
de l'algèbre élémentaire. L'algèbre est d'abord un outil pour traduire de
façon concise et non ambiguë des programmes de calcul. Dans toutes les
situations que nous donnons ci-dessous les élèves vont être amenés à
produire de tels programmes qui sont des expressions algébriques où les
lettres ont le statut de variables. C'est le caractère procédural de
l'algèbre. En second lieu l'algèbre sert à transformer valablement un programme de
calcul en un autre programme équivalent c'est-à-dire un programme qui donne
la même valeur numérique quelle que soit la valeur donnée aux variables.
C'est ce qui était demandé aux élèves dont nous avons examiné les copies
plus haut. Il s'agissait, grâce à la double distributivité, de transformer
en somme une expression algébrique fournie sous forme de produit. Lors de
la transformation d'une expression algébrique, les lettres ont le statut
d'indéterminées. C'est le caractère structural de l'algèbre qui est en jeu.
Mais les élèves peuvent se demander quel est l'intérêt d'apprendre